CO2激光器對(duì)相位共軛波時(shí)空混沌系統(tǒng)控制和同步的研究*

祝金川李成仁齊笳羽任旭東岳喜爽

CO2激光器對(duì)相位共軛波時(shí)空混沌系統(tǒng)控制和同步的研究*

祝金川 李成仁齊笳羽 任旭東 岳喜爽

(遼寧師范大學(xué)物理與電子技術(shù)學(xué)院，大連116029)
(2010年11月14日收到;2010年12月5日收到修改稿)

以一維耦合映象格子為對(duì)象，研究了相位共軛波時(shí)空混沌系統(tǒng)特性．基于Lyapunov穩(wěn)定性定理，通過選取耦合參數(shù)，實(shí)現(xiàn)了CO2激光器對(duì)相位共軛波時(shí)空混沌系統(tǒng)的控制，以及驅(qū)動(dòng)多個(gè)相位共軛波時(shí)空系統(tǒng)達(dá)到并行同步．?dāng)?shù)值模擬結(jié)果顯示，耦合參數(shù)對(duì)相位共軛波時(shí)空混沌系統(tǒng)的控制和同步速度有影響，即耦合參數(shù)越大同步時(shí)間越短．

CO2激光器，相位共軛波，時(shí)空混沌，控制和同步

PACS:42.65.Sf，05.45.Pq

1.引言

混沌含有豐富的信息，受到廣泛的關(guān)注［1—4］．研究時(shí)空系統(tǒng)能夠解決大量的實(shí)際混沌應(yīng)用問題，特別是時(shí)空混沌系統(tǒng)的控制和同步是該領(lǐng)域的一個(gè)重要研究方向．在非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的研究中，激光器是很好的實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，是非線性科學(xué)理論理想的應(yīng)用領(lǐng)域．近年來，Arecchi等通過調(diào)制激光器光學(xué)諧振腔內(nèi)耗損，實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)到CO2激光器混沌［5］;Pecora和Caroll提出了混沌同步的思想和方案［6］;Yorke等人提出了混沌控制的原理，并很快被實(shí)驗(yàn)室證實(shí)［7］;Roy等利用偶然反饋方法，實(shí)現(xiàn)了腔內(nèi)倍頻Nd:YAG激光器的混沌控制和兩臺(tái)Nd:YAG激光器的混沌同步［8，9］．

本文利用一維耦合映像格子模型對(duì)相位共軛波時(shí)空混沌進(jìn)行討論，和通過激光器附加自由度技術(shù)使CO2激光器達(dá)到混沌狀態(tài)［10］．以CO2激光器作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，從中提取出光強(qiáng)的混沌信號(hào)，并與相位共軛波時(shí)空混沌產(chǎn)生的光強(qiáng)信號(hào)進(jìn)行非線性耦合，并用耦合信號(hào)做為控制器對(duì)相位共軛波時(shí)空模型進(jìn)行反饋控制．通過計(jì)算Lyapunov指數(shù)［11］與耦合系數(shù)的關(guān)系，確定耦合系數(shù)的取值范圍，實(shí)現(xiàn)了CO2激光器對(duì)相位共軛波時(shí)空混沌系統(tǒng)的控制;同時(shí)，構(gòu)造多個(gè)相同的并行相位共軛波時(shí)空系統(tǒng)，用同一個(gè)CO2激光器的光強(qiáng)信號(hào)進(jìn)行驅(qū)動(dòng)，使多個(gè)相位共軛波時(shí)空系統(tǒng)同步．

2.混沌動(dòng)力學(xué)模型

CO2激光器的動(dòng)力學(xué)方程為［12］

式中I是與光強(qiáng)成正比的量，D表示反轉(zhuǎn)粒子數(shù)密度，γc(t)為激光器腔內(nèi)光場(chǎng)的衰減速率，γ0為穩(wěn)態(tài)時(shí)光場(chǎng)的衰減速率，γ//表示原子能級(jí)上粒子數(shù)衰減速率，ζ是增益參數(shù)，me為調(diào)制深度，ω表示激光器的弛豫振蕩頻率．當(dāng)激光器的參數(shù)取為:γ//= 103s－1，γ0=7×107s－1，ζ=2，f=ω/2π=78.8 k Hz，me=0.03時(shí)，CO2激光器呈現(xiàn)混沌行為，如圖1所示．圖1(a)是光強(qiáng)隨時(shí)間的演化圖，圖1(b)為光強(qiáng)的導(dǎo)數(shù)與光強(qiáng)的相圖．

圖1 (a)光強(qiáng)隨時(shí)間的演化;(b)光強(qiáng)的導(dǎo)數(shù)與光強(qiáng)的相圖

相位共軛波動(dòng)力學(xué)行為［13］

式中xn為光強(qiáng)的映像，A為抽運(yùn)參數(shù)，J0，J1分別是零階和一階Bessel函數(shù)，相應(yīng)的xn表示光強(qiáng)的第零級(jí)反射和第一級(jí)反射．本文以光強(qiáng)xn的第一級(jí)散射為例來研究．光強(qiáng)xn的第一級(jí)散射隨參數(shù)A的分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)曲線如圖2所示．

圖2 (a)一級(jí)散射隨參數(shù)A的分岔圖;(b)最大Lyapunov指數(shù)與參數(shù)A的關(guān)系

相位共軛波的時(shí)空混沌系統(tǒng)采用一維耦合映像格子模型［14］

式中n表示時(shí)間步數(shù)，i=1，2，3，…，L為空間格點(diǎn)坐標(biāo)，ε為格點(diǎn)間的耦合強(qiáng)度，xn(i)為狀態(tài)變量，周期性邊界條件取為xn(0)=xn(L)=0．其中，局域非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)f(xn(i))是相位共軛波系統(tǒng)

圖3 (a)耦合映像格子相位共軛波Lyapunov指數(shù);(b)相位共軛波時(shí)空演化圖

式中的參數(shù)取為ε=0.03，A=36，L=100，初始條件x0(i)=2時(shí)，Lyapunov指數(shù)均為正，表明狀態(tài)處于混沌態(tài)，如圖3(a)所示;相應(yīng)的時(shí)空演化圖如圖3(b)所示．

3.控制和同步的實(shí)現(xiàn)

3.1.CO2激光器對(duì)相位共軛波時(shí)空混沌系統(tǒng)的控制

CO2激光器輸出光強(qiáng)每一秒取一個(gè)脈沖I(t)，用這個(gè)光強(qiáng)脈沖驅(qū)動(dòng)相位共軛波振蕩器．設(shè)計(jì)一個(gè)非線性控制器，取(1)式光強(qiáng)的平方與(3)式狀態(tài)變量之和作為控制器，如圖4所示．

圖4 CO2激光器驅(qū)動(dòng)相位共軛波振蕩器

式中k為耦合參數(shù)，(5)式加在響應(yīng)系統(tǒng)后，響應(yīng)系統(tǒng)方程(3)式變?yōu)?/p>

通過計(jì)算(6)式最大Lyapunov指數(shù)與耦合參數(shù)k之間的關(guān)系，以確定k的取值范圍．選取的k使Lyapunov指數(shù)為負(fù)值時(shí)，就能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)相位共軛波時(shí)空混沌的控制．

數(shù)值模擬時(shí)，保持CO2激光器和相位共軛波振蕩器的參數(shù)與(1)和(4)式等相同，響應(yīng)系統(tǒng)(6)式的Lyapunov指數(shù)隨耦合參數(shù)k在空間i=1，2，3，…，L格上的三維立體圖如圖5(a)所示．可以看到，在系統(tǒng)(1)的驅(qū)動(dòng)作用下，響應(yīng)系統(tǒng)(6)的Lyapunov指數(shù)面存在小于零的深谷部分．當(dāng)k的取值在此部分內(nèi)，則系統(tǒng)(6)可以穩(wěn)定輸出．圖5(a)在空間格點(diǎn)k軸的投影為圖5(b)，能清楚的看出耦合參數(shù)k在(0.03，0.12)或(0.34，0.39)等范圍內(nèi)取值時(shí)Lyapunov指數(shù)為負(fù)，即實(shí)現(xiàn)了對(duì)相位共軛波時(shí)空混沌的控制．當(dāng)k=0.1時(shí)控制結(jié)果如圖6所示，顯示了xn(i)隨時(shí)空的演化趨于穩(wěn)定．

圖5 (a)Lyapunov指數(shù)隨耦合參數(shù)的變化;(b)Lyapunov指數(shù)隨耦合參數(shù)變化的投影

圖6 施加控制的相位共軛波時(shí)空混沌

3.2.多個(gè)相位共軛波時(shí)空系統(tǒng)并行同步

如圖7所示，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)仍為CO2激光器，響應(yīng)系統(tǒng)為多個(gè)并行的相位共軛波系統(tǒng)，這些并行的系統(tǒng)與(6)式相同．當(dāng)這些并行的相位共軛波系統(tǒng)初始條件不同時(shí)，混沌行為不一樣．當(dāng)CO2激光器進(jìn)行耦合控制使它們之間的輸出光強(qiáng)之差為零，即實(shí)現(xiàn)了多個(gè)并行系統(tǒng)的同步．本文僅以任意兩個(gè)系統(tǒng)為例，如相位共軛波振蕩器1和相位共軛波振蕩器2．

圖7 CO2激光器驅(qū)動(dòng)多個(gè)并行的相位共軛波振蕩器

圖8 (a)k=0．22時(shí)誤差變量en(i)時(shí)空演化圖;(b)k=0．23時(shí)誤差變量en(i)時(shí)空演化圖

CO2激光器對(duì)它的控制器為(8)式，(5)和(8)兩式中I(t)相同．若k在(0.03，0.12)或(0.34，0.39)區(qū)間內(nèi)取值，相位共軛波振蕩器1和相位共軛波振蕩器2在不同的初始值條件下，它們能夠?qū)崿F(xiàn)同步．當(dāng)耦合系數(shù)k=0.05和0.10，其他參數(shù)不變，在第300步開始對(duì)相位共軛波振蕩器1和相位共軛波振蕩器2加入耦合誤差en(i)=xn(i)－yn(i)，en(i)的時(shí)空演化如圖8(a)(b)所示．

相位共軛波振蕩器1形式為(6)式，CO2激光器對(duì)它的控制器為(5)式．

相位共軛波振蕩器2輸出光強(qiáng)信號(hào)設(shè)為yn(i)，形式為

可以看到，誤差最后趨近于en(i)=0的平面，實(shí)現(xiàn)了相位共軛波振蕩器1和相位共軛波振蕩器2之間的同步．k取值不同時(shí)，達(dá)到同步的時(shí)間也不同．k=0.05，在300步施加控制后380步達(dá)到同步，如圖8(a)所示;k=0.10，在300步施加控制后320步就能達(dá)到同步，如圖8(b)所示，要比圖8(a)更快同步，耦合參數(shù)取的越大達(dá)到同步的時(shí)間越短．

4.結(jié)論

本文分析了CO2激光器和相位共軛波的混沌特性．基于Lyapunov穩(wěn)定性定理，研究了CO2激光器和相位共軛波反饋信號(hào)共同對(duì)相位共軛波的控制，使之達(dá)到穩(wěn)定態(tài);同時(shí)討論了一臺(tái)CO2激光器驅(qū)動(dòng)多個(gè)相位共軛波時(shí)空混沌的并行系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)了在不同的初始條件下，多個(gè)相位共軛波時(shí)空混沌系統(tǒng)的同步．誤差函數(shù)的時(shí)空演化圖表明，誤差最后趨近于等于零的平面．從圖中可以得到耦合參數(shù)k取值不同時(shí)，響應(yīng)系統(tǒng)達(dá)到同步的快慢也不同．k= 0.05時(shí)，系統(tǒng)經(jīng)80步的時(shí)間達(dá)到同步;k=0.10時(shí)，系統(tǒng)經(jīng)20步達(dá)到同步，數(shù)值模擬得出結(jié)論，耦合參數(shù)取值越大達(dá)到同步所需的時(shí)間越短．

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PACS:42.65.Sf，05.45.Pq

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No．10804015)and the Scientific Research Fund of Education Department of Liaoning Province，China(Grant No．20062137)．

Corresponding author．E-mail:lshdy@sina．com

Control and synchronization of phase-conjugate wave spatiotemporal chaos system driven by CO2laser*

Zhu Jin-Chuan Li Chen-RenQi Jia-Yu Ren Xu-Dong Yue Xi-Shuang
(College of Physics and Electronic Technology，Liaoning Normal University，Dalian 116029，China)
(Received 14 November 2010;revised manuscript received 5 December 2010)

Taking an one-dimensional coupled map lattice as an object，the characteristics of phase-conjugate wave spatiotemporal chaos system are investigated．Based on the Lyapunov stable theorem，the control of phase-conjugate wave spatiotemporal chaos system is achieved，and the multiple phase-conjugate wave spatiotemporal chaos system is driven into the parallel synchronization by the CO2laser through choosing the coupling parameter．Numerical simulation results show that the coupling parameter has influence on the control and the synchronization speed of the phase-conjugation wave spatiotemporal chaos system．The greater the coupling parameter，the shorter the synchronization timeis．

CO2laser，phase-conjugation wave，spatiotemporal chaos，control and synchronization

*國(guó)家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):10804015)和遼寧省科技廳項(xiàng)目(批準(zhǔn)號(hào):20062137)資助的課題．

E-mail:lshdg@sina．com