形式函數(shù)的可微性與共軛解析性

吳 曉，徐士河

(肇慶學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣東 肇慶 526061)

形式函數(shù)的可微性與共軛解析性

吳 曉，徐士河

(肇慶學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣東 肇慶 526061)

從復(fù)變函數(shù)的復(fù)形式出發(fā)，研究其可微和解析的充要條件，進(jìn)而得出其共軛可微和共軛解析的條件，并給出了判定形式函數(shù)的可微性和解析性的應(yīng)用。

形式函數(shù)；形式可微；解析； C-R條件

復(fù)變函數(shù)可微的條件是一個(gè)重要研究?jī)?nèi)容?，F(xiàn)行教材中已對(duì)復(fù)變函數(shù)的可微性進(jìn)行了討論,如文獻(xiàn)[1-2]研究了直角坐標(biāo)系下的C-R方程，得到了函數(shù)可微的條件。復(fù)變函數(shù)共軛解析的前提是函數(shù)共軛可微，因而研究復(fù)變函數(shù)共軛可微的充要條件就尤為重要。下面，筆者定義了形式函數(shù)的形式導(dǎo)數(shù)與形式微分，根據(jù)復(fù)變函數(shù)可微的方法去研究了復(fù)變函數(shù)共軛可微的性質(zhì)，從而得出形式函數(shù)的可微和解析條件。

1 預(yù)備知識(shí)

(1)

(2)

從而有:

定義3若滿足：

2 形式函數(shù)的解析性

證明:

(3)

則代入式(3)得:

證明由于：

由解析函數(shù)的定義和定理3，可得到刻畫(huà)形式函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析的定理4。

3 形式函數(shù)的共軛解析性

這時(shí)稱函數(shù)w=f(z)于點(diǎn)z共軛可導(dǎo)或可微。

引理2[4]設(shè)函數(shù)w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)有定義，則函數(shù)f(z)在點(diǎn)z=x+iy∈D共軛可微的充要條件是:

(1)二元函數(shù)u(x,y)、v(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微；

(2)u(x,y)、v(x,y)在點(diǎn)(x,y)滿足共軛解析條件：

于是由引理2知，類似定理2容易得出以下結(jié)論。

由于二元函數(shù)的可微性可以通過(guò)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)判斷出來(lái)，因而可得到下述推論。

[1]鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論[M].第3版.北京：高等教育出版社，1978:52-71.

[2]杜應(yīng)雪,許小艷.復(fù)變函數(shù)的可導(dǎo)性與解析性[J].中國(guó)科技信息，2006(13):272-287.

[3]譚小江，伍勝鍵.復(fù)變函數(shù)簡(jiǎn)明教程[M].北京：北京大學(xué)出版社，2006:21-22.

[4]王見(jiàn)定.半解析函數(shù)共軛解析函數(shù)[M].北京：北京工業(yè)大學(xué)出版社，1988.

[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409.2011.12.004

O174.5

A

1673-1409(2011)12-0009-03