高曉波,薛惠鋒,謝紅普,張 群

(西北工業(yè)大學(xué),陜西西安710072)

0 引 言

永磁同步電動(dòng)機(jī)(以下簡(jiǎn)稱(chēng)PMSM)因其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、效率高、體積小等優(yōu)點(diǎn)而廣泛應(yīng)用于航空、航天、工業(yè)自動(dòng)化等領(lǐng)域。目前,PMSM高性能控制系統(tǒng)需要在轉(zhuǎn)子上安裝傳感器(如編碼器、測(cè)速發(fā)電機(jī)等)以反饋轉(zhuǎn)子的位置和轉(zhuǎn)速;但是,位置傳感器的性能易受潮濕、高溫、震動(dòng)等惡劣環(huán)境影響,存在安裝和維護(hù)的困難,且機(jī)械傳感器增加了系統(tǒng)成本和復(fù)雜性。

近年來(lái),國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者對(duì)電機(jī)的無(wú)傳感器控制進(jìn)行了廣泛的研究,取得了大量成果,提出了幾種具有典型意義的方法,主要有擴(kuò)展卡爾曼濾波算法[1]、滑模變結(jié)構(gòu)觀測(cè)器法、模型參考自適應(yīng)法(MARS)以及高頻注入法。擴(kuò)展卡爾曼濾波器法(以下簡(jiǎn)稱(chēng)EKF)對(duì)電機(jī)轉(zhuǎn)子位置和轉(zhuǎn)速進(jìn)行估計(jì),是最小二乘的最優(yōu)估計(jì),它能有效地削弱隨機(jī)干擾和量測(cè)噪聲的影響,其輸出能很快跟蹤系統(tǒng)實(shí)際狀態(tài)。但該算法需要求逆矩陣,計(jì)算量大,協(xié)方差陣的初值選擇只能試湊,耗時(shí)長(zhǎng)[2]。針對(duì)上述擴(kuò)展卡爾曼濾波器法的缺點(diǎn),本文重新構(gòu)建PMSM的降階狀態(tài)方程,采用正交的輸出變量,設(shè)計(jì)了一種降階線(xiàn)性卡爾曼濾波算法,實(shí)現(xiàn)了PMSM的無(wú)傳感器矢量控制。方法簡(jiǎn)單易行,易于實(shí)現(xiàn)。

1 PMSM數(shù)學(xué)模型

首先假設(shè):

(1)忽略空間諧波,電機(jī)三相定子繞組在空間對(duì)稱(chēng)分布,所產(chǎn)生的磁動(dòng)勢(shì)沿氣隙圓周按正弦規(guī)律分布,忽略磁場(chǎng)的高次諧波分量;

(2)磁飽和及鐵心損耗忽略不計(jì);

(3)電機(jī)定子繞組的反電勢(shì)是正弦波,轉(zhuǎn)子與定子繞組之間的互感是轉(zhuǎn)子位置角的正弦函數(shù)。

在靜止的α-β坐標(biāo)系,表貼式PMSM方程[3]表示:

式中:uα、uβ為定子α、β軸的電壓;iα、iβ為定子α、β軸電流;Rs為定子電阻;Ls為同步電感;ψr為永磁體磁鏈;ω為轉(zhuǎn)子機(jī)械角速度;θ為轉(zhuǎn)子機(jī)械位置;p為電機(jī)極對(duì)數(shù)。

2 經(jīng)典擴(kuò)展卡爾曼濾波(EKF)理論

PMSM的數(shù)學(xué)模型是一個(gè)電磁參數(shù)強(qiáng)耦合的非線(xiàn)性系統(tǒng),選取狀態(tài)變量x=[iαiβωθ]T,u=[uαuβ]T,y=[iαiβ]T,得到系統(tǒng)狀態(tài)方程:

式中:σ(t)為系統(tǒng)過(guò)程白噪聲;v(t)為量測(cè)過(guò)程白噪聲。根據(jù)擴(kuò)展卡爾曼濾波理論,小采樣時(shí)間的條件下,求系統(tǒng)矩陣的雅克比矩陣可得到最優(yōu)估計(jì)點(diǎn)附近的近似線(xiàn)性化模型,再對(duì)狀態(tài)方程進(jìn)行離散化,得到卡爾曼濾波的目標(biāo)離散系統(tǒng)[4]。代入EKF濾波方程,EKF濾波算法分兩個(gè)階段:

(a)預(yù)測(cè)階段:

(b)修正階段:

由于雅克比矩陣Fk是時(shí)變矩陣,所以每個(gè)采樣時(shí)刻都需要計(jì)算協(xié)方差矩陣,計(jì)算量大。且Q、R、P0陣的選取對(duì)算法收斂及穩(wěn)態(tài)性能影響很大,其選取一般采用試湊方法,需多次反復(fù)試驗(yàn)。

3 降階線(xiàn)性卡爾曼濾波算法(RLKF)

上述EKF算法計(jì)算量大的主要原因是系統(tǒng)雅克比矩陣為時(shí)變矩陣,若系統(tǒng)矩陣為常數(shù)矩陣,則協(xié)方差陣可收斂至常陣,可簡(jiǎn)化卡爾曼濾波算法。重新選取狀態(tài)變量x=[θ ω ρ′],θ為轉(zhuǎn)子位置,ω為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速,ρ′為高斯白噪聲ρ的一階導(dǎo)數(shù),這樣的狀態(tài)變量選取可以使Kal man濾波器跟蹤斜坡速度變化[5]。取轉(zhuǎn)子位置信號(hào)的正弦和余弦函數(shù)為輸出信號(hào),建立系統(tǒng)差分方程:

式中:ρ(k)為系統(tǒng)噪聲矩陣;v(k)為量測(cè)噪聲;R1為系統(tǒng)噪聲協(xié)方差陣;R2為量測(cè)噪聲協(xié)方差陣;T為濾波算法的離散采樣時(shí)間。通過(guò)調(diào)節(jié)參數(shù)λ可以調(diào)整系統(tǒng)抗干擾能力。應(yīng)用擴(kuò)展Kal man濾波法求系統(tǒng)狀態(tài)變量x(k)的最優(yōu)估計(jì)[6],先對(duì)輸出矩陣求導(dǎo)得雅克比矩陣:

令:

Pk為時(shí)不變矩陣,可收斂至常數(shù)矩陣Kal man增益Kk簡(jiǎn)化:

由H矩陣首行為全為零可知:

由于定子直、交軸磁鏈值與位置信號(hào)的三角函數(shù)值成比例,本文選用靜止α-β坐標(biāo)系定子磁鏈代替位置信號(hào)的三角函數(shù)[7]。a為位置信號(hào)三角函數(shù)值與定子磁鏈的比例系數(shù)。輸出方程可表示:

經(jīng)過(guò)以上變換,擴(kuò)展卡爾曼濾波器(EKF)轉(zhuǎn)化為降階線(xiàn)性卡爾曼(RLKF)濾波器:

該算法在一個(gè)采樣時(shí)刻內(nèi)僅需要做6次乘法運(yùn)算和兩次三角函數(shù)運(yùn)算,與EKF算法相比,運(yùn)算量顯著減小。

4 仿真驗(yàn)證

本文的仿真實(shí)驗(yàn)是在Matlab 7.0的Simulink環(huán)境下完成的?？刂撇呗赃x用磁鏈定向電流轉(zhuǎn)速雙閉環(huán)PI控制,采用空間矢量脈寬調(diào)制(SVPWM)方法,控制方式采用。表1為PMSM參數(shù)。

表1 PMSM參數(shù)

設(shè)定RLKF的取樣時(shí)間為T(mén)=0.01 s,通過(guò)試湊,λ=5 000時(shí),系統(tǒng)的位置跟蹤能力及抗噪聲能力較為平衡。協(xié)方差矩陣P收斂至常數(shù)矩陣:

圖1為L(zhǎng)KF對(duì)轉(zhuǎn)子位置估值與轉(zhuǎn)子實(shí)際位置的誤差分析,由圖1可知,電機(jī)在0.3 s時(shí)進(jìn)入穩(wěn)態(tài),穩(wěn)態(tài)誤差幾乎為零。圖2為RLKF對(duì)轉(zhuǎn)速的估計(jì)曲線(xiàn),從圖2中可以看出,0.3 s時(shí)穩(wěn)定至給定轉(zhuǎn)速700 r/min,穩(wěn)態(tài)誤差同樣幾乎為零,表明了RLKF有較好的穩(wěn)態(tài)性能。圖3、圖4分別為直、交軸計(jì)算得磁鏈與實(shí)際位置信號(hào)的正三角函數(shù)值的比對(duì)曲線(xiàn),兩者成正比例關(guān)系。圖5、圖6分別為電機(jī)定子三相電流及電機(jī)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系電流Iq,由圖6可知,在負(fù)載轉(zhuǎn)矩突變的情況下,系統(tǒng)具有快速穩(wěn)定的調(diào)節(jié)能力,具有良好的動(dòng)態(tài)性能。

圖1 轉(zhuǎn)角跟蹤曲線(xiàn)

圖2 轉(zhuǎn)速跟蹤曲線(xiàn)

圖3 α軸磁鏈及cos θ

圖4 β軸磁鏈及sin θ

圖5 階躍變負(fù)載下的三相電流

圖6 旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系q軸電流

5 結(jié) 語(yǔ)

本文在經(jīng)典擴(kuò)展卡爾曼濾波算法的基礎(chǔ)上,應(yīng)用降階線(xiàn)性卡爾曼濾波算法對(duì)PMSM進(jìn)行無(wú)傳感器控制。仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該算法的可行性,計(jì)算量較經(jīng)典卡爾曼算法大大減少。對(duì)轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速和位置估計(jì)精度高,位置和速度響應(yīng)快,是一種性能優(yōu)良的無(wú)傳感器控制方法。

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