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(杭州市第十四中學 浙江杭州 310006)

年年歲歲“卷”相似歲歲年年“題”不同
——2011年全國各地數(shù)學高考試卷的特點透視和趨勢分析

●馬茂年

(杭州市第十四中學 浙江杭州 310006)

2011年全國各地數(shù)學高考試卷共18套，其中新課程試卷有14套，大綱課程試卷有4套.其中，江蘇卷是文、理科合卷，江西卷系新課程試卷的首次亮相.2011年新課程數(shù)學試卷精彩紛呈、目不暇接，大綱課程數(shù)學試卷也琳瑯滿目、美不勝收.

1 新課程卷在整體上結(jié)構(gòu)鮮活、背景新穎，在創(chuàng)新中發(fā)展

1.1 選擇題、填空題從統(tǒng)計知識點中透視真締和趨勢分析

通過對2011年數(shù)學高考試卷各知識考點進行統(tǒng)計可以發(fā)現(xiàn)：函數(shù)的零點、多面體的三視圖、算法初步中的程序運行、含有全稱量詞和存在量詞的命題、幾何概型、莖葉圖、合情推理、線性回歸直線方程等知識，都已成為考查的熱點.復數(shù)是文科的新增學習內(nèi)容，它已經(jīng)成為文科知識考點的最大熱門.

從統(tǒng)計中我們發(fā)現(xiàn)，在選擇題和填空題中，理科出現(xiàn)頻率較高的知識點為多面體的三視圖、算法初步中的程序運行、含有全稱量詞和存在量詞的命題，文科出現(xiàn)頻率較高的知識點為復數(shù)運算、多面體的三視圖、算法初步中的程序運行.

在選擇題和填空題中，集合、復數(shù)、向量這3種運算占必考地位，函數(shù)的性質(zhì)、數(shù)列的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)、曲線方程的性質(zhì)這4大性質(zhì)成為結(jié)構(gòu)主體，函數(shù)方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論、等價轉(zhuǎn)換、統(tǒng)計分析等思想方法得到了很好的體現(xiàn).

選擇題以集合、復數(shù)、簡易邏輯、函數(shù)、三角、數(shù)列、不等式、立體幾何、解析幾何、平面向量、導數(shù)、概率與統(tǒng)計等為基本素材，極具思考性、挑戰(zhàn)性和趣味性的小型綜合題為多.其中集合中的信息遷移題、復數(shù)的基本概念和代數(shù)運算題、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)題、立體幾何與解析幾何的交匯題、平面向量與平面幾何的融合題等將是高考選擇題中最具活力和魅力的優(yōu)秀創(chuàng)新題.填空題是以簡易邏輯、立體幾何、線性規(guī)劃、解析幾何、平面向量、導數(shù)等為載體，編制新穎別致、小巧玲瓏的小型綜合題.

1.2 高考數(shù)學新課程試卷應(yīng)用性試題透視和趨勢分析

表1 2011年數(shù)學高考新課程試卷應(yīng)用性試題的題型與背景

對應(yīng)用意識的考查前幾年就進入了高考命題者的視野，但由于應(yīng)用題的設(shè)計需要符合“貼近生活、背景公平、控制難度”三要素，因此它的邁步有些裹足不前，新課程教學理念如一股強勁的春風，吹生了好多應(yīng)用性高考題，每卷至少出現(xiàn)一道應(yīng)用性小題.

2011年高考數(shù)學新課程試卷中的應(yīng)用性問題豐富多彩，涉及社會、生產(chǎn)、生活的方方面面，許多試題別開生面，充分展示了課程改革的累累碩果.以理科為例，新課程全國卷第19題中的“質(zhì)量指標”、湖南卷第18題中的“商場試銷”，安徽卷第20題中的“核電輻射”等，都充分體現(xiàn)了新課程理念.我們可以預見，應(yīng)用題中的設(shè)計方案將成為高考題的一種“時尚”而逐步流行.

2011年數(shù)學高考應(yīng)用題，背景熟悉、創(chuàng)意新穎、貼近考生生活實際，有助于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識與實踐能力.解決問題時所用的具體數(shù)學知識并不多，關(guān)鍵是考查學生的觀察分析能力、直覺頓悟能力和逆向推演能力，注重于對邏輯思維能力、理性思維能力和解題方法的考查.問題“寓意深厚，淡中見雋”，需要“巧妙思索，出奇制勝”.題目明確地告訴我們，不僅要學會用數(shù)學的知識解決問題，更要善于運用數(shù)學的思想方法和創(chuàng)新思維方式來解決有關(guān)實際問題.

1.3 數(shù)學高考新課程試卷(以理科為例)中的數(shù)列解答題透視和趨勢分析

表2 2011年數(shù)學高考新課程試卷(理科)中的數(shù)列解答題統(tǒng)計

數(shù)列在解答題中長期處于壓軸題的地位(尤其是理科)，人們對它往往情有獨鐘，但在新課程下其教學內(nèi)容已大大削減，教學要求也明顯降低，相應(yīng)地在高考中的地位必然逐步下降.由于有些試卷最后一個大題安排自選模塊內(nèi)容，而有些試卷干脆只安排5個大題，這樣就把數(shù)列擠出了解答題.但從上面的統(tǒng)計可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)列在解答題中的壓軸地位不可動搖.

從思維角度看，考查數(shù)列的綜合知識還是必要的；從教學情感上說，數(shù)列解答題跟我們真的難舍難分.因此，從大綱課程高考向新課程高考過渡時仍然安排數(shù)列解答題是合適的，考查重點將會是等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項與求和以及利用重要不等式、放縮法、分類討論.從2011年的高考數(shù)列題看，試題難度越來越大，今后必需加強數(shù)列這部分內(nèi)容的教學.

數(shù)列是高考考查的重點和熱點，分析2011年數(shù)學高考試題，從分值來看，數(shù)列部分約占總分的10%.等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、求和公式的應(yīng)用以及基本性質(zhì)一直是高考的重點內(nèi)容.對數(shù)列部分的考查一方面以小題形式考查基礎(chǔ)知識；另一方面以解答題形式考查數(shù)列的概念、通項公式以及前n項求和公式.有些省份把數(shù)列題作為壓軸題，與不等式、數(shù)學歸納法、函數(shù)等內(nèi)容綜合，考查學生運用數(shù)學知識進行歸納、總結(jié)、推理、論證、運算等能力，以及分析和解決問題的能力.

1.4 高考數(shù)學新課程試卷(以理科為例)中的解析幾何解答題透視和趨勢分析

表3 2011年高考數(shù)學新課程試卷(理科)中的解析幾何解答題統(tǒng)計

新課程標準一再強調(diào)“了解實際背景”和“體會數(shù)形結(jié)合”，這些要求在2011年數(shù)學高考題中都得到了較好的體現(xiàn).在選擇題和填空題中，實際背景屢見不鮮，數(shù)形結(jié)合俯首皆是，多個省市還精心設(shè)計了有關(guān)橢圓與圓的應(yīng)用解答題，真是匠心獨運.解析幾何題是重頭戲，在新課程高考中還是巋然不動，它們在高考中處于壓軸(至少是準壓軸)地位.考試難度常見是較難題，且理科卷中其題序大致在倒數(shù)第2題(文科可能在最后一題).由于新課程試卷還處在摸索階段，對解析幾何的定位還具不確定性，估計中偏上的難度會是人們今后的共識.

這類問題常常涉及求直線或圓錐曲線的方程、直線被圓錐曲線所截得弦長的計算、直線與有關(guān)線段圍成的三角形面積及其最值的求解、運用點到直線距離公式求解等.

試題多以“直線與橢圓”為載體，“題意清晰、題面簡潔、題圖簡明、題問明確”，是一道“常見、常態(tài)、常規(guī)”之題型，但通過命題者題設(shè)條件的巧妙設(shè)置，使上述所列的有關(guān)知識得以具體而全面的考查.同時通過精心的設(shè)問，使相關(guān)知識得以較好地交融與交匯，拓展了問題考查的知識面，不失為一道好試題.

2 大綱課程卷在整體上風格穩(wěn)健、凸現(xiàn)能力，在穩(wěn)定中創(chuàng)新

2.1 數(shù)學高考大綱課程試卷(以理科為例)知識考點、題型分布統(tǒng)計表(如表4,表5)

表4 2011年數(shù)學高考大綱課程試卷(理科)選擇題和填空題知識考點分布

表5 2011年數(shù)學高考大綱課程試卷(理科)解答題題型分布

2.2 數(shù)學高考大綱課程試卷題型結(jié)構(gòu)穩(wěn)定，分值配置不變，考查主干知識不變

各卷的選擇題和填空題難度都進行了合理和適度的調(diào)整.總的來說，適當降低了起點，但也始終保持著最后一道選擇題和填空題的難度，選擇題和填空題的最后一題以及解答題的末兩、三題的后半題，分層、分級適當提高能力要求，從而達到了“區(qū)分”和“選拔”的目的.

選擇題和填空題畢竟不是解答題，小題不必大做：前幾道題只要運用基礎(chǔ)知識即可解決，而后幾道題需要在深刻理解知識的前提下靈機一動.我們通過對選擇題和填空題最后一題的知識考點進行統(tǒng)計分析，結(jié)果發(fā)現(xiàn)“橢圓”、“球”、“新定義(信息題)”排在前3位，究其原因是，它們能較好地考查數(shù)學方法的運用、數(shù)學知識的綜合和數(shù)學學習的潛能.

大綱課程試卷立體幾何、解析幾何題的材料背景一清二楚.其中立體幾何大題的材料背景中，正方體、非正方體的柱體、臺體和非規(guī)則幾何體烘托著錐體；在理科試卷解析幾何大題的材料背景中，圓、橢圓、拋物線烘托著雙曲線；在文科試卷解析幾何大題的材料背景中，圓、橢圓、雙曲線烘托著拋物線.

3 2011年數(shù)學高考卷總體評價及對高中數(shù)學教學的啟示

(1)突出重點注重雙基，主干內(nèi)容?？汲Ｐ?，對數(shù)學基礎(chǔ)知識和基本思想方法的考查達到“橫向到邊，縱向到底，不留死角，一網(wǎng)打盡”的境地.

2011年全國數(shù)學高考命題堅持對數(shù)學基礎(chǔ)知識和基本思想方法的考查;全面突出重點，對于支撐學科知識體系的重點內(nèi)容和主干知識的考查，占有較大的比例，構(gòu)成數(shù)學試卷的主體;注重學科的內(nèi)在聯(lián)系和知識的綜合性，從學科的整體高度和思維價值的高度考慮問題，對數(shù)學基礎(chǔ)知識和基本思想方法的考查達到必要的深度，這成為了2011年全國數(shù)學高考試卷的一大特色和一個亮點.

(2)知識能力素質(zhì)相融，全面檢測綜合素養(yǎng)，對數(shù)學概念本質(zhì)和理性思維能力的考查導入“回歸源頭，得心應(yīng)手，先思后解，自在悠閑”的境域.

2011年全國各地數(shù)學高考試題立意鮮明、題目不偏不怪、題干簡約、敘述清晰、純凈淡雅、平易近人.“以思維為核心，能力為導向”是2011年數(shù)學高考命題堅持不懈的追求.試題進一步深化能力立意思想，同時兼顧了數(shù)學知識、方法、思維、能力、素質(zhì)和綜合素養(yǎng)的考查，以有利于高校選拔新生，有利于中學實施素質(zhì)教育，有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和實踐能力的命題主旨.

(3)背景公平似曾相識，巧妙變換引爆思考，對自主探究和創(chuàng)新意識考查的命題設(shè)計步入“路徑寬敞，寓意深厚，淡中見雋，出奇制勝”的境界.

2011年各地數(shù)學高考試卷避免了刻板、繁難和偏怪的試題，避免了死記硬背的內(nèi)容、難晦冗長的題目敘述和繁瑣的計算，同時注意試題形式的多樣性和設(shè)計的創(chuàng)新性.在選擇題、填空題、解答題中均設(shè)計了利用考生熟悉的、常見的背景變化和重新設(shè)計的問題，其情境熟悉、寓意深刻，看似平淡實則新奇，思考路徑寬敞.問題的設(shè)計努力為“學生自主探究、發(fā)揮主觀能動性、研究問題的本質(zhì)、尋找合適的解題方法、優(yōu)化解題程序、展示其探索探究和創(chuàng)新意識、發(fā)揮創(chuàng)造能力”創(chuàng)設(shè)并提供了廣闊的揮灑空間，這又成為了2011年全國各地數(shù)學高考命題的一大特點.

(4)2011年數(shù)學高考卷對高中數(shù)學教學的啟示，如何上好復習課，如何減輕學生負擔，提高課堂教學效益.

2011年全國數(shù)學高考卷的風格決定了“難題不是難在技巧上，而是難在策略上”.在教學中，如何提升學生的解題策略水平？這是一個很難用一句話來回答的問題，我們可以試探性地作如下討論：

①學生的解題策略水平離不開數(shù)學思想方法的支撐，離不開對數(shù)學概念的深入理解.

②脫離學生的認知基礎(chǔ)，一味強調(diào)“核心技能”的復制與模仿，難以提升學生的解題策略水平.

③只在學生的認知基礎(chǔ)上進行“技能訓練”,而不進行“技能成因”的合理性、必要性探究，也難以提升學生的解題策略水平.

④學生策略水平的高低與學生包括閱讀理解在內(nèi)的綜合能力有關(guān)；與學生數(shù)學學習的經(jīng)驗水平有關(guān)；與學生面對陌生情境，能否進行信息加工，通過現(xiàn)象看本質(zhì)的心理素質(zhì)有關(guān)；與學生在長期的解題訓練中，能否不斷反思“技能成因”的合理性、必要性，進而內(nèi)化為策略原則，即“元認知”水平有關(guān).

基于這樣的認識，我們要提高高三數(shù)學課堂教學效益，須做到如下幾點：

(1)準確把握學生的思維習慣、認知基礎(chǔ)，并以此作為解題策略生成的起點；

(2)教學中善于引導學生把已有的生活經(jīng)驗適時遷移到解題策略的制定上來；

(3)對于超出學生思維習慣、認知基礎(chǔ)的解題策略，教師可以啟發(fā)式講授，但要深入挖掘其合理性、必要性，力求自然、和諧、水到渠成.

總之，數(shù)學是高考的主要學科，數(shù)學成績的高低將會決定考生的高考命運.如何在高三復習教學中，使學生獲得最佳的高考數(shù)學成績，一般是有規(guī)律可尋的，如下的幾條建議也許對你是有啟示的：按步思維；程序解答；回歸定義；分析轉(zhuǎn)化；數(shù)形結(jié)合；函數(shù)思想；分類討論；反面入手；特殊突破；重視通法.數(shù)學解題事實上就是經(jīng)過一系列的連續(xù)化歸與變形，將復雜的問題弄簡單、弄明白.當你的心在與書本交流、與數(shù)學題對白時，心頭就會逐漸升起淡淡的喜悅，浮蕩的靈魂就能體驗到數(shù)學思維里的美妙和美妙思維里的數(shù)學.愿我們能在思考中學習數(shù)學、在理解中感悟數(shù)學、在運用中體驗數(shù)學.