二階線性微分方程組解法研究

吳幼明， 馮寶儀

（佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)系，廣東佛山 528000）

二階線性微分方程組解法研究

吳幼明， 馮寶儀

（佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)系，廣東佛山 528000）

采用降階法和歐拉方法對(duì)一類二階線性微分方程組的求解進(jìn)行了研究，并給出了當(dāng)系數(shù)矩陣的特征根為三種不同情況（互異、共軛、二重根）時(shí)微分方程組的通解公式，并通過算例驗(yàn)證了通解的正確性.

矩陣；微分方程組；線性無(wú)關(guān)；通解

很多工程技術(shù)問題的數(shù)學(xué)模型都是以微分方程組［1，2］的形式出現(xiàn)，所以對(duì)微分方程組的求解問題研究具有現(xiàn)實(shí)意義.

針對(duì)常系數(shù)微分方程組的解法研究，已有很多學(xué)者做了深入細(xì)致的工作，并得到很多有用的結(jié)論.但大部分的工作都是針對(duì)一階微分方程組的研究，如文獻(xiàn)［3，4］分別采用初等變換解法和消去法對(duì)一階微分方程組進(jìn)行了求解；文獻(xiàn)［5，6，7］分別采用了遞推公式法，矩陣解法和初等解法對(duì)一階微分方程組的解法做了探討，并得到了通解公式；文獻(xiàn)［8］采用標(biāo)準(zhǔn)基解矩陣方法得到了復(fù)常系數(shù)一階微分方程組的通解公式，等等.而對(duì)高階微分方程組的研究文獻(xiàn)卻甚少，文獻(xiàn)［9］采用歐拉方法給出了一類二階微分方程組的通解公式，但該通解公式只適用于系數(shù)矩陣的6個(gè)特征根互異的情形.本文在文獻(xiàn)［9］的基礎(chǔ)上詳細(xì)討論了當(dāng)系數(shù)矩陣的特征根為三種不同情況（互異、共軛、二重根）時(shí)的一類二階常系數(shù)齊次線性微分方程組的通解，并通過算例驗(yàn)證了通解的正確性.本文的結(jié)論是文獻(xiàn)［9］的延續(xù)，因此更具有一般性，為高階微分方程組的研究提供了重要的參考資料.為了敘述的方便引入一些記號(hào)如下：

1 方程組的通解

對(duì)式（3）作變換f′1＝f3，f′2＝f4后，整理得

1.1 特征根為互異實(shí)根.

若式（6）解得的兩根不相等，則矩陣D的特征方程有四個(gè)互不相等的根.

當(dāng)λ＝λ1時(shí)，解特征方程（D-λ1E4）ξ＝0，求出特征根λ1對(duì)應(yīng)的特征向量ξ1，即

1.2 特征根為共軛復(fù)根.

此時(shí)易驗(yàn)證得g1，g2是方程組（3）的解，且g1，g2線性無(wú)關(guān).這就得到方程組（3）的兩個(gè)基解.

1.3 特征根為二重根.

2 算 例

2.1 特征根互異的情形.

2.2 特征根共軛的情形.

2.3 特征根兩根相等的情形.

3 結(jié)束語(yǔ)

本文利用降階法和歐拉方法，直接導(dǎo)出一類兩個(gè)未知函數(shù)的二階常系數(shù)線性齊次微分方程組的通解公式，該方法初等、實(shí)用.利用本文思想可推出三個(gè)及以上的未知函數(shù)的二階常系數(shù)線性齊次微分方程組的通解公式.

［1］ 吳幼明，羅旗幟，岳珠峰.考慮多參數(shù)分析薄壁箱梁剪滯效應(yīng)的力學(xué)模型［J］.汕頭大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2004，19（3）：27-32.

［2］ 吳幼明，羅旗幟，岳珠峰，熊稚軍.多因素分析薄壁曲線箱梁剪滯效應(yīng)的力學(xué)模型［J］.中南公路工程，2007，32（3）：42-45.

［3］ 宋燕.常系數(shù)齊次線性微分方程組的初等變換解法［J］.遼寧師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1995，18（1）：76-81.

［4］ 湯光宋.對(duì)用消去法解常系數(shù)線性微分方程組的注記［J］.撫州師專學(xué)報(bào)，1994，（3）：17-21.

［5］ 戴中林.常系數(shù)線性齊次微分方程組的遞推公式解法［J］.四川師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1995，16（2）：158-160.

［6］ 曹玉平.一階線性常系數(shù)微分方程組的矩陣解法［J］.河北理工學(xué)院學(xué)報(bào)，2004，26（1）：104-107.

［7］ 唐爍.常系數(shù)線性非齊次微分方程組的初等解法［J］.安徽教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2005，23（6）：15-17.

［8］ 鄧四清.復(fù)常系數(shù)線性齊次微分方程組的解法［J］.郴州師專學(xué)報(bào)（綜合版），1997，（3）：22-25.

［9］ 吳幼明，羅旗幟.一類二階常系數(shù)微分方程組的通解［J］.佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2002，20（2）：10-14.

Research the Solution of the Second Order Linear Differential Equations

WU You-ming， FENG Bao-yi
（Department of Mathematics，F(xiàn)oshan University，F(xiàn)oshan 528000，China）

Research the solution on one kind of the second order linear differential equations by the methods of reducing order and Euler’s eigenvalues.The general solution formulas of the differential equations are obtained when the characteristic root of coefficient matrix is different，conjugate or duplicate.Through some examples，the general solution formulas are validated.

matrix；differential equations；linear independence；general solution

O241.8

C

1672-1454（2011）04-0171-05

2008-09-16

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11026205）