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(嘉興市第一中學(xué) 浙江嘉興 314050)

2011年高考數(shù)學(xué)三角函數(shù)試題特點(diǎn)分析

●沈新權(quán)鄭俊煒

(嘉興市第一中學(xué) 浙江嘉興 314050)

三角函數(shù)是描述周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，在數(shù)學(xué)和其他學(xué)科領(lǐng)域中具有非常廣泛的應(yīng)用，因此它是高中數(shù)學(xué)乃至高等數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)知識之一．高中新課程標(biāo)準(zhǔn)中的三角函數(shù)內(nèi)容主要包括三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)、兩角和與差的三角函數(shù)、簡單的三角恒等變換以及解三角形等．新課程高考重視對三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)的考查，重視對三角函數(shù)基礎(chǔ)知識和基本技能的考查．

1 命題特點(diǎn)和知識類型

縱觀2011年全國各省市的數(shù)學(xué)高考試卷，我們發(fā)現(xiàn)2011年對三角函數(shù)部分的考查保持了內(nèi)容、題量、分值的穩(wěn)定，難度適中．其考查方向主要涉及3個(gè)方面：一是三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)；二是簡單的恒等變換；三是解三角形問題．解題過程一般是先進(jìn)行恒等變換，再利用三角函數(shù)圖像和性質(zhì)解題．對能力的考查主要是演繹推理能力、計(jì)算能力、綜合應(yīng)用知識解決問題的能力，體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想有化歸轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想、函數(shù)思想等．

1.1 三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)

三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，從2011年各省市的高考數(shù)學(xué)試卷來看，選擇題、填空題、解答題都有對三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)的考查，試題難度中等或中等偏易．

(1)三角函數(shù)的概念及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.

(2011年江西省數(shù)學(xué)高考文科試題)

分析本題重點(diǎn)考查三角函數(shù)的定義．由正弦函數(shù)的定義得

從而y<0，解得y=-8．

(2011年全國數(shù)學(xué)高考大綱卷文科試題)

分析本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系．由

圖1

且

解得

(2)三角函數(shù)的圖像.

例3函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常數(shù)，A>0,ω>0)的部分圖像如圖1所示，則f(0)=________．

(2011年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題)

分析本題主要考查由y=Asin(ωx+φ)的圖像寫出其解析式，以及誘導(dǎo)公式和數(shù)形結(jié)合思想．

由圖像可知

得

因此

類似的問題還有2011年遼寧省數(shù)學(xué)高考試題理科第16題、文科第12題．

(3)三角函數(shù)的性質(zhì).

( )

(2011年安徽省數(shù)學(xué)高考理科試題)

從而

( )

(2011年山東省數(shù)學(xué)高考理科試題)

1.2 簡單的三角恒等變換

三角恒等變換是解決三角函數(shù)問題的重要工具，2011年的數(shù)學(xué)高考試卷中主要考查利用三角恒等變換來求值、證明或者求解三角函數(shù)的性質(zhì)問題．

( )

(2011年遼寧省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析本題是簡單的三角函數(shù)求值問題，可以通過兩角和的正弦公式得到sinθ+cosθ的值，再平方求出sin2θ的值；也可以利用誘導(dǎo)公式，再結(jié)合二倍角的余弦公式求出sin2θ的值，即

這樣的三角函數(shù)恒等變化問題在2011年各省市的數(shù)學(xué)高考試卷中屢見不鮮，如2011年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題第7題也有類似的做法．

例7已知函數(shù)

(1)求f(x)的最小正周期和最小值；

(2011年四川省數(shù)學(xué)高考理科試題)

1.3 解三角形

2011年的數(shù)學(xué)高考重視對解三角形知識的考查，其考查特點(diǎn)是綜合三角函數(shù)知識考查正弦、余弦定理在解三角形、三角恒等變換以及實(shí)際問題中的應(yīng)用．

(2011年全國新課標(biāo)數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析本題主要考查了解三角形與三角函數(shù)問題.需要從正弦定理、三角恒等變換、三角函數(shù)的性質(zhì)這3個(gè)方面入手．由正弦定理得

AB+2BC=2sinC+4sin(120°-C)=

(2011年山東省數(shù)學(xué)高考理科試題)

2 亮點(diǎn)掃描

2.1 新穎問題隨處可見

(1)求f(x)的最小正周期及φ的值；

(2011年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題)

圖2

2.2 數(shù)學(xué)思想之花處處開放

( )

A．沒有零點(diǎn)

B.有且僅有1個(gè)零點(diǎn)

C.有且僅有2個(gè)零點(diǎn)

D.有無窮多個(gè)零點(diǎn)

(2011年陜西省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析本題可以根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)(值域、單調(diào)性等)進(jìn)行判斷，但其解法較煩.如果利用數(shù)形結(jié)合的思想方法進(jìn)行判斷，則結(jié)論直觀、清晰．以三角函數(shù)的知識為載體考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想、化歸轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)方程思想等是2011年數(shù)學(xué)高考的又一亮點(diǎn)．

2.3 知識交匯時(shí)隱時(shí)現(xiàn)

(2)若點(diǎn)P(x，y)為平面區(qū)域{x+y≥1,x≤1,y≤1}上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定角θ的取值范圍，并求函數(shù)f(θ)的最小值和最大值．

(2011年福建省數(shù)學(xué)高考文科試題)

分析本題在三角函數(shù)與線性規(guī)劃的知識交匯處命題，給人以耳目一新的感覺.問題的求解并不復(fù)雜，但對考生知識的全面性和完整性則有較高的要求．

3 復(fù)習(xí)建議

由于高考中對三角函數(shù)內(nèi)容的考查難度以中等或中等偏易為主，但對大部分?jǐn)?shù)學(xué)基礎(chǔ)不太理想的學(xué)生來講，三角函數(shù)公式多，解題頭緒雜，因此在復(fù)習(xí)中為了提高學(xué)生三角函數(shù)的解題能力，可以采取“智取為主，強(qiáng)攻為輔”的復(fù)習(xí)教學(xué)策略.

3.1 重視三角函數(shù)公式的復(fù)習(xí)，展示三角函數(shù)公式的內(nèi)在聯(lián)系

三角函數(shù)中的公式是進(jìn)行三角計(jì)算的基礎(chǔ)，也是三角變換的基本工具．2011年陜西省數(shù)學(xué)高考的文、理科試題都考查了余弦定理的證明，由此可見命題教師的良苦用心．三角公式雖然多，但它們之間都有一定的內(nèi)在關(guān)系，譬如誘導(dǎo)公式的主要功能是把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，具有“奇變偶不變，符號看象限”的內(nèi)在聯(lián)系；又如在兩角和與差的三角函數(shù)中，兩角和或差的余弦公式是所有這些公式的“母公式”，兩角和與差的其他公式、倍角公式等都可以由它們推導(dǎo)出來．因此，在復(fù)習(xí)過程中我們要教會(huì)學(xué)生理清公式之間的關(guān)系，在理解的基礎(chǔ)上熟悉、記憶公式，注重公式的變形和逆用，把公式歸類、條理化、系統(tǒng)化．

3.2 關(guān)注三角函數(shù)解題規(guī)律的總結(jié)，突破三角函數(shù)問題解決的瓶頸

在現(xiàn)行的課程標(biāo)準(zhǔn)中，三角函數(shù)問題雖然難度不高，但由于三角公式多、問題變化多的特點(diǎn)，不少基礎(chǔ)差的學(xué)生把三角函數(shù)視為“攔路虎”.為了解決這一問題，在復(fù)習(xí)過程中除了重視對三角函數(shù)公式的復(fù)習(xí)以外，還應(yīng)該要關(guān)注學(xué)生對三角函數(shù)解題過程的規(guī)律總結(jié)．例如對于化簡與求值題，常用的方法有：角的配湊、平方降次、切化弦、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系引路、利用輔助角公式等轉(zhuǎn)化為同名三角函數(shù)的函數(shù)，其主要目的是將未知角變換為已知角進(jìn)行求解；與三角函數(shù)的性質(zhì)有關(guān)的問題，要有目標(biāo)意識，合理運(yùn)用基本公式，把三角函數(shù)式轉(zhuǎn)化為一個(gè)角的一種三角函數(shù)的形式，其間常用的方法有：圖像變換、整體代換等；對于解三角形問題，借助正、余弦定理進(jìn)行邊、角互化，結(jié)合題目條件把邊轉(zhuǎn)化為角或把角轉(zhuǎn)化為邊．

3.3 強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生整體的數(shù)學(xué)思維

在三角函數(shù)的教學(xué)和復(fù)習(xí)中，要引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)的觀點(diǎn)來理解三角函數(shù)，強(qiáng)調(diào)角度與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生時(shí)刻抓住角度、象限、符號三者之間的關(guān)系，時(shí)刻把三角函數(shù)中的內(nèi)容同函數(shù)中的相關(guān)內(nèi)容作對比.同時(shí)要讓學(xué)生了解，三角函數(shù)作為函數(shù)，它的一個(gè)基本性質(zhì)就是周期性，這是三角函數(shù)不同于其他函數(shù)的最基本的東西．另外，整個(gè)三角函數(shù)都是在直角坐標(biāo)系下學(xué)習(xí)的，這也充分體現(xiàn)了解析幾何思想，而解析幾何的最基本特征就是數(shù)形結(jié)合．因此，數(shù)形結(jié)合給三角函數(shù)增添了形象性、直觀性，也能夠提高學(xué)生學(xué)習(xí)三角函數(shù)的興趣和積極性．除此之外，數(shù)學(xué)中常見的數(shù)學(xué)思想如轉(zhuǎn)化與化歸(角與角的轉(zhuǎn)化、角與邊的轉(zhuǎn)化、函數(shù)名稱之間的轉(zhuǎn)化等)、函數(shù)與方程的思想、換元的思想、整體的思想等在三角函數(shù)的教學(xué)內(nèi)容中都有淋漓盡致地體現(xiàn)．在復(fù)習(xí)中，借助三角函數(shù)這一教學(xué)內(nèi)容，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，才能使得學(xué)生在整體上把握住三角函數(shù)，使得學(xué)生在更高的高度上理解、掌握三角函數(shù)，從而提高教學(xué)，提高復(fù)習(xí)實(shí)效．