曹愛民

濟(jì)南職業(yè)學(xué)院 山東 濟(jì)南 250014

數(shù)學(xué)思想，是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識(shí)之中，經(jīng)過思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果。數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與理論經(jīng)過概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認(rèn)識(shí)；數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體化形式，實(shí)際上兩者的本質(zhì)是相同的，差別只是站在不同的角度看問題。通常混稱為“數(shù)學(xué)思想方法”。日本數(shù)學(xué)教育家米山國藏說：“學(xué)生在學(xué)校所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，在進(jìn)入社會(huì)后，幾乎沒有機(jī)會(huì)應(yīng)用，因而這種作為知識(shí)的數(shù)學(xué)，通常在出校門后不到一兩年就忘掉，然而不管他們從事什么工作，那種銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法，卻長期地在他們的生活和工作中發(fā)揮著重要作用，使其終身受益”。通過數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，數(shù)學(xué)的能力才會(huì)有一個(gè)大幅度的提高，掌握數(shù)學(xué)思想，就是掌握數(shù)學(xué)的精髓。對(duì)高職院校的學(xué)生而言，由于其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較薄弱，抽象的數(shù)學(xué)邏輯體系成了他們理解的障礙，高職院校高等數(shù)學(xué)的教學(xué)目的在于讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)課程的主線，掌握數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)踐中的簡單理論和操作方法，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思維分析和解決實(shí)際問題，因此，在教學(xué)實(shí)踐過程中，如何利用有限的課時(shí)使學(xué)生掌握更多的數(shù)學(xué)技能和數(shù)學(xué)方法，成為每一位職業(yè)院校數(shù)學(xué)教師必須思考的問題，因此在教學(xué)中要重視對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的總結(jié)和提煉，把有限的教學(xué)內(nèi)容拓展到學(xué)生各專業(yè)應(yīng)用實(shí)踐中去。在教學(xué)內(nèi)容的安排上，盡可能地降低抽象性，減少不必要的理論推導(dǎo)，突出操作性和應(yīng)用性，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維方式和思想方法的養(yǎng)成，使高等數(shù)學(xué)成為培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想素質(zhì)、訓(xùn)練數(shù)學(xué)應(yīng)用技術(shù)的平臺(tái)。

1 挖掘高等數(shù)學(xué)教材中隱含的數(shù)學(xué)思想方法

高等數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)概念、公式、定理、法則、性質(zhì)等內(nèi)容，是數(shù)學(xué)知識(shí)有形的實(shí)體，而數(shù)學(xué)思想方法隱含在數(shù)學(xué)知識(shí)體系當(dāng)中，滲透在教材的不同章節(jié)和不同的內(nèi)容中，需要經(jīng)過分析、鑒別、抽象、總結(jié)才能得出，而其一旦形成以后，又可以指導(dǎo)我們?nèi)パ芯啃碌臄?shù)學(xué)知識(shí)。數(shù)學(xué)思想方法滲透在學(xué)生獲得知識(shí)和解決問題的過程中，如果能有效地引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)形成過程，讓學(xué)生在觀察實(shí)驗(yàn)分析、抽象、概括的過程中，看到知識(shí)背后負(fù)載的方法，蘊(yùn)含的思想，那么，學(xué)生掌握知識(shí)才是鮮活的，可遷移的，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)才得到質(zhì)的飛躍。因此，教師首先應(yīng)從思想上提高對(duì)思想方法重要性的認(rèn)識(shí)，把掌握數(shù)學(xué)知識(shí)和滲透數(shù)學(xué)思想方法同時(shí)融入教學(xué)目標(biāo)。其次，要深入鉆研教材，努力挖掘高等數(shù)學(xué)教材中隱含的數(shù)學(xué)思想方法。高等數(shù)學(xué)中隱含的思想方法很多，比如，數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、轉(zhuǎn)化思想等都有所體現(xiàn)，但比較重要的是三種數(shù)學(xué)思想：極限思想、導(dǎo)數(shù)思想和積分思想。

1）極限思想：極限的思想是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想，高等數(shù)學(xué)就是以極限概念為基礎(chǔ)、極限理論為主要工具來研究函數(shù)的一門學(xué)科。謂極限的思想，是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數(shù)學(xué)思想。極限思想的應(yīng)用主要是作為一種方法給出了導(dǎo)數(shù)、微分、定積分、二重積分等重要概念，初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的本質(zhì)區(qū)別也體現(xiàn)在數(shù)學(xué)的研究方法發(fā)生了改變，這一改變就是引入了極限思想，把原本“靜止”的數(shù)學(xué)變成了“運(yùn)動(dòng)”的數(shù)學(xué)，高職院校的學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的初期，普遍感覺到高等數(shù)學(xué)不好學(xué)，很大程度上就是因?yàn)閿?shù)學(xué)的思想方法變了，而他們思考問題、解決問題的方法還沒有轉(zhuǎn)變。用極限思想解決問題的一般步驟可概括為：對(duì)于被考察的未知量，先設(shè)法構(gòu)思一個(gè)與它有關(guān)的變量，確認(rèn)這變量通過無限過程的結(jié)果就是所求的未知量，最后用極限計(jì)算來得到這結(jié)果。

2）導(dǎo)數(shù)思想：導(dǎo)數(shù)是近代數(shù)學(xué)中微積分的核心概念之一，是一種思想方法，兩類問題導(dǎo)致了導(dǎo)數(shù)概念的產(chǎn)生：一是求變速運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度，二是求曲線上一點(diǎn)處的切線，這兩類問題都?xì)w結(jié)為變量變化的快慢程度，即變化率問題。牛頓從第一個(gè)問題出發(fā)，萊布尼茲從第二個(gè)問題出發(fā)，分別給出了導(dǎo)數(shù)的概念。導(dǎo)數(shù)運(yùn)算是一種高明的數(shù)學(xué)思維，用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算去處理函數(shù)的性質(zhì)更具一般性，獲得更為理想的結(jié)果；把運(yùn)算對(duì)象作用于導(dǎo)數(shù)上，可使我們擴(kuò)展知識(shí)面，感悟變量、極限等思想，運(yùn)用更高的觀點(diǎn)和更為一般的方法解決或簡化高等數(shù)學(xué)中的不少問題；導(dǎo)數(shù)的方法是全面研究微積分的重要方法和基本工具，在在其它學(xué)科中同樣具有十分重要的作用，在物理學(xué)，經(jīng)濟(jì)學(xué)等其它學(xué)科和生產(chǎn)、生活的各個(gè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。

3）積分思想：通常的加法是有限項(xiàng)相加，定積分概念是從求曲邊梯形的面積和變速直線運(yùn)動(dòng)的路程兩個(gè)問題引出來的，從解決這兩個(gè)問題的基本思想和步驟來考察，我們會(huì)體會(huì)到，定積分也是一種積累，曲邊梯形的面積是由“小窄條面積”積累而得：無限多個(gè)底邊長趨于零的小矩形的面積相加而得；變速直線運(yùn)動(dòng)的路程是由“小段路程”積累而得：無限多個(gè)時(shí)間間隔趨于零的小段路程相加而成全路程。因此，用定積分所表示的積累與同城意義下的積累不同。這里要以無限細(xì)分區(qū)間［a，b］而經(jīng)歷一個(gè)取極限的過程。也就是說，定積分是無限積累。能用定積分表示的量所具有的特點(diǎn)是：一是量不均勻地分布在一個(gè)有限區(qū)間［a，b］上，或者說它與自變量 的一個(gè)區(qū)間有關(guān)，當(dāng)區(qū)間［a，b］給定后，S就是一個(gè)確定的量。二是部分量ΔSi在部分區(qū)間［xi-1，xi］上能用“以直代曲”或“以不變代變”的方法寫出ΔSi的近似表達(dá)式：ΔSi≈f（ξi）Δxi，i=1，2，…，n，xi-1≤ξi≤xi，這里f（x）（x∈［a，b］）是根據(jù)具體問題所得到的函數(shù)。

2 在課堂教學(xué)過程中 滲透數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)必須通過具體的教學(xué)過程得以實(shí)現(xiàn)，因此，必須把握好教學(xué)過程中進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的每一個(gè)環(huán)節(jié)——概念形成的過程、結(jié)論推導(dǎo)的過程、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、數(shù)學(xué)建模教學(xué)的過程等。

2.1 在概念形成的過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法

2.2 在結(jié)論推導(dǎo)的過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法

這三道題雖然形式與原例題只有微小差別（二次三項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)不同），但其解法卻大相徑庭，（1）的解法是把分母完全平方，然后湊微分求解；（2）是仿原例題的解法，只是在湊微分時(shí)稍顯復(fù)雜；（3）的解法是把被積函數(shù)裂成兩項(xiàng)，然后逐項(xiàng)積分。為什么會(huì)有如此大的區(qū)別呢？在總結(jié)的時(shí)候要給學(xué)生點(diǎn)出，幾道題目的本質(zhì)區(qū)別其實(shí)在于其分母二次三項(xiàng)式所對(duì)應(yīng)一元二次方程的判別式不同，當(dāng)Δ=0時(shí)，同（1）的解法；當(dāng)Δ＜0時(shí)，同（2）的解法；當(dāng)Δ＞0時(shí)，同（3）的解法。這其實(shí)是數(shù)學(xué)上的分類匯總思想，這樣處理既把知識(shí)進(jìn)行了有效地總結(jié)，有滲透了數(shù)學(xué)的思想方法。

2.3 在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 數(shù)學(xué)建模的教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法

根據(jù)高職高專培養(yǎng)目標(biāo)的要求，對(duì)高等數(shù)學(xué)這門基礎(chǔ)理論課的教學(xué)，要“淡化數(shù)學(xué)理論教學(xué)，注重?cái)?shù)學(xué)思想方法傳授，側(cè)重?cái)?shù)學(xué)應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力培養(yǎng)”。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是指為研究與獲得某種數(shù)學(xué)理論、驗(yàn)證某種數(shù)學(xué)猜想、解決某種數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用數(shù)學(xué)的一些思想方法和手段，在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)指導(dǎo)下，在思維的實(shí)驗(yàn)環(huán)境中或特定的實(shí)驗(yàn)條件下所進(jìn)行的一種數(shù)學(xué)探究活動(dòng)。數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并“解決”實(shí)際問題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段。因此，在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和數(shù)學(xué)建模教學(xué)的過程中，要注重對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的滲透和講解，側(cè)重培養(yǎng)學(xué)習(xí)運(yùn)用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)去解決實(shí)際問題的能力。例如，定積分的思想是高等數(shù)學(xué)中最基本、最重要、最有實(shí)用價(jià)值的思想方法之一，也是應(yīng)用微積分描述實(shí)際問題，構(gòu)成數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)。要通過幾何、物理、經(jīng)濟(jì)學(xué)等實(shí)例，加深對(duì)定積分思想方法的理解，進(jìn)一步增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)去理解、描述實(shí)際問題的能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的初步能力；導(dǎo)數(shù)的思想方法應(yīng)用研究著重于瞬時(shí)速度、瞬時(shí)電流強(qiáng)度、切線斜率、曲率、邊際利潤、邊際成本等實(shí)際問題等。通過這些應(yīng)用問題的練習(xí)，可以鍛煉學(xué)生在較簡單的實(shí)際問題中提煉并且學(xué)會(huì)解答數(shù)學(xué)建模問題，進(jìn)一步增強(qiáng)數(shù)學(xué)建模意識(shí)。

3 在現(xiàn)代信息技術(shù)的融合中 要貫通數(shù)學(xué)思想方法

高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，要融入現(xiàn)代教育信息技術(shù)，要充分發(fā)揮現(xiàn)代教育信息技術(shù)的優(yōu)勢，把原本枯燥和抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容轉(zhuǎn)換成學(xué)生喜聞樂見的表現(xiàn)形式，最大限度的發(fā)揮高科技手段的表現(xiàn)形式，把高等數(shù)學(xué)知識(shí)表現(xiàn)為文字、圖像、數(shù)字和聲音等多種形式有機(jī)的合為一體的形式，充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)理論產(chǎn)生、發(fā)展、變化的過程和數(shù)學(xué)本質(zhì)，最大限度的調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，提高學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)去解決實(shí)際問題的能力。例如，在講解用定積分的思想求曲邊梯形的面積時(shí)，要表現(xiàn)當(dāng)區(qū)間分割越來越小的時(shí)候，每個(gè)區(qū)間對(duì)應(yīng)舉行的面積和越來越接近曲邊梯形的面積時(shí)，無論是從描述還是畫圖都比較困難，而利用幾何畫板或MATLAB等軟件制作的課件去演示這一變化過程就非常方便。因此，在課程整合的過程中，要充分發(fā)揮信息技術(shù)的這一特點(diǎn)，幫助學(xué)生在較短的時(shí)間內(nèi)完成對(duì)艱深的數(shù)學(xué)定理的理解，幫助學(xué)生更好地從本質(zhì)上理解定理的內(nèi)在聯(lián)系。

數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)要求教師掌握深層的、廣博的知識(shí)，以保證在教學(xué)過程中有明確的教學(xué)目標(biāo)。教師要針對(duì)不同的數(shù)學(xué)內(nèi)容，靈活設(shè)計(jì)教學(xué)方案，積極引領(lǐng)學(xué)生在主動(dòng)探究數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中親身經(jīng)歷，在不同學(xué)科的融合中感悟、理解并掌握數(shù)學(xué)思想方法。讓數(shù)學(xué)思想方法在與知識(shí)能力形成的過程中共同生成，真正領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的精髓，從而進(jìn)一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)。

［1］徐利治.數(shù)學(xué)方法論選講［M］.武漢：華中科技大學(xué)出版社，2000.

［2］黎加厚.基于現(xiàn)代教育技術(shù)的信息教育［J］.中國電化教育，1999，（07）.

［3］吳元梁.科學(xué)方法論基礎(chǔ)［M］.北京：中國社會(huì)科學(xué)出版社，1991.