韓道權(quán)，韓 超，丁寶林，葉衛(wèi)東

（1.東北石油大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院，黑龍江大慶163318；2.大慶油田裝備制造集團(tuán)，黑龍江大慶163255） ①

基于Matlab的單螺桿泵線型打扣分析

韓道權(quán)1，韓 超1，丁寶林2，葉衛(wèi)東1

（1.東北石油大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院，黑龍江大慶163318；2.大慶油田裝備制造集團(tuán)，黑龍江大慶163255）①

根據(jù)單螺桿泵定子骨線及其等距曲線的形成原理，利用Matlab軟件對單螺桿泵定子骨線打扣現(xiàn)象進(jìn)行了深入剖析，并利用數(shù)值法繪出了單螺桿泵定子頭數(shù)、變幅系數(shù)和不打扣條件下的最大等距半徑之間的關(guān)系圖形。結(jié)果表明：當(dāng)定子頭數(shù)確定時，變幅系數(shù)與不打扣最大等距半徑的關(guān)系曲線為遞減規(guī)律；當(dāng)變幅系數(shù)確定時，定子頭數(shù)越小，允許的不打扣半徑越大。

螺桿泵；曲線；干涉；數(shù)學(xué)分析

1 單螺桿泵定子骨線方程

定子骨線的研究主要是在復(fù)平柱面坐標(biāo)系下，它與常規(guī)的空間直角坐標(biāo)系O－x－y－z的不同之處在于以復(fù)平面1－O－j取代實平面x－O－y，并取向下方向為z軸正方向。復(fù)平柱面坐標(biāo)系中，O－1稱為實軸，單位是1；O－j稱為虛軸，單位是，如圖1所示。單螺桿泵定子骨線是將半徑為r的滾圓沿半徑為R的導(dǎo)圓做相對純滾動時，滾圓平面上任意點A在導(dǎo)圓平面上形成的軌跡。3頭定子骨線如圖2所示，圓O1為導(dǎo)圓，圓O2為滾圓。定子骨線在復(fù)平柱面坐標(biāo)系下的方程［1－2］為

式中，n為轉(zhuǎn)子的頭數(shù)；K為變幅系數(shù)，即發(fā)生點A到滾圓圓心O2的距離與r的比值。

圖1 復(fù)平柱面坐標(biāo)系

圖2 3頭定子骨線

2 定子輪廓線打扣現(xiàn)象分析

單螺桿泵定子輪廓線是圓心在骨線上、半徑為ra的一系列圓外包絡(luò)（即等距曲線）得到的。因此，當(dāng)?shù)染鄨A上外包絡(luò)點出現(xiàn)回行時，就會產(chǎn)生打扣現(xiàn)象［3－4］，如圖3所示。

圖3 等距曲線打扣

點A在等距曲線上的等距點為C，點B的等距點為D，D點出現(xiàn)了回行，這時就產(chǎn)生了打扣現(xiàn)象，即打扣現(xiàn)象產(chǎn)生的根本原因就是骨線上任意2點相鄰的法線在等距半徑范圍內(nèi)有交點。這時生產(chǎn)出來的定子并不是嚴(yán)格的擺線等距曲線。如果打扣較小，唯一的解決辦法是通過橡膠的過盈來進(jìn)行補(bǔ)償，但是如果打扣較大，則不能用這種方法解決。

由式（1）可得到骨線在復(fù)平柱面坐標(biāo)系下的切線方程為［5－8］

由式（2）可得直角坐標(biāo)系下坐標(biāo)方程為

由式（3）可推出，骨線在直角坐標(biāo)系下任意點的切線方程為

由式（3）～（4）可得骨線任意點上的法線方程為

通過上述公式利用軟件繪制定子骨線及其法線圖形。由于定子骨線是軸對稱圖形，因此，只研究其1個對稱區(qū)間的圖形即可。當(dāng)K＝1時，定子骨線及其法線圖形如圖4所示。當(dāng)θ＝0時，法線是垂直的，它與其他法線的焦點隨著θ的減小而越來越接近骨線，這時無論等距半徑取多大，等距曲線都會產(chǎn)生打扣現(xiàn)象。這也是由于骨線在θ＝0處為尖點所致。

圖4 K＝1時3頭骨線及其法線

K＝0.8時，骨線及其法線圖形如圖5所示?？梢钥闯觯讦龋?處，骨線為弧形，因此法線是水平的，而后法線斜率先遞增，后遞減。但法線在一定范圍內(nèi)彼此間仍有交點。因此，等距曲線的打扣現(xiàn)象是在等距半徑增大到一定范圍內(nèi)產(chǎn)生的。

圖5 K＝0.8時3頭骨線及其法線

K＝0.5時，骨線及其法線圖形如圖6所示?？梢钥闯觯讦龋?處法線仍是水平的，而后法線呈遞增規(guī)律。法線在骨線外側(cè)是發(fā)散的，沒有交點，這時無論等距半徑取多大，等距曲線都不會產(chǎn)生打扣現(xiàn)象。

圖6 K＝0.5時3頭骨線及其法線

以3頭單螺桿泵骨線為例，通過Matlab繪制定子骨線法線斜率圖形，進(jìn)一步直觀判斷定子打扣現(xiàn)象。圖7自下而上分別是K為0.1～0.9（步長0.1）時法線斜率；K＝1時法線斜率如圖8所示。

圖7 K＝0.1～0.9時3頭骨線法線斜率

圖8 K＝1時3頭骨線法線斜率

如圖7所示，當(dāng)K趨近于0時，斜率曲線向右下方下凹，并且單調(diào)遞增。隨著K的增加，曲線下凹趨勢不斷變緩，直至上凸。如圖8所示，當(dāng)K＝1時，上凸曲線左側(cè)消失，只剩下右側(cè)，變成唯一一條向左下方下凹的曲線，此時，在θ＝0處法線是垂直的。當(dāng)K＜1時，骨線在θ＝0處為弧形，因此法線為水平方向。當(dāng)法線斜率單調(diào)遞增時，彼此之間就不會有交點；當(dāng)法線斜率先遞增后遞減時，打扣現(xiàn)象是在一定范圍內(nèi)產(chǎn)生的；當(dāng)法線遞減（K＝1）時，定子輪廓線永遠(yuǎn)打扣。

3 數(shù)值法求解不打扣最大等距半徑

通過上述分析可知，定子輪廓線不打扣的最大等距半徑即為骨線外側(cè)法線交點到骨線距離中的最小值?；谶@個條件，用Matlab進(jìn)行編程，求出這個最小值，過程如下：

通過上述程序可以找到在n、K條件下定子不打扣的最大等距半徑，并得到1組頭數(shù)不變、K變化的數(shù)據(jù)。通過曲線擬合的形式可以做出不同頭數(shù)、變幅系數(shù)與最大等距半徑之間的關(guān)系圖形，如圖9所示。圖9中，取ra＝1，即單位擺線；當(dāng)ra的值不為1時，最大等距半徑數(shù)值上等于單位擺線的等距半徑乘以滾圓半徑。

圖9 3～6頭骨線最大等距半徑曲線

由圖9可以看出，定子不打扣的最大等距半徑是隨著變幅系數(shù)的增加而逐漸減小的；圖中清晰地反應(yīng)出了定子頭數(shù)、最大不打扣等距半徑和變幅系數(shù)K三者之間的關(guān)系。例如，當(dāng)K＝0.85時，從圖中可得3～6頭定子不打扣的最大等距半徑分別為9.4、5.9、4.7和4.2mm，即頭數(shù)越少，允許的不打扣等距半徑越大。

普通內(nèi)擺線是當(dāng)式（1）中K＝1時的擺線，共軛曲線副是定轉(zhuǎn)子頭數(shù)相差1得到的。短副內(nèi)擺線型單螺桿泵是短副內(nèi)擺線做定子骨線，用被定子骨線內(nèi)包絡(luò)的共軛曲線作為轉(zhuǎn)子骨線。因此，如果定子是不打扣的，那么用這種包絡(luò)曲線的方法得到的轉(zhuǎn)子骨線及其等距曲線也是不打扣的［5］。因此，只要保證基礎(chǔ)骨線R（θ）的等距曲線不打扣，就可以得到嚴(yán)格的定轉(zhuǎn)子共軛曲線?；A(chǔ)骨線的等距曲線打扣條件遵從圖9的規(guī)律。

4 結(jié)論

1） 當(dāng)變幅系數(shù)K＝1時，等距曲線永遠(yuǎn)打扣；當(dāng)0＜K＜1時，等距曲線永遠(yuǎn)不打扣。

2） 當(dāng)變幅系數(shù)K趨近于1時，不打扣等距半徑迅速下降，越接近1，可用等距半徑越小。

3） 不同頭數(shù)、相同變幅系數(shù)、頭數(shù)越少時，允許的不打扣等距半徑越大。

4） 相同頭數(shù)、變幅系數(shù)越小時，允許的不打扣等距半徑越大。

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Analysis of Linear Dozen Buckle of Single Screw Pump Based on Matlab

HAN Dao－quan1，HAN Chao1，DING Bao－lin2，YE Wei－dong1
（1.College of Mechanical Science and Engineering，Northeast Petroleum University，Daqing163318，China；2.Daqing Petroleum Equipment Group，Daqing163255，China）

According to formation mechanism of stator skeleton lines and its isometric profiles of screw pump，the phenomenon of Dozen buckle of bone line of single screw pump stator has been analyzed by mathematical software Matlab，the relationship between the different number of single screw pump stator，the radius variation ratio and the radius of the maximum isometric under the condition of no dozen buckle has been painted out.The results show that：when the stator head is determined，the radius variation ratio and the radius of the maximum isometric show a decreasing trend；when the radius variation ratio is determined，the fewer the number of stator head，the larger the radius.

screw pump；curve；interaction；mathematic analysis

1001－3482（2011）12－0038－04

TE933.3

A

2011－06－13

黑龍江省教育廳科技攻關(guān)項目（11551014）

韓道權(quán)（1966－），男，黑龍江大慶人，副教授，主要從事機(jī)械設(shè)計制造及其自動化研究，E－mail：handq2003＠163.com。