基于Fourier譜元法的拱壩結(jié)構(gòu)靜動(dòng)力分析探究

唐波

簡(jiǎn)介：將譜方法和有限元理論結(jié)合形成的譜元法，同時(shí)具有譜方法任意階收斂和有限元可操作性的優(yōu)點(diǎn)。將Fourier積分函數(shù)運(yùn)用于譜元法對(duì)拱壩結(jié)構(gòu)計(jì)算中，具有快速、高效、精確的求解優(yōu)勢(shì)，對(duì)提高數(shù)值計(jì)算精度和譜元法在工程中的實(shí)用性，具有較高的參考價(jià)值。

關(guān)鍵詞：拱壩結(jié)構(gòu)靜動(dòng)力分析、譜元法、Fourier積分函數(shù)

Research on static and dynamic analysis of dam structure

based on Fourier spectral element method

Tang Bo

School of Civil Engineering, Tong ji University, Shang Hai, China, 200092

Abstract：The spectral element method originated from the finite element method (FEM) and the spectral method has the advantages of excellent operability and convergence of arbitrary order. The dam structural calculation using spectral element method with Fourier integral function can solve equations fast, efficiently and accurately. Therefore, it has a large value in improving the numerical accuracy and the practicality of spectral method in practical engineering.

Keywards：Static and dynamic analysis of dam structure, spectral element method, Fourier integral function

1、引言

結(jié)構(gòu)靜、動(dòng)力分析的高速、有效和準(zhǔn)確性，一直以來都是研究人員關(guān)注的問題，在結(jié)構(gòu)計(jì)算理論也不斷發(fā)展的基礎(chǔ)上，新的計(jì)算方法也不斷被提出，例如數(shù)值差分法、有限元方法等。本文在前人的基礎(chǔ)上，利用譜方法的優(yōu)點(diǎn)，對(duì)結(jié)構(gòu)各種荷載激勵(lì)下的靜、動(dòng)力計(jì)算分析方法做出了初步探究。

2、基本理論

我們知道，一般靜、動(dòng)力問題的基本理論方程為：

幾何方程： (1)

為應(yīng)變向量，為微分算子，為形函數(shù)，為幾何矩陣，為節(jié)點(diǎn)位移向量，為拱壩結(jié)構(gòu)位移矩陣。

物理方程：(2)

為結(jié)構(gòu)應(yīng)力向量，為剛度矩陣。

力平衡方程：(3)

是微分算子，是該點(diǎn)在單位體積的體積力向量，和分別為質(zhì)量密度和阻尼系數(shù)。

力的邊界條件：（4-1）

為邊界上已知彈性體單位面積上作用的面積力量；為邊界外法線方向余弦形成的列向量；

幾何邊界條件：（4-2）

為邊界上已知的位移向量。

3、基本動(dòng)力方程

由有限元法可知，由達(dá)朗貝爾原理可知結(jié)構(gòu)的基本動(dòng)力方程為：

（5）

單元?jiǎng)偠染仃嚕海?-1）

單元質(zhì)量矩陣： （5-2）

單元阻尼矩陣：（5-3）

矩陣形式表達(dá)為：

上式中，為單元荷載向量。

則對(duì)整個(gè)結(jié)構(gòu)可知：（6）

分別為結(jié)構(gòu)剛度矩陣，阻尼矩陣，質(zhì)量矩陣，荷載矩陣。

4、利用Fourier譜元法形成計(jì)算形函數(shù)矩陣

對(duì)于任意函數(shù)，采用fourier逼近則有：

由最佳平方逼近可知得：

對(duì)于在離散點(diǎn) 給定值的函數(shù)，可以類似的求出在離散點(diǎn)的離散Fourier系數(shù)和，即得到如下表達(dá)式：

（）（7）

利用三角變換可得：（8）

其中：

在實(shí)際運(yùn)用中，采用如下點(diǎn)集： ，則代入上式可得：

（9）

其中：

則可以得到：

對(duì)于函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算可以通過對(duì)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算，配置點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為：

（10）

對(duì)三維函數(shù)，在標(biāo)準(zhǔn)的正方體單元內(nèi)，分別定義三個(gè)方向上的節(jié)點(diǎn)系，其中：

則有：

則的傅里葉譜展開式為：

（11）

其中：，，

顯然：

若共i個(gè)點(diǎn)，則（13）式可表示為：

得到位移形函數(shù)再代入下面的計(jì)算中。

5、剛度矩陣、質(zhì)量（阻尼）矩陣、荷載向量推導(dǎo)

類似有限元方法，推導(dǎo)在變換矩陣和矩陣

同樣按照有限元的推導(dǎo)方法，得到：

由得到單元?jiǎng)偠确謮K矩陣

其中： （12）

的表達(dá)形式類似于有限元法的表達(dá)形式，不過形函數(shù)形式如前所推導(dǎo)。

由得到單元質(zhì)量分塊矩陣，

其中： （13）

由得到荷載列向量

其中: 體力荷載（14-1）

面力荷載（14-2）

得到積分形式之后，我們可以參考有限元等參單元和高斯積分將積分形式化為代數(shù)乘積表達(dá)式，從而得到相應(yīng)矩陣。

6、編程進(jìn)行結(jié)構(gòu)靜、動(dòng)力計(jì)算分析

拱壩結(jié)構(gòu)受力分析計(jì)算一般計(jì)算按照如下步驟進(jìn)行，模型單元?jiǎng)澐帧O(shè)定基本參數(shù)及規(guī)定邊界條件和初始條件——→讀取荷載——→計(jì)算單元應(yīng)力、應(yīng)變——→結(jié)果顯示

7、結(jié)論

以上的理論推導(dǎo)，筆者認(rèn)為：譜元法運(yùn)用于拱壩結(jié)構(gòu)的靜、動(dòng)力分析具有精度高、快速收斂的特點(diǎn)，在實(shí)際工程中是可行的，并且由于其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，將來的運(yùn)用會(huì)越來越廣泛。當(dāng)然，由于譜元法還不夠成熟，成熟的運(yùn)用于實(shí)際工程還有很大困難，需要更多的科研人員努力。

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注：文章內(nèi)所有公式及圖表請(qǐng)以PDF形式查看。