秦志杰,李 釗

(鄭州大學物理工程學院,鄭州450001)

S波配對的超導石墨烯/石墨烯/超導石墨烯結中的近鄰效應

秦志杰,李 釗

(鄭州大學物理工程學院,鄭州450001)

基于BCS理論,在緊束縛近似下,利用Bogoliubov-de Gennes(BdG)方程,通過自洽計算,研究了具有 S波配對的超導石墨烯/石墨烯/超導石墨烯結中的近鄰效應.針對在超導部分和正常導體部分的費米能級匹配和不匹配兩種情況,討論了化學勢對體系的局域態(tài)密度以及配對振幅的影響.研究表明,GSNS結構的近鄰效應依賴于超導部分和正常部分的化學勢匹配情況.

石墨烯;超導;近鄰效應

石墨烯是一種具有蜂窩狀晶格結構的二維電子系統(tǒng),自成功制備以來,因其獨特的性質,吸引了大量的來自理論和應用兩個方面的研究.由于已經在一系列碳基材料[1-3]中觀察到超導態(tài),因此關于石墨烯是否存在超導電性一直受到關注[4-5].人們已經在基于石墨烯的超導/正常導體/超導(GSNS)組成的約瑟夫森結中觀測到了約瑟夫森電流[6].在石墨烯晶格中,庫伯對可以相干傳播,這為在石墨烯中實現超導帶來了希望.理論上,人們利用基于四分量的Dirac Bogoliubovde-Gennes(D BdG)方程[7]和 Bogoliubov-de-Gennes(BdG)方程來研究這一問題[8].人們對石墨烯中是否存在超導尚不清楚,但已有學者從理論角度嘗試提出可能的配對機制.目前,石墨烯中的可能超導機制分為兩類:一種是內稟的聲子或等離子傳播的超導電性[9];另一種是近鄰效應導致的超導電性[10].因此,對于石磨烯中超導電性的研究,仍是值得探討的問題.

近鄰效應是指在超導體和正常導體界面附近,超導體內部的庫伯對可能會滲透到正常導體一側的某個深度內,從而在正常導體內的這一區(qū)域內誘導出接近超導體的行為.對近鄰效應的研究,是超導領域實驗工作者和理論工作者所關心的一個重要方面[11-12].在實驗方面,測量準粒子的局域態(tài)密度(LDOS)是研究近鄰效應的一個重要手段.在理論計算方面,Gorkov方程是計算接觸面附近LDOS的一種有效方法[13-14].同時BdG方程因其直觀的物理意義,也是考察近鄰效應的另一種有效工具[15].

在本文中,我們在緊束縛近似下,利用BdG方程,研究了在 T=0 K,具有S波配對的 GSNS結構中的近鄰效應.通過自洽求解,計算了在超導部分(S區(qū))和正常導體部分(N區(qū))的費米能級匹配和不匹配兩種情況下,配對振幅以及準粒子局域態(tài)密度對于化學勢的依賴關系.

1 模型與公式

為了研究 GSNS結的近鄰效應,我們考慮一個二維蜂窩晶格系統(tǒng),圖1所示是體系的結構示意圖.考慮到超導部分上格點吸引相互作用,在緊束縛近似下,體系的哈密頓可以寫為如下形式[8]:

圖1 GSNS結的二維晶格結構

式中:Fiσ(giσ)表示在子晶格A(B)上的i=(n,m)點處,消滅一個自旋為σ的電子;t代表躍遷積分;U(i)和μ(i)分別為在元胞i處的吸引作用強度和化學勢,其中,在超導部分U(i)為一常數,在正常部分U(i)為零;表示只對最近鄰的格點求和.在這里,只考慮最近鄰躍遷,并取t為能量單位.由于只考慮S波配對,BdG配對勢可以寫為:

這里,<…>代表統(tǒng)計平均.計算中,配對勢采用自洽計算.利用平均場近似,哈密頓量變?yōu)?

為了將BdG形式的哈密頓量對角化,對每個格點處電子的產生、湮滅算符進行如下的波戈留玻夫正則變換:

式中:N為晶格中的原胞數目;γ和γ+為新引入的準粒子產生、湮滅算符,并且滿足費米子反對易關系.對角化后的哈密頓量可以寫為如下形式

式中:Eg為哈密頓量的基態(tài)能量.

由以上關系,容易得到(u,v,y,z)所滿足的關系:

對于有 N個原胞的晶格系統(tǒng),求解上述方程的問題實際上轉換為求解形狀為4N×4N矩陣的本征值問題,矩陣的形式可以通過將上述方程擴展到整個晶格體系而確定下來,在絕對零度時,自洽條件(3)可以寫為

為了研究近鄰效應對于準粒子的局域態(tài)密度的影響,將計算并對比不同格點處準粒子的LDOS.準粒子的LDOS可通過如下公式進行計算:

在數值計算中,我們將上式中的δ函數用Lorentzian函數代替.

為了考察近鄰效應,我們在此定義配對振幅為

因為配對振幅在正常區(qū)并不為零,并且它也反映了電子的配對情況,所以可以從配對振幅來考察庫伯對由超導區(qū)到正常區(qū)的滲透情況.

2 計算結果與討論

在數值計算中,按照圖1中對原胞的標記方法,我們考察了大小為(N×M)的石墨烯晶格,其中 N=30,M=90.體系中的任一原胞可以用(n,m)標記,0≤n≤N-1,0≤m≤M-1.為了模擬 GSNS結構,我們沿著M方向將晶格分為3部分,首先假設晶格左邊一部分(m≤29)和右邊一部分(61≤m≤89)是超導體,這兩部分具有相同的相互作用強度U(i)≠0;而晶格中間部分(30≤m≤60)對應正常石墨烯,這部分的相互作用強度U(i)=0,即

沿m方向我們采用開放邊界條件,沿 n方向采用周期性邊界條件.在此,我們感興趣的主要是沿 m方向的LDOS和配對振幅的變化.

2.1 費米能級匹配情況

在數值計算中,首先考察超導部分的費米面和正常石墨烯部分的費米面均位于范霍夫奇點附近時的情況,即μ(S)=μ(N)=-1.04 t.圖2所示為費米能級匹配的情況下,沿垂直界面方向上準粒子的LDOS隨空間的分布情況.從圖2可以看出,在 S區(qū)和N區(qū)接觸面附近的LDOS與超導體和導體內部的情形明顯不同,呈現出明顯的近鄰效應.在超導體內部,費米面處存在一個超導能隙,且隨著格點逐漸靠近界面,這個能隙的寬度并沒有大的改變,但能隙的底部隨著與界面間距離的減小而逐漸上升.在正常石墨烯部分,對于遠離界面的點,準粒子的LDOS具有關于狄拉克點的對稱性,隨著格點和界面距離的減小,費米面附近的態(tài)密度逐漸受到壓制,準粒子的LDOS關于狄拉克點的對稱性逐漸被破壞.在圖2中,LDOS曲線并不平滑,而是出現了不同程度的震蕩,這種震蕩源于我們所計算的是有限體系.通常通過增加所計算體系的尺寸,LDOS在空間的震蕩周期會縮短.體系非常大時,曲線最終將會趨于平滑.

圖3所示為在費米能級匹配的情況下,當 S區(qū)和N區(qū)化學勢取不同值的時候,沿垂直界面方向體系的配對振幅隨空間的分布.從圖3可以看出,在接觸面附近點的配對振幅與超導體和導體內部點的不同,呈現出明顯的近鄰效應.在 S區(qū),配對振幅基本上為一常數;在 N區(qū),雖然相互作用強度為零,但配對振幅在界面附近仍然有一個小的非零值,而且在 N區(qū)隨著與界面距離的增加,這個數值逐漸衰減.這反映出在超導體內部的庫伯對會滲透到正常石墨烯部分,但這種滲透只發(fā)生在接觸面附近很薄的一層區(qū)域.在圖3中,在m=0和m=90的超導部分的邊界點附近,配對振幅也出現了不同程度的震蕩,這是因為所計算的體系的尺寸是有限的,加上在垂直界面的方向上采用了開放邊界條件,從而導致這種情況的產生.

從圖3還可以看到,當化學勢μ(S1)=μ(S2)=μ(N)=-1.04 t,即費米面位于范霍夫奇點附近時,S區(qū)和N區(qū)的超導配對勢振幅都具有一個比較大的值.這表明此時S區(qū)有較大的超導能隙,且此時穿透到 N區(qū)的庫伯對較多.反映出當化學勢取-1.04 t時,近鄰效應較為明顯.隨著化學勢對μ=-1.04 t的偏離,相應地S區(qū)的超導能隙也在減小,N區(qū)的配對振幅的大

圖3 在費米能級匹配情況下沿垂直界面方向體系的配對振幅隨空間的分布情況

小和穿透深度都在減小.這個結果可以根據BCS理論來理解.根據BCS理論,庫伯對的配對勢與費米面附近的電子態(tài)密度有關.對于石墨烯晶格,在Dirac點附近電子態(tài)密度很小,而在范霍夫奇點附近電子態(tài)密度取最大值[14],所以導致在μ=-1.04 t附近配對勢的值較大.這種情況不同于正方晶格,對于正方晶格來說,S波超導配對勢在化學勢為零時取得最大值.因此,可以認為正是石墨烯特殊的電子結構產生了這種結果.

2.2 費米能級不匹配情況

為了研究化學勢對超導石墨烯—石墨烯結的近鄰效應的影響,我們進一步考察了在2個 S區(qū)化學勢相同 ,但和 N區(qū)費米能級不匹配的情況,即正常區(qū)和超導區(qū)化學勢取不同值的情況.圖4所示為當2個 S區(qū)和N區(qū)費米能級不匹配時,沿著垂直界面方向配對振幅的空間變化曲線.

從圖4(a)和(b)可以看出,當 S區(qū)化學勢固定,N 區(qū)化學勢μ(N)= -1.04 t時,N區(qū)的配對振幅數值最大.也就是在 S區(qū)化學勢固定、N區(qū)費米面位于范霍夫奇點附近時,近鄰效應最強.從圖4(c)和(d)可以看出,當 N區(qū)化學勢固定、S區(qū)化學勢μ(S1)=μ(S2)=-1.04 t時,N區(qū)和S區(qū)的配對振幅均達到最大值.即在 N區(qū)化學勢固定、S區(qū)費米面位于范霍夫奇點附近時,近鄰效應最強.因此只有當 S區(qū)和N區(qū)的費米面都位于范霍夫奇點附近時,系統(tǒng)的近鄰效應最強.結合BCS理論和石墨烯電子結構,可知這種現象是由在范霍夫奇點上二維石墨烯的電子密度達到最大值所致.

3 結 語

本文利用緊束縛模型,通過自洽求解BdG方程,研究了具有S波配對勢的超導石墨烯—正常石墨烯結的性質,自洽地計算了超導石墨烯—石墨烯結在兩區(qū)費米能級匹配和不匹配兩種情況下,準粒子的LDOS和配對振幅隨空間的變化情況.研究表明,對于具有S波配對的 GSNS結,其近鄰效應對于化學勢的取值有很強的依賴關系,而且這種關系和石墨烯的電子結構有關.對于石墨烯晶格,因為其特殊的晶格結構,配對勢對化學勢的依賴關系與正方晶格有很大的不同.我們發(fā)現,當2個S區(qū)和N區(qū)費米面都位于范霍夫奇點附近時,近鄰效應最明顯.這些工作將為進一步利用石墨烯作為超導電極提供一定的幫助.

[1] Weller T,Ellerby M,Saxena S,et al.Superconductivity in the Intercalated Graphite Coumpunds C6Yb and C6Ca[J].Nature Phys.,2005,1(1):39-41.

[2] Tang Z K,Zhang L,Wang N,et al.Superconductivity in 4 Angstrom Single-walled Carbon Nanotubes[J].Science,2001,292(5526):2462-2465.

[3] Gunnarsson O.Superconductivity in Fullerides[J].Rev.Mod.Phys.,1997,69(2):575-606.

[4] Beenakker C W J.Colloquium:Andreev Reflection and Klein Tunneling in Graphene[J].Rev.Mod.Phys.,2008,80(4):1337-1354.

[5] Kopnin N B,Sonin E B.BCS Superconductivity of Dirac Electrons in Graphene Layers[J].Phys.Rev.Lett.,2008,100(24):2468-2471.

[6] Heersche H B,Jarillo-Herrer P,Oostinga J B,et al.Bipolar Supercurrent in Graphene[J].Nature(London),2007,446(7131):56-59.

[7] Beenakker C W J.Specular Andreev Reflection in Graphene[J].Phys.Rev.Lett.,2007,97(6):670-676.

[8] Black-Schaffer A M,Doniach S.Self-consistent Solution for Proximity Effect and Josephson Current in Ballistic Graphene SNS Josephson Junctions[J].Phys.Rev.B,2008,78(2):0245-0252.

[9] Uchoa B,Castro Neto A H.Superconducting States of Pure and Doped Graphene[J].Phys.Rev.Lett.,2007,98(14):1468-1471.

[10] Feigel’man M V,Skvortsov M A,Tikhonov K S.Proximity-induced Superconductivity in Graphene[J].J ETP Lett.,2008,88(11):747-751.

[11] Strijkers GJ,Ji Y,Yang F Y,et al.Andreev Reflections at Metal/Superconductor Point Contacts:Measurement and Analysis[J].Phys.Rev.B,2001,63(10):1045-1050.

[12] Buzdin A I.Proximity Effects in Superconductor-ferromagnet Heterostructures[J].Rev.Mod.Phys.,2005,77(3):935-976.

[13] Belzig W,Bruder C.Local Density of States in a Dirty Normal Metal Connected to a Superconductor[J].Phys.Rev.B,1996,54(13):9443-9448.

[14] Usadel K D.Generalized Diffusion Equation for Superconducting Alloys[J].Phys.Rev.Lett.,1970,25(8):507-509.

[15] De Gennes P G..Superconductivity of Metals and Alloys[M].New York:Westview Press,1999:137-159.

Proximity Effect in a S-wave Pairing Superconducting Graphene/Graphene/Superconducting Graphene Junction

QIN Zhi-jie,LI Zhao
(Zhengzhou University,Zhengzhou 450001,China)

On the basis of self-consistent calculation of the Bogoliubov-de-Gennes equations,gate proximity effect on a superconducting graphene with S-wave pairing/graphene/superconducting grapheme junction structure is investigated.The dependence of the local density of states and pairing amplitude on the chemical potential are calculated for both the Fermi-level match case and Fermi-level mismatch case.The relation between the results and electronic structure is also discussed.Our research shows that the proximity effects in GSNS Junction depend much on the relation of chemical potentials in superconducting parts and in the normal part.

graphene;superconductivity;proximity effect

O511

A

10.3969/j.issn.1671-6906.2011.04.001

1671-6906(2011)04-0001-05

2011-07-06

國家自然科學基金項目(10874154);國家人力資源和社會保障部留學回國人員科技活動擇優(yōu)資助項目

秦志杰(1976-),男,河南內黃人,講師,博士.