復(fù)合平面曲線位置公差等效變換算法

閆 冠，侯 磊，鄒飛舟，莊宇華

（1.吉林大學(xué)機(jī)械學(xué)院，吉林長(zhǎng)春 130022；2.長(zhǎng)春奧普光電技術(shù)股份有限公司，吉林長(zhǎng)春 130033；3.長(zhǎng)春市熱力（集團(tuán)）有限責(zé)任公司，吉林長(zhǎng)春 130031）

復(fù)合平面曲線位置公差等效變換算法

閆 冠1，侯 磊1，鄒飛舟2，莊宇華3

（1.吉林大學(xué)機(jī)械學(xué)院，吉林長(zhǎng)春 130022；2.長(zhǎng)春奧普光電技術(shù)股份有限公司，吉林長(zhǎng)春 130033；3.長(zhǎng)春市熱力（集團(tuán)）有限責(zé)任公司，吉林長(zhǎng)春 130031）

根據(jù)公差原則的基本思想，以誤差控制功能的等效性和公差帶邊界曲線的連續(xù)性為準(zhǔn)則，建立了復(fù)合平面曲線圖樣尺寸公差與曲線位置公差的變換算法，從而為復(fù)合型廓形曲線的位置誤差檢測(cè)奠定了基礎(chǔ).

復(fù)合平面曲線；位置公差；等效變換；算法

轎車車身覆蓋件、車輪輪輞、成形模具等有許多零件，具有較為復(fù)雜的表面形狀，在生產(chǎn)圖樣中常以視圖、剖視圖的方式予以表達(dá)［1］，再基于尺規(guī)制圖中所提出的要求，用樣板進(jìn)行檢測(cè)［2］.對(duì)于制圖中的剖面與曲面的截交線即所謂廓形曲線通常是由多段圓弧和直線首尾相切組合而成的復(fù)合平面曲線，在圖樣中通過標(biāo)注一組結(jié)構(gòu)尺寸和尺寸公差的方式來控制廓形曲線的實(shí)際形狀和位置［3－7］.隨著工業(yè)檢測(cè)技術(shù)的進(jìn)步，人們希望能夠把坐標(biāo)值測(cè)量原理和微機(jī)數(shù)據(jù)處理技術(shù)應(yīng)用于廓形曲線的檢測(cè)，以代替樣板檢測(cè)法.其技術(shù)關(guān)鍵在于尋找一種有效的變換算法，將圖樣中的尺寸公差集變換成廓形誤差評(píng)定的依據(jù).本文著重探討復(fù)合平面曲線位置公差等效變換的變換算法以及相關(guān)技術(shù)問題.

1 基本概念與變換準(zhǔn)則

根據(jù)在生產(chǎn)圖樣中廓形曲線的標(biāo)注方式，各組成線段適合以參數(shù)方程形式描述.

式中：a，b為給定點(diǎn)的定位尺寸；R為圓弧半徑；α為直線傾斜角（逆時(shí)針為正）.相應(yīng)的尺寸公差分別為2δa，2δb，2δR和2δα；β為動(dòng)點(diǎn)相位角（逆時(shí)針為正）；l為動(dòng)點(diǎn)到給定點(diǎn)的距離.依據(jù)幾何關(guān)系，容易求出線段的端點(diǎn)參數(shù)β1，β2，l1和l2，在圖樣中通常按尺寸公差s和上、下偏差e1與e2的方式標(biāo)注尺寸，可按（3）式將尺寸項(xiàng)改變成對(duì)稱偏差的形式即t±δ，并將t稱為理論正確尺寸.

雖然生產(chǎn)圖樣中對(duì)廓形曲線只標(biāo)注尺寸公差，這種標(biāo)注形式應(yīng)理解為它的幾何即形位誤差是以尺寸公差集的形式控制的，所謂公差變換就是將圖樣尺寸公差集變換為曲線幾何公差帶.首先，將由理論正確尺寸決定的廓形曲線稱為理論正確曲線，將理論正確曲線視為一動(dòng)點(diǎn)M（x，y）在坐標(biāo)平面xoy中的軌跡，將動(dòng)點(diǎn)M的法向位置度定義為曲線位置度.廓形誤差主要是指被測(cè)要素各個(gè)測(cè)點(diǎn)｛x i，y i｝至理論正確曲線的法向偏移量，廓形曲線的檢測(cè)主要是測(cè)量實(shí)際曲線的坐標(biāo)值并檢驗(yàn)其是否超出了曲線位置度公差帶.

公差變換的基本思想源于尺寸公差與幾何公差的相關(guān)原則.然而，實(shí)踐表明，直接按包容原則構(gòu)造出的曲線位置度公差帶是超寬的，會(huì)明顯增加產(chǎn)品的誤收率.因此，本文提出等效變換準(zhǔn)則，強(qiáng)調(diào)變換前后2種公差形式對(duì)廓形誤差的控制功能等效.其等效性的含義是設(shè)X，Y和Z為3個(gè)彼此獨(dú)立且服從0均值隨機(jī)正態(tài)分布的尺寸誤差X－N（0，σ2x），Y－N（0，σ2y），Z－N（0，σ2z）.根據(jù)隨機(jī)誤差理論可知，變量U＝X＋Y＋Z服從N（0，σ2u）的正態(tài)分布且有σ2u＝σ2x＋σ2y＋σ2z.設(shè)2δx，2δy和2δz是三項(xiàng)尺寸公差，并假定它們是按拉依達(dá)準(zhǔn)則制定的，即δx＝3σx，δy＝3σy，δz＝3σz.那么，它們的合成公差就滿足δu＝3σu＝于是，變量U的公差帶邊界與尺寸誤差X，Y和Z公差帶邊界所控制的誤差概率相一致，都等于99.73%.

如前所述，廓形的理論正確曲線是光滑的.從目前實(shí)際產(chǎn)品的成形工藝看，實(shí)際廓形曲線也應(yīng)該是平順的.因此，本文提出公差變換的連續(xù)性準(zhǔn)則，要求通過公差變換求得曲線位置度公差帶的內(nèi)外邊界是連續(xù)曲線，也就是說，相鄰線段的切點(diǎn)法向位置度相等.

2 圓弧位置度公差的變換結(jié)果

2.1 已知圓弧位置度公差的變換

這類圓弧可稱之為獨(dú)立圓弧，如圖1所示.設(shè)M是理論正確圓弧上的任意一點(diǎn)，其相位角等于β.在徑向線上取一點(diǎn)E（a＋Δa，b＋Δb）.Δa和Δb為尺寸誤差.則E點(diǎn)對(duì)中心點(diǎn)A的偏移量為ΔE＝ Δacosβ＋Δbsinβ.對(duì)M點(diǎn)而言，β為常量，Δa和Δb為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量.設(shè)2δe是圓弧中心點(diǎn)的位置度.按上述等效性準(zhǔn)則有

由（4）式可知，2個(gè)中心定位尺寸的矩形公差帶按等效性準(zhǔn)則變換為一個(gè)與之內(nèi)切的橢圓形點(diǎn)位置度公差帶.做2條垂直于徑向線的直線與橢圓相切.將兩切點(diǎn)所在的橢圓通徑定義為中心點(diǎn)A在徑向線方向上的位置度，記為2δe.顯然，當(dāng)圓弧半徑為理論正確尺寸時(shí)，M點(diǎn)的法向位置度等于2δe.若圓弧半徑的尺寸公差為2δr，此時(shí)M點(diǎn)的法向位置度記為2δc，按上述等效性準(zhǔn)則有

圖1 圓弧位置度計(jì)算用圖

2.2 連接圓弧位置度公差的變換

這類圓弧通過與兩側(cè)相鄰線段相切而定位，其R，δr，β1和β2為已知.其端點(diǎn)法向位置度2δc（β1）和2δc（β2）等于相鄰線段在切點(diǎn)處的位置度，假設(shè)已求出.設(shè)未知的中心點(diǎn)尺寸公差為2δa和2δb，由（5）式可知：

導(dǎo)出δ2a和δ2b的表達(dá)式后，再代入（5）式可得

由（6）式可知，連接類圓弧的位置度與其自身的半徑公差無關(guān).完全取決于兩側(cè)相切線段切點(diǎn)的位置度.可見，圖樣標(biāo)注的半徑公差只用于確定其形狀公差即所謂圓弧曲度.

2.3 中間圓弧位置度公差的變換

這類圓弧通過與一側(cè)相鄰線段相切而定位，也可稱之為半獨(dú)立圓弧.實(shí)際上，（6）式中的δc（β1）和δc（β2）可理解為圓弧上任意兩點(diǎn)的法向位置度，設(shè)β2為切點(diǎn)相位角，圖樣中給出圓弧上離y軸最遠(yuǎn)點(diǎn)x坐標(biāo)和它的法向位置度2δcx，該點(diǎn)相位角βx＝0.代入（6）式得

同理，若已知δc（β1）和δcy（βy＝90°），（6）式變?yōu)?/p>

若圓弧除借助于一個(gè)切點(diǎn)定位外，圖樣中還給出一個(gè)中心定位尺寸和尺寸公差以及圓弧半徑和半徑公差時(shí)，則由（7）和（8）式可得

3 直線段位置度公差的變換結(jié)果

3.1 已知線段位置度公差的變換

這類直線段3個(gè)尺寸均為已知，稱之為獨(dú)立直線.如圖2所示，首先將給定點(diǎn)2個(gè)定位尺寸的矩形公差帶等效變換為橢圓公差帶，做直線的2條平行線與橢圓相切.兩切點(diǎn)所在橢圓通徑定義為傾角0公差時(shí)的直線法向位置度2δe1.顯然有

圖2 直線位置度計(jì)算用圖

定位尺寸a與b為0公差時(shí)，單純由傾角α的公差變換得到的直線位置度2δe2為

依據(jù)等效性準(zhǔn)則，直線段的位置度2δl可由（12）式表示

3.2 連接線段位置度公差的變換

這類線段通過與兩側(cè)相鄰圓弧相切而定位，是2條已定位圓弧的公切線，稱之為連接線段.其理論正確曲線的端點(diǎn)參數(shù)l1和l2可由相切關(guān)系求出.兩端點(diǎn)法向位置度2δl（l1）和2δl（l2）已知.任意點(diǎn)M的法向位置度2δl按線性插值法求出

3.3 中間線段位置度公差的變換

中間線段通過與一個(gè)相鄰圓弧相切而定位，因?yàn)榍悬c(diǎn)在直線上，作為給定點(diǎn)且l1＝0，其法向位置度2δe為已知.類比（12）式可得

4 關(guān)于復(fù)合平面線位置度概念的進(jìn)一步討論

一段圓弧或直線在坐標(biāo)平面中的位置，不僅取決于給定點(diǎn)A的定位尺寸，也取決于半徑或傾角.那么，從理論的嚴(yán)密性考慮就沒有理由不把半徑和傾角作為曲線的定位尺寸.在曲線位置度的變換式中，理應(yīng)引入半徑公差和傾角公差.然而，曲線位置度的內(nèi)涵并不是單純的理論問題，更重要的是它還取決于產(chǎn)品的設(shè)計(jì)規(guī)范、制造工藝、檢測(cè)方法和使用效果.因此，本文將在公差變換式中不計(jì)入半徑公差和傾角公差的位置度稱為復(fù)合平面曲線的Ⅰ型位置度.而將計(jì)入兩項(xiàng)公差的位置度稱為復(fù)合平面曲線的Ⅱ型位置度.到目前為止，沒有關(guān)于復(fù)合平面曲線變換的文獻(xiàn)報(bào)道.現(xiàn)行產(chǎn)品的技術(shù)文獻(xiàn)通常是建立在尺寸公差與樣板檢測(cè)的基礎(chǔ)之上的.我們認(rèn)為，Ⅰ型位置度大體上與應(yīng)用光滑極限量規(guī)定對(duì)重點(diǎn)標(biāo)注尺寸逐項(xiàng)進(jìn)行檢測(cè)的技術(shù)規(guī)范相一致.而Ⅱ型位置度大體上與應(yīng)用整體式標(biāo)準(zhǔn)樣板（充分接近理論正確曲線的樣板）進(jìn)行綜合檢測(cè)的技術(shù)規(guī)范相一致.例如，汽車輪輞以按Ⅰ型位置度檢測(cè)為宜，而轎車輪輻以按Ⅱ型位置度檢測(cè)為宜.

5 實(shí)例研究

汽車輪輞的輪緣曲線是一條很有代表性的復(fù)合平面曲線.如圖3所示，它由胎圈座直線、胎圈座圓弧、輪緣側(cè)直線和輪緣圓弧等4條線組成.取標(biāo)注尺寸及尺寸偏差：輪輞半寬度w＝（70±1）mm，槽深h＝（18±0.1）mm，輪緣高度g＝（19.5±0.5）mm，胎圈座角度θ1（5±1）°，輪緣側(cè)直線傾角θ2＝（90±2）°，胎圈座圓弧半徑R2＝（6.5±1）mm，輪緣圓弧半徑R4＝（9±0.5）mm，端點(diǎn)尺寸p＝20 mm，q＝12 mm.廓形檢測(cè)時(shí)以輪輞對(duì)稱線y軸和槽底直線x軸為測(cè)量基準(zhǔn).首先，將各線理論正確尺寸及端點(diǎn)參數(shù)計(jì)算出來并列于表1.根據(jù)各線類型，將輪緣曲線的Ⅱ型位置度計(jì)算結(jié)果列入表1.

圖3 汽車輪輞輪緣曲線

表1 計(jì)算的理論正確尺寸、尺寸公差、端點(diǎn)參數(shù)、端點(diǎn)法向位置度

［1］侯洪生.機(jī)械工程圖學(xué)［M］.北京：科學(xué)出版社，2008：196－212.

［2］國(guó)家技術(shù)監(jiān)督局.GB／T9769－2005輪廓輪輞檢測(cè)［S］.北京：中國(guó)標(biāo)準(zhǔn)出版社，2005：1－11.

［3］甘永立.形狀和位置誤差檢測(cè)［M］.北京：國(guó)防工業(yè)出版社，1995：27－49.

［4］梁晉文.誤差理論與數(shù)據(jù)處理［M］.北京：中國(guó)計(jì)量出版社，1989：1－11.

［5］甘永立.幾何量公差與檢測(cè)［M］.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2010：30－115.

［6］陳于萍.互換性與測(cè)量技術(shù)基礎(chǔ)［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2006：6－92.

［7］齊新丹.互換性與測(cè)量技術(shù)［M］.北京：中國(guó)電力出版社，2008：7－117.

Transformation algorithm between the size tolerances and the position tolerance on the plane compound contour

YAN Guan1，HOU Lei1，ZOU Fei－zhou2，ZHUANG Yu－h(huán)ua3
（1.College of Mechanical Science and Engineering，Jilin University，Changchun 130022，China；2.Changchun UP Optotech Company Limited，Changchun 130033，China；3.Changchun Thermal Group Company Limited，Changchun 130031，China）

According to the tolerance principle，by means of the equivalent criterion of the controlling function and the continuity of the tolerance margin，a transformation algorithm between the size tolerances and the position tolerance on the contour is advanced in this paper.Therefore the mathematical basis is provided for data processing of the coordinate values measured of the plane compound contour.

plane compound contour；position tolerance；transformation；algorithm

TG801

460·2030

A

1000－1832（2011）04－0054－05

2011－06－05

吉林省科技發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目（20090202）.

閆冠（1965—），女，副教授，主要從事畫法幾何、工程圖學(xué)及測(cè)量學(xué)研究；通訊作者：侯磊（1965—），男，碩士，副教授，主要從事材料表面精加工及精密測(cè)量研究.

石紹慶）