摘 要：本文試圖分析數(shù)學(xué)史上許多重大科研成果，著重從數(shù)學(xué)科研中的創(chuàng)新思維入手對其含義特點、推理公式和重要作用進(jìn)行了探討，并闡述了數(shù)學(xué)科學(xué)工作者理解創(chuàng)新思維的意義．
　　關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)科研；創(chuàng)新；研究
　　
　　數(shù)學(xué)科研中創(chuàng)新思維的含義
　　創(chuàng)新思維是指具有突破性的一種思想活動，包括開辟新領(lǐng)域的人類認(rèn)識及思想活動創(chuàng)造的科學(xué)成果． 科學(xué)研究是人類探索未知事物的過程，是人類實踐認(rèn)知世界的過程，是以創(chuàng)新為主要目的的． 數(shù)學(xué)科研中的創(chuàng)新思維是指在新的數(shù)學(xué)理念、模式與結(jié)構(gòu)形成過程中，首先推出新的數(shù)學(xué)理念和方法，探求數(shù)學(xué)科研中認(rèn)識未知領(lǐng)域的思想活動． 關(guān)于在具有獨特思維的數(shù)學(xué)命題方面的闡述與證明時，體現(xiàn)新增數(shù)學(xué)知識的思想活動，而不是模仿復(fù)制現(xiàn)有的數(shù)學(xué)成果，也是創(chuàng)新思維，諸如突破傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法、推翻不正確的數(shù)學(xué)理論、發(fā)展新的數(shù)學(xué)研究對象等． 例如古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（Ｅｕｃｌｉｄ）的著作《幾何原本》十三卷，成功地演繹了數(shù)學(xué)體系，是最初的典范．這部用公理法建立的數(shù)學(xué)專著內(nèi)容詳盡、結(jié)構(gòu)清晰、推理嚴(yán)謹(jǐn)、判斷精準(zhǔn)，這部著作的創(chuàng)新思維影響著世界數(shù)學(xué)，任何一部數(shù)學(xué)著作都無法超越它．
　　創(chuàng)新思維的特點是具有創(chuàng)造性、突破性，在數(shù)學(xué)科研中主要表現(xiàn)為以下幾方面：
　　1. 選擇新穎的思路
　　數(shù)學(xué)史上著名的非歐幾何就是一個典型的例子． 非歐幾何中的“第五公設(shè)”延續(xù)至今，很多數(shù)學(xué)家都想證明這個定理，結(jié)果一系列的等價命題被引申出來． 到了19世紀(jì)中期，又有一些數(shù)學(xué)家通過其他思路，研究了第五公設(shè)的反命題，創(chuàng)建了新的理論，有了新的創(chuàng)新．
　　2. 創(chuàng)新思考技巧
　　代數(shù)中求四次以上方程的根，在很長一段時期內(nèi)，數(shù)學(xué)家們只考慮怎樣用公式表示其結(jié)果，都無可行性進(jìn)展． 而后法國年輕數(shù)學(xué)家伽羅華運(yùn)用了置換群的概念和辦法，將這個長期困擾數(shù)學(xué)家的難題解決了，并開辟了全新數(shù)學(xué)領(lǐng)域——群論． 方程可以研究其解是否存在，同時可以不用計算就能直接辨別是否可解．
　　3. 開拓思維見解
　　集合論因長期牽涉關(guān)于無窮集合的眾多問題而令數(shù)學(xué)家們爭論不休． 19世紀(jì)后期，德國的數(shù)學(xué)家康托爾指出，假如一個集合和它的真子集能夠構(gòu)成相互對應(yīng)，就是無窮集合．他發(fā)現(xiàn)了可數(shù)集后，證明了超越數(shù)的非結(jié)構(gòu)性存在，使直線、平面、空間的點都存在相互對應(yīng)等等．
　　
　　創(chuàng)新思維的多種形式
　　數(shù)學(xué)科研中創(chuàng)新思維是若干思維邏輯模式的整體運(yùn)用，其中包括直觀的洞察力和假設(shè)的探測，想象的發(fā)揮和模式的設(shè)想，靈感的迸發(fā)和結(jié)論的感悟等形式． 數(shù)學(xué)科學(xué)研究中創(chuàng)造性思維較多的表現(xiàn)為如下幾種形式：
　　1. 直覺與假設(shè)
　　普通的自然科學(xué)研究需要分析、總結(jié)、設(shè)想、觀察實驗中所獲取的抽象材料，使認(rèn)識產(chǎn)生質(zhì)的飛躍，促使新的科學(xué)假說產(chǎn)生，再檢驗它的實踐性真理．但在數(shù)學(xué)科研中，創(chuàng)新的邏輯思維形式要在發(fā)現(xiàn)問題的基礎(chǔ)上建立科學(xué)假設(shè)． 在數(shù)學(xué)科研中，科學(xué)家直覺敏銳地提出問題，采用全新方式突破目標(biāo)，從而解決問題時得到最優(yōu)方案． 科學(xué)假說能夠引導(dǎo)科學(xué)家掌握事態(tài)的發(fā)展方向，找出問題解決的方法．主要表現(xiàn)在:
　　（1）根據(jù)普通的數(shù)學(xué)原理，推理出假設(shè)條件下的某種特殊推論；
　?。?）通過許多特別的數(shù)學(xué)命題，歸納出通性的數(shù)學(xué)結(jié)論；
　?。?）比較不同數(shù)學(xué)對象的相同點，提出新的數(shù)學(xué)假設(shè)，推理新的結(jié)論．
　　2． 聯(lián)想與想象
　　對于自然科學(xué)研究，人們將自然界發(fā)展過程與科研領(lǐng)域的跨越過程進(jìn)行類比、說明，引導(dǎo)人們理解研究對象的規(guī)律以及更深層次的本質(zhì)屬性． 數(shù)學(xué)科研是由一種前提得出的結(jié)論，通過改變其前提而得出新的結(jié)論． 想象是數(shù)學(xué)科研中數(shù)學(xué)模式間相互聯(lián)系的一種思維活動，它能使人們思維創(chuàng)新，提出可行性意見． 17世紀(jì)初法國哲學(xué)家笛卡兒（ＲｅｎｅＤｅｓｅａｒ）創(chuàng)立了解析幾何． 1637年發(fā)表的《幾何學(xué)》，意味著解析幾何學(xué)的誕生，它為代數(shù)和幾何的溝通創(chuàng)造了條件，將數(shù)與形兩大數(shù)學(xué)基本要素統(tǒng)一起來，既可用代數(shù)解析幾何，也能用幾何研究代數(shù)． 法國的創(chuàng)新科學(xué)家蒙日（Gaspard Monge1746—1818）在18世紀(jì)中葉幾何學(xué)遭遇瓶頸時，給幾何學(xué)增添了新的活力，真正的幾何學(xué)不但得以恢復(fù)，還創(chuàng)建了“畫法幾何學(xué)”，同時奠定了射影幾何學(xué)的基礎(chǔ)． 這是通過創(chuàng)新思路創(chuàng)建的幾何學(xué)，直觀性強(qiáng)，既與空間的認(rèn)識相維系，又有分析學(xué)提供的方法相協(xié)助，在微分幾何方面也有巨大的貢獻(xiàn)．
　　2． 靈感與感悟
　　在自然科學(xué)的研究實驗條件下，偶爾緣于一些意外的變化，或別的因素的突然出現(xiàn)致使新的結(jié)果產(chǎn)生． 數(shù)學(xué)科研的創(chuàng)新思維是以知識積累為前提進(jìn)行的長期潛心研究，它使認(rèn)識產(chǎn)生了質(zhì)的飛躍，通過整合分析、總結(jié)演繹，從而作出正確的決斷． 數(shù)學(xué)科研中常因觀察敏銳突發(fā)奇想而產(chǎn)生某種靈感，隨即抓住了關(guān)鍵問題的解決方法，得到所需的結(jié)論． 這種思維方法明顯不是由冥思苦想而產(chǎn)生的，它是在擁有了豐富的專業(yè)知識及靈活的邏輯思維后才得以迸發(fā)，是對問題反復(fù)思考、不斷探索后產(chǎn)生的感悟． 19世紀(jì)法國一位才識淵博的科學(xué)家和物理學(xué)家通過福克斯函數(shù)的發(fā)展經(jīng)歷而對這方面的問題進(jìn)行過論述．正如彭加勒（Poincaro1854—1912）所說，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的無限集合中選擇有益的集合，丟棄無益的集合，進(jìn)而形成新的集合，才能產(chǎn)生新的理念、新的構(gòu)想． 人的大腦擁有一種關(guān)于數(shù)學(xué)和諧性的直覺，這種直覺能夠?qū)详P(guān)系進(jìn)行鑒別，從而有所發(fā)明和創(chuàng)造． 另一位法國數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪（Hadamard1865一1963）沿用了彭加勒的觀點，針對數(shù)學(xué)發(fā)明的心理要素進(jìn)行了論述，討論了數(shù)學(xué)直覺致使頓悟的N種最佳選擇． 數(shù)學(xué)科研的創(chuàng)新性思維所產(chǎn)生的聯(lián)想、模仿只為獲得合理構(gòu)想的過程稱為分散思維過程，而被驗證合理的構(gòu)想所產(chǎn)生的思維分析及證明推理過程稱為內(nèi)斂思維過程． 通常建立新的數(shù)學(xué)含義、原理和方法，都來自于分散思維能力，數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新能力和它有著直接影響（該能力隨著數(shù)學(xué)家知識的累積量及想象力的增多而增大）．
　　
　　數(shù)學(xué)科研中創(chuàng)新思維的作用
　　創(chuàng)新思維活動主要表現(xiàn)為四個階段．
　?。?）準(zhǔn)備階段：包括獲取信息、活躍思維、進(jìn)行多方面的想象；
　?。?）培育階段：循環(huán)顯現(xiàn)主干的思路，最終確定問題的解決方案；
　?。?）感悟階段：明確思維方式，理清推理次序，出現(xiàn)思維轉(zhuǎn)折；
　?。?）檢驗階段：用邏輯證明發(fā)現(xiàn)所有的必然關(guān)聯(lián)，并檢驗其假設(shè)的存在性．
　　針對數(shù)學(xué)科研中的創(chuàng)新思維，在經(jīng)過以上四個階段的演繹后，可以顯示出其重要作用．
　　（1）引導(dǎo)作用：由于數(shù)學(xué)科研中的創(chuàng)新思維形式是認(rèn)知過程中的轉(zhuǎn)變和飛躍，它需要具有豐富的專業(yè)知識和全面思考問題、不斷探索的能力；它需要加以應(yīng)用或反對現(xiàn)有的數(shù)學(xué)思維模式，引導(dǎo)人們在數(shù)學(xué)科研中發(fā)展和拓寬全新的科學(xué)領(lǐng)域． 比如一些現(xiàn)有的數(shù)學(xué)含義、原理被數(shù)學(xué)家們整合成一個周密的科學(xué)體系時，會應(yīng)用一種高端的思維方法——公理化方法． 通過這種方法的啟發(fā)，在建立近代力學(xué)、物理學(xué)、天文學(xué)的過程中，該思維方式所起的作用是顯而易見的．
　　（2）紐帶作用：在人們的主觀意識和客觀現(xiàn)實之間出現(xiàn)的認(rèn)識短路時，這種思維方式能起連接作用． 要想駕輕就熟地運(yùn)用此方法，必須具備全面、豐富的科學(xué)知識；必須在某種思想激勵下善于引出各種想象． 例如數(shù)學(xué)家建立了坐標(biāo)概念（即坐標(biāo)法），通過運(yùn)用這種思維方式，將運(yùn)動和辯證法延伸到數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，促使數(shù)學(xué)變革的產(chǎn)生，即迎來了變量數(shù)學(xué)的新時代．
　　
　　掌握創(chuàng)新思維規(guī)律的意義
　?。?）關(guān)于數(shù)學(xué)的研究對象，恩格斯在19世紀(jì)時就曾指出，現(xiàn)實世界的空間形態(tài)和數(shù)量關(guān)系構(gòu)成了純數(shù)學(xué)的對象范圍，它們通過極其抽象的形式體現(xiàn)出來，我們必須在完全脫離其內(nèi)容的基礎(chǔ)上去研究這些真實情況下的形式和關(guān)系． 他還道出，數(shù)學(xué)是一門抽象的思想研究的學(xué)科，隨著數(shù)學(xué)科學(xué)的深入研究，在數(shù)學(xué)中對有關(guān)“量”的科學(xué)有了更深入的了解，不斷有新鮮的血液來注入“量”的范疇，使之含義更加廣泛． “空間形態(tài)”也是從抽象結(jié)構(gòu)之間的具體關(guān)系對象的相對位置成為一個理想化數(shù)學(xué)研究的“量化模型”． 創(chuàng)新思維規(guī)律的應(yīng)用在數(shù)學(xué)模式的不斷發(fā)現(xiàn)和探索中顯得尤為重要．
　　（2）關(guān)于數(shù)學(xué)的研究方法，人們將概念、理論、技巧應(yīng)用到數(shù)學(xué)科研中，對事物進(jìn)行客觀的定量闡述，并具體分析該模式的數(shù)學(xué)構(gòu)造． 由于數(shù)學(xué)模型反映一定程度的抽象結(jié)構(gòu)和性能之間的關(guān)系，因此人們怎樣通過運(yùn)用思維巧技和特定的邏輯工具去發(fā)掘和構(gòu)想各種合理而有用的關(guān)系構(gòu)造，在數(shù)學(xué)科研中已成為創(chuàng)新思維的主要方法，許多功成名就的數(shù)學(xué)家都能說明這一點． 在數(shù)學(xué)科研中，某些人通過發(fā)表論文而進(jìn)行更改翻閱的各類文獻(xiàn)資料中的漏洞，采用這種科研方法頂多是進(jìn)行章節(jié)、局部的輕微改動，只有將創(chuàng)新思維的規(guī)律把握好，才能為數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展作出較大的貢獻(xiàn)． 18世紀(jì)大數(shù)學(xué)家歐拉（LeonhardEuler1707—1787）的許多重大的研究成果涉及數(shù)學(xué)、物理學(xué)、天文學(xué)等眾多學(xué)術(shù)領(lǐng)域，其研究范圍廣、內(nèi)容深、理論精辟，思維創(chuàng)新顯著，對今后數(shù)學(xué)科研的創(chuàng)新思維研究及人才的培養(yǎng)是值得借鑒的．