摘 要：筆者通過“軸對(duì)稱最短路線問題”的幾個(gè)實(shí)例探討數(shù)學(xué)教學(xué)中的“變題”與“設(shè)問”，通過對(duì)試題的變式、遷移、延伸和拓展，抓住試題涵蓋的知識(shí)本質(zhì)進(jìn)行方法的總結(jié)，讓學(xué)生以不變應(yīng)萬(wàn)變；通過精心設(shè)計(jì)問題、注重內(nèi)涵和外延、巧妙把握提問的時(shí)機(jī)和切入點(diǎn)，提高課堂教學(xué)效率.
　　關(guān)鍵詞：變題；“題”與“問”；設(shè)問探討
　　
　　教學(xué)實(shí)踐告訴我們，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，無(wú)論從情景設(shè)置、活動(dòng)探究、還是例題講解、鞏固應(yīng)用、拓展提高等，無(wú)一不是通過師生間的教學(xué)互動(dòng)來實(shí)現(xiàn)的. 維系課堂互動(dòng)的核心是師生間的言語(yǔ)交流，所以數(shù)學(xué)課如何“問”成了課堂教學(xué)的關(guān)鍵.本文所指的“題”與“問”，指的是建立在課堂例、習(xí)題的基礎(chǔ)上，教師依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，組織學(xué)生以“題”為主線、以“問”為手段深入探究，力求達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果. 本文筆者通過“軸對(duì)稱最短路線問題”的幾個(gè)實(shí)例和各位讀者共同探討數(shù)學(xué)教學(xué)中的“變題”與“設(shè)問”.
　　
　　切忌“就題問題”，力求“順?biāo)级?、水到渠成?搖?搖
　　平時(shí)的課堂教學(xué)受學(xué)生的認(rèn)知水平、接受能力、上課時(shí)間等影響較多，教師在講課時(shí)往往只求將具體的問題講清、講透，對(duì)試題的剖析環(huán)節(jié)、引導(dǎo)環(huán)節(jié)下的工夫較少，對(duì)有的學(xué)生而言，教師的講解和分析沒有“因?yàn)椤敝挥小八浴保瑪?shù)學(xué)課堂有時(shí)僅停留在“對(duì)答案、說答案”的層面，課堂教學(xué)效果不盡如人意.所以，筆者覺得，面對(duì)各種試題、各類試題，教師的講解如何切入，怎樣鋪墊設(shè)問，怎樣引導(dǎo)，為什么這樣思考，等等，應(yīng)該是我們數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的根本任務(wù).
　　例題：如圖1，已知點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，在直線l上找一點(diǎn)C，使AC+CB最短.
　　這道習(xí)題的解法每個(gè)學(xué)生都熟悉，利用軸對(duì)稱的知識(shí)，作出點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A′，連結(jié)A′B交直線l于點(diǎn)C，點(diǎn)C即為所求.?搖
　　變題1：若題目條件不變，在直線l上能否找一點(diǎn)C，使CB-CA最長(zhǎng)？
　　設(shè)問探討：筆者認(rèn)為，怎樣將“差最長(zhǎng)問題”引入到“三角形三邊關(guān)系”是本題講解的核心！
　　下面是一段課堂教學(xué)實(shí)錄，我們共同討論和研究.
　　教師：同學(xué)們，本題和我們剛才練習(xí)的“AC+CB最短”問題相同嗎？
　　學(xué)生1：不同，一個(gè)是“和最短”問題，這個(gè)是“差最長(zhǎng)”問題.
　　教師：我們?cè)撚檬裁粗R(shí)解決？
　　學(xué)生2：還是用軸對(duì)稱的知識(shí).作出點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A′，連結(jié)A′B.
　　教師：按照你說的作圖，如圖2. 這樣的點(diǎn)C是否滿足CB-CA的差最長(zhǎng)？
　　學(xué)生3：不滿足，在直線l上另取點(diǎn)D，通過測(cè)量發(fā)現(xiàn)DB-DA＞CB-CA.
　　教師：作軸對(duì)稱的方法不行，那該用什么方法解決？（學(xué)生思考，冷場(chǎng)）
　　教師：（再次啟發(fā)）同學(xué)們聯(lián)想一下，什么知識(shí)和“線段之差”有關(guān)？
　　學(xué)生4：三角形三邊關(guān)系中有“兩邊之差”.
　　學(xué)生5：連結(jié)AC，BC，AB，我們可以得到一個(gè)三角形，“CB-CA”就是三角形的兩邊之差.
　　教師：三角形兩邊之差怎樣？
　　學(xué)生6：三角形兩邊之差小于第三邊.
　　教師：但題目中，要求CB-CA最長(zhǎng)，怎么辦？
　　學(xué)生7：點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的話，CB-CA≤AB，所以當(dāng)CB-CA等于第三邊AB時(shí)，CB-CA就最長(zhǎng)了.
　　教師：分析得很好，怎么作圖？
　　學(xué)生8：連結(jié)BA，并延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)C，點(diǎn)C即為所求.
　　變題2：如圖3，點(diǎn)A，B在直線l的兩側(cè)，在直線l上找一點(diǎn)C，使直線l平分∠ACB.
　　
　　圖3
　　設(shè)問探討：（實(shí)際教學(xué)中，可能會(huì)出現(xiàn)啟而不發(fā)的情況，教師需適時(shí)點(diǎn)撥）
　　假設(shè)找到了滿足條件的點(diǎn)C，它具有哪些性質(zhì)？
　　能否依據(jù)性質(zhì)反推作圖方法？分小組展開討論.
　　上述試題屬于“兩點(diǎn)一線”最短路線問題，順?biāo)祭麑?dǎo)、延伸拓展，可幫助學(xué)生開闊視野、積累經(jīng)驗(yàn)：
　　題型歸納1 “兩點(diǎn)一線”最短路線問題
　　變題3：如圖4，△ABC中，點(diǎn)P，Q分別是AB，AC邊上兩點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)贐C上找一點(diǎn)R，使得△PQR的周長(zhǎng)最短.
　　
　　教師：△PQR的周長(zhǎng)最短指的是哪些線段的和最短？
　　學(xué)生1：線段PQ，PR，QR的和最短.
　　教師：怎樣使得PQ+PR+QR最短？
　　學(xué)生2：PQ為定值，只需確定點(diǎn)R的位置即可，只要PR+QR最短，△PQR的周長(zhǎng)就最短了.
　　將問題轉(zhuǎn)化為例1的情形解決.
　　變題4：如圖5，ABCD是長(zhǎng)方形桌球臺(tái)，擊打桌球M，經(jīng)球臺(tái)AD邊反彈后撞擊桌球N，請(qǐng)作出球M的運(yùn)動(dòng)路徑.
　　設(shè)問探討：怎樣引出類似于物理中光線反射遵循的“入射角等于反射角”問題？
　　為什么可以用軸對(duì)稱知識(shí)解決本題？怎樣作圖？
　　變題5：如圖6，桌面上有A，B兩球，若要將B球射向桌面任意一邊，使一次反彈后擊中A球，則如圖所示8個(gè)點(diǎn)中，可以瞄準(zhǔn)的點(diǎn)有（ ）個(gè).
　　A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
　　
　　圖6
　　設(shè)問探討：可作為變題4的訓(xùn)練題使用.
　　題型歸納2 “一點(diǎn)兩線”最短路線問題
　　變題6：如圖7，傍晚小牛離開牛棚先去吃草，然后去洗澡，最后又回到牛棚. 問按怎樣的路線走，小牛所走的路程最短？
　　設(shè)問探討：怎樣聯(lián)想到作點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)？
　　為什么要作點(diǎn)A的兩次對(duì)稱？
　　為什么連對(duì)稱點(diǎn)A1，A2，而不是連結(jié)兩個(gè)垂足？
　　題型歸納3 “兩點(diǎn)兩線”最短路線問題
　　變題7 如圖8，已知直線a，b和點(diǎn)A，B，在直線a，b上分別找一點(diǎn)C和D，使四邊形ACDB的周長(zhǎng)最短.
　　
　　圖8
　　設(shè)問探討：如何想到要分別作出點(diǎn)A，B的對(duì)稱點(diǎn)？
　　為什么這樣的點(diǎn)C，D能使四邊形ACDB的周長(zhǎng)最短？
　　變題8 如圖9，傍晚小牛離開農(nóng)田先去吃草，然后去洗澡，最后回到牛棚.問按怎樣的路線走，小牛所走的路程最短？
　　
　　圖9
　　設(shè)問探討：本例在變題4的基礎(chǔ)上加以研究，也可作為變題5的鞏固練習(xí)使用.
　　變題9 如圖5，ABCD是長(zhǎng)方形桌球臺(tái)，若擊打桌球M，經(jīng)球臺(tái)AD，AB兩邊反彈后撞擊桌球A呢？我們?cè)撛鯓幼鲌D球M的運(yùn)動(dòng)路徑？
　　題型歸納4?搖 “三點(diǎn)兩線”最短路線問題
　　變題10 如圖10，在銳角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M，N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是________．
　　設(shè)問探討：
　　教師：點(diǎn)M，N都是動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B是定點(diǎn)，BM+MN的最小值和誰(shuí)有關(guān)？
　　學(xué)生1：和點(diǎn)M，N的位置有關(guān).
　　教師：點(diǎn)M，N的確定和∠CAB的平分線AD有什么聯(lián)系？
　　學(xué)生2：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.
　　教師：我們是否要構(gòu)造垂線段？過哪點(diǎn)作垂直？
　　學(xué)生3：不要作垂直，將點(diǎn)N轉(zhuǎn)化到AC上去，作MN′=MN.?搖?搖
　　教師：那BM+MN等于哪段線段？
　　學(xué)生4：等于BM+MN′.
　　教師：什么位置時(shí)，BM+MN′最?。?br/>　　學(xué)生5：當(dāng)點(diǎn)B，M，N′處于一直線時(shí)，BM+MN′最小.
　　教師：點(diǎn)B，M，N′處于一直線的情況有很多，最小值不確定.
　　學(xué)生6：當(dāng)BN′⊥AC時(shí)，BM+MN′最小.
　　教師：同學(xué)們分析的非常好，動(dòng)點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)問題，利用“兩點(diǎn)之間線段最短”來解決.
　　說明：本例在實(shí)際教學(xué)中注重學(xué)生間的討論交流，教師適時(shí)的引導(dǎo)、點(diǎn)撥.
　　變題11 如圖11，在矩形ABCD中，AB=20 cm，BC=10 cm，若在AC，AB上各取一點(diǎn)M，N，使BM+MN的值最小，求這個(gè)最小值.
　　
　　圖11
　　設(shè)問探討：離開了變題10的角平分線，以矩形為背景，如何求動(dòng)態(tài)變化下的最短線路問題？我們的引導(dǎo)還是轉(zhuǎn)化點(diǎn)B或點(diǎn)N，使得點(diǎn)B′，M，N處于“一直線”上. 為此可以作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，再過點(diǎn)B′作B′H⊥AB，B′H即是BM+MN的最小值.
　　
　　
　　 數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)注重“知識(shí)應(yīng)用內(nèi)涵的挖掘”，力求“觸類旁通、舉一反三”
　　數(shù)學(xué)來源于生活，應(yīng)用于生活.聯(lián)系生活中的具體問題，往往可以使得所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)升華和發(fā)展，進(jìn)而讓學(xué)生知新和創(chuàng)新. 軸對(duì)稱應(yīng)用于生活的實(shí)例很多，如平面鏡反映數(shù)字、平面鏡反映鐘表時(shí)間、汽車車牌自倒影、汽車后視鏡反射車牌號(hào)、太陽(yáng)光光線反射、剪紙問題等等. 本文主要研究的最短路線作圖題，難題不多，下面介紹比較典型的兩例.
　　變題12 如圖12，一公司、工廠和職工宿舍之間被河流阻隔，公司計(jì)劃在點(diǎn)A和點(diǎn)B處修建一座橋梁，為使職工從工廠到宿舍所走的路程最短（橋應(yīng)垂直岸堤），問橋造在那個(gè)位置最合適？
　　
　　圖12
　　設(shè)問探討：本題是“造橋問題”之一，關(guān)注如下問題：
　　1. 要求所走的路程最短，但橋上距離不可縮短，所以必須要做到陸路最短.
　　2. 如何引導(dǎo)學(xué)生思考先將橋這段路程“走完”，再找陸路的最短距離？
　　3. 教學(xué)時(shí)注意區(qū)別軸對(duì)稱的知識(shí)與本題的關(guān)系，著重探討本題與上述變題的區(qū)別.
　　變題13?搖 如圖13，已知A，B兩點(diǎn)在直線l的同側(cè)，試用直尺（沒有刻度）和圓規(guī)，在l上找兩點(diǎn)C和D（CD的長(zhǎng)度為定值a），使得AC+CD+DB最短．
　　
　　圖13
　　設(shè)問探討：本題屬于“竹排載人”問題，可添加背景資料：城市A和旅游景點(diǎn)B兩地間有大山阻隔，直線l是河流. A城市居民外出前往B處旅游，必須先步行至河流l處，然后乘坐竹排走水路，最后再上岸步行前往B處景點(diǎn)，為使出游人們所走的總路程最短，問竹排應(yīng)在哪處載客，哪處卸客最合適？
　　關(guān)注如下問題：
　　1. 如何讓所走的總路程最短？
　　2. 分析總路程，總路程=AC（C為載客起點(diǎn)）+竹排水上移動(dòng)距離+BD（D為卸客起點(diǎn)）.
　　3. 竹排在水上運(yùn)動(dòng)已經(jīng)包括了人在竹排上的運(yùn)動(dòng)距離（即CD）.
　　4. 作圖時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生思考先將竹排這段路程“走完”，再通過陸路確定載客卸客點(diǎn).
　　5. 教師教學(xué)時(shí)如何利用軸對(duì)稱的知識(shí)解決本題？
　　任何數(shù)學(xué)題都有其自身的特點(diǎn)和效用，不同的題關(guān)注點(diǎn)不同，發(fā)揮的效用也不同；同樣的題，問的角度不同，產(chǎn)生的效果也不同；即使是一模一樣的題，不同教師的理解和講解也不同，但我們都可以通過對(duì)學(xué)生的接受、理解和運(yùn)用的情況來推斷講課的實(shí)效.
　　因此，如何最有效的利用好每道試題，發(fā)揮每道題的作用，是每位教師課堂教學(xué)研究的重點(diǎn). 教師只有針對(duì)數(shù)學(xué)題的本質(zhì)特征和學(xué)生的理解水平，把握問題的角度，精心巧妙的設(shè)疑、布置合理的梯度、掌握問題的時(shí)機(jī)、尋找最佳的切入點(diǎn)、將問題分層次地拋給學(xué)生，以最大的效率發(fā)揮“引玉”的功效，才能真正把握數(shù)學(xué)課堂的“題”和“問”，將提問落到實(shí)處.