摘 要：證明某個(gè)具體二次曲線中相關(guān)計(jì)算結(jié)果恒為定值的解析幾何問題是高考的常見題型，本文通過對一道聯(lián)考題的探究，對其作出一般性的推廣.
　　關(guān)鍵詞：聯(lián)考題；定值；探究
　　
　　提出問題
　　題目 （2011年安徽省“江南十?！备呷?lián)考數(shù)學(xué)試卷（理）第19題）已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對稱
　　
　　一個(gè)定值問題的探究性學(xué)習(xí)
　　
　　沈 軍
　　江蘇高郵中學(xué) 225600
　　
　　摘 要：證明某個(gè)具體二次曲線中相關(guān)計(jì)算結(jié)果恒為定值的解析幾何問題是高考的常見題型，本文通過對一道聯(lián)考題的探究，對其作出一般性的推廣.
　　關(guān)鍵詞：聯(lián)考題；定值；探究，一條漸近線方程為y=x，右焦點(diǎn)為F（5，0），雙曲線的實(shí)軸為A1A2，P為雙曲線上一點(diǎn)（不同于A1，A2），直線A1P，A2P分別與直線l∶x=交于M，N兩點(diǎn).
　　（1）求雙曲線的方程；
　?。?）求證：?為定值.
　　解：（1）－=1. （求解過程略）
　?。?）?=0（定值）. （證明過程略）
　　
　　探究問題
　　探究1：此題中的直線l∶x=其實(shí)是該雙曲線的準(zhǔn)線，進(jìn)而猜想本題結(jié)果的一般性結(jié)論是否成立，經(jīng)推理，做以下一般性推廣.
　　推廣1：已知雙曲線－=1（a>0，b>0），右焦點(diǎn)為F（c，0），雙曲線的實(shí)軸為A1A2，P為雙曲線上任一點(diǎn)（不同于A1，A2），直線A1P，A2P分別與直線l∶x=交于M，N兩點(diǎn)，則?為定值0.
　　證明：設(shè)A1（－a，0），A2（a，0），P（x0，y0），可得直線A1P的方程為y=（x+a），直線A2P的方程為y=（x－a），解得M，+a，N，?－a. 易得=-c，+a，=-c，-a，于是?=－a2+－a2?. 因?yàn)椋?1，所以=，從而?=－a2+－a2?=－=0，即?=0（定值）.
　　探究2：將本問題中的雙曲線改為橢圓，其他條件不變，該結(jié)論依然成立.
　　推廣2：已知橢圓+=1（a>b>0），右焦點(diǎn)為F（c，0），橢圓的長軸為A1A2，P為橢圓上任一點(diǎn)（不同于A1，A2），直線A1P，A2P分別與直線l∶x=交于M，N兩點(diǎn)，則?=0為定值0.
　　證明仿上，略去.
　　探究3：將準(zhǔn)線改為任意一條與實(shí)軸垂直的直線，?仍是定值.
　　推廣3：已知雙曲線－=1（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)為F（c，0），雙曲線的實(shí)軸為A1A2，P為雙曲線上任一點(diǎn)（不同于A1，A2），直線A1P，A2P分別與直線l∶x=t（t為常數(shù)）交于M，N兩點(diǎn)，則?為定值.
　　證明：設(shè)A1（－a，0），A2（a，0），P（x0，y0），可得直線A1P的方程為y=（x+a），直線A2P的方程為y=（x－a），解得Mt，（t+a），Nt，（t－a）. 易得=t－c，（t+a），=t－c，（t－a），?=（t－c）2+（t2－a2）?. 因?yàn)椋?1，所以=，從而?=（t－c）2+（t2－a2）?=t－a2，即?為定值.
　　探究4：把探究3的條件從雙曲線變?yōu)闄E圓，結(jié)論依然成立.
　　推廣4：已知橢圓+=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)為F（c，0），橢圓的長軸為A1A2，P為橢圓上任一點(diǎn)（不同于A1，A2），直線A1P，A2P分別與直線l∶x=t（t為常數(shù)）交于M，N兩點(diǎn)，則?為定值.
　　證明仿上，略. ?=t－a2為定值.
　　探究5：把推廣4中點(diǎn)A1，A2改為橢圓（雙曲線）上兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P改為橢圓長軸（雙曲線實(shí)軸）頂點(diǎn)A，即有推廣5，推廣6.
　　推廣5：已知橢圓+=1（a>b>0）右焦點(diǎn)F（c，0），橢圓長軸的一個(gè)頂點(diǎn)為A（a，0），P，Q為橢圓上任意兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)（不同于長軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)），直線AP，AQ分別與直線l∶x=t（t為常數(shù)）交于M，N兩點(diǎn)，則?為定值.
　　證明：設(shè)P（m，n），Q（－m，－n），可得直線AP的方程為y=（x－a），直線AQ的方程為y=（x－a）=（x－a），解得Mt，（t－a），Nt，（t－a）.
　　易得=t－c，（t－a），=t－c，（t－a），所以?=（t－c）2+（t－a）2?. 因?yàn)?=1，所以=－，從而?=（t－c）2+（t－a）2?－，即?為定值.
　　推廣6：已知雙曲線-=1（a>0，b>0）右焦點(diǎn)F（c，0），雙曲線實(shí)軸的一個(gè)頂點(diǎn)為A（a，0），P，Q為雙曲線上任意兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)（不同于實(shí)軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)），直線AP，AQ分別與直線l∶x=t（t為常數(shù)）交于M，N兩點(diǎn)，則?為定值.
　　證明仿上，略. ?=（t－c）2+（t－a）2?為定值.
　　揭示本質(zhì)
　　實(shí)際上，本問題定值結(jié)果的產(chǎn)生來源于（以橢圓為例）橢圓+=1（a>b>0）上任意一點(diǎn)P（x0，y0），則有+=1，當(dāng)出現(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的結(jié)構(gòu)時(shí)，結(jié)果為－定值. 又如，對于橢圓+=1（a>b>0），A1，A2是其左、右頂點(diǎn)，P為橢圓上異于A1，A2的任一點(diǎn)，則直線PA1，PA2的斜率乘積為定值－（證明過程略）.