摘要：本文修正了一個(gè)流傳很廣的，與雙曲線、圓、相切有關(guān)的選填題的錯(cuò)誤解答.
　　關(guān)鍵詞：雙曲線；圓；切線
　　題目已知過(guò)雙曲線－=1的左焦點(diǎn)F，且與圓x2+y2=a2相切于點(diǎn)T的直線與該雙曲線右支相交于P，若線段FP的中點(diǎn)是M，則OM－MT=________.
　　答案：b－a.
　　
　　圖1
　　解析設(shè)右焦點(diǎn)是F0，PF=R，PF0=r，則R－r=2a，OM=，在Rt△OTF中，因?yàn)镺F=c，OT=a，所以FT=b，所以對(duì)圖1有OM－MT=－－b= －（R-r）+b=b－a.
　　原答案或者就是這樣得到的，但這一解答有失偏頗：點(diǎn)M一定就在T點(diǎn)的右側(cè)，不可能落在T點(diǎn)的左邊？就像圖2所示那樣.
　　對(duì)圖2，因?yàn)樵赗t△OTM中，MT=b－，所以由勾股定理有2－b－2=a2，所以+b－－b+=a2，即+－b=，所以O(shè)M－MT=－b－=+－b=.
　　這兩種情況都有可能？還有其他情形嗎？
　　
　　圖3
　　如圖3，作F0Q⊥PF于Q，設(shè)QP=x，在Rt△F0QP中，由x2+（2a）2=r2，（2b+x）－r=2a?圯（a－b）x=b（b－2a）. 當(dāng)a=b時(shí)，無(wú)解；
　　當(dāng)a≠b時(shí)，x=，所以x>0?圳a2a.
　　至此本題的真正解是：
　　當(dāng)a=b時(shí)，直線FT與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，與右支不相交，中點(diǎn)M不存在，（OM－MT）無(wú)意義；
　　當(dāng)a　　當(dāng)b=2a時(shí)，中點(diǎn)M和點(diǎn)T重合，OM－MT=a；
　　當(dāng)b2a時(shí)，中點(diǎn)M在T點(diǎn)的左側(cè)（如圖2所示），OM－MT=.
　　練習(xí)：已知過(guò)雙曲線－=1的左焦點(diǎn)F，且與圓x2+y2=a2相切于點(diǎn)T的直線與雙曲線右支相交于P，線段FP的中點(diǎn)是M，若OM－MT=，試求該雙曲線離心率的取值范圍.