奚 思，于連棟

(合肥工業(yè)大學(xué)儀器儀表學(xué)院，安徽合肥 230009)

關(guān)節(jié)式坐標(biāo)測量機結(jié)構(gòu)參數(shù)標(biāo)定優(yōu)化采樣策略

奚 思，于連棟

(合肥工業(yè)大學(xué)儀器儀表學(xué)院，安徽合肥 230009)

利用高斯—牛頓法求解便攜關(guān)節(jié)式坐標(biāo)測量機的標(biāo)定參數(shù)時，其參數(shù)的可辨識性與Jacobin矩陣的條件數(shù)有關(guān)，而Jacobin矩陣的條件數(shù)決定于標(biāo)定采樣點的坐標(biāo)。因此，必須對參數(shù)標(biāo)定的采樣策略進行優(yōu)化。文中以錐孔標(biāo)準(zhǔn)桿件標(biāo)定法為例，提出一種優(yōu)化的采樣策略來增大各個關(guān)節(jié)取值范圍，從而使條件數(shù)最小化。經(jīng)實驗驗證，采用這種優(yōu)化采樣策略標(biāo)定提高了測量系統(tǒng)的精度。

參數(shù)標(biāo)定;采樣策略;高斯—牛頓法;條件數(shù)

便攜關(guān)節(jié)式坐標(biāo)測量機具有靈活、便攜、價格較低等優(yōu)點，適宜于車間現(xiàn)場使用，因此發(fā)展迅速、應(yīng)用廣泛，其測量功能及測量精度已達(dá)到傳統(tǒng)三坐標(biāo)測量機中等精度水平［1］。便攜式坐標(biāo)測量機是一種串聯(lián)開鏈結(jié)構(gòu)，因此其誤差因素復(fù)雜:第一，由于其機械結(jié)構(gòu)串聯(lián)導(dǎo)致各個關(guān)節(jié)的角度誤差，通過桿件的長度被逐級放大;第二，加工及裝配過程中難保證各個結(jié)構(gòu)參數(shù)與測量機設(shè)計初始值一致。因此難以保證測量機的測量精度。由于便攜關(guān)節(jié)式坐標(biāo)測量機具有多個自由度，且其在應(yīng)用中有便攜的需求，導(dǎo)致其無法固定于特定的位置姿態(tài)，以便直觀地檢定各單項結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差。因此，主要還是通過標(biāo)定的方法獲得關(guān)節(jié)式坐標(biāo)測量機的結(jié)構(gòu)參數(shù)，以便得到精確的測量方程，從而提高測量機的精度。

目前的便攜式測量機結(jié)構(gòu)參數(shù)標(biāo)定方法，對標(biāo)定過程中采樣策略并未做具體研究，如標(biāo)準(zhǔn)桿件法，石英棒在空間放置位置具有一定的隨機性。為得到理想的標(biāo)定結(jié)果，只能無謂地增加標(biāo)定次數(shù)。文中以標(biāo)準(zhǔn)桿件法為例，通過研究高斯—牛頓矩陣性態(tài)問題得出條件數(shù)對參數(shù)辨識性的影響，并通過模擬實驗找出了采樣點的各關(guān)節(jié)角度范圍與條件數(shù)的關(guān)系，以此提出一種優(yōu)化的采樣策略。

1 標(biāo)定過程中參數(shù)可辨識性

用D－H方法推出的測量機測量方程式中包含21項待辨識的參數(shù):桿件長度 l1、l2、l3、l4、l5;桿件扭角α1、α2、α3、α4、α5;關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角 θ2、θ3、θ4、θ5、θ6;桿件偏置量 d2、d3、d4、d5、d6;測頭偏置量 l6，21 項參數(shù)記為 b1，b2，…，b21。對于可觀測性的量 x 與 y 有［2］?

式中，x 是自變量;y 為變量，向量 b=(b1，b2，…，bn)為n維待辨識的參數(shù)，n=21。要標(biāo)定出這21項參數(shù)，則要通過m(m＞n)組觀測數(shù)據(jù)(x1，y1)…(xm，ym)尋求參數(shù)向量b的最佳估計值，這是典型的參數(shù)辨識問題。向量b的最佳估計值就是使得殘差 r=yi－fi，i=1，…，m 最小。于是有目標(biāo)函數(shù)［3－4］

采用高斯—牛頓法將上式的非線性問題轉(zhuǎn)化為線性問題得線性方程

式中，A為 m ×21(m ＞21)階 Jacobin矩陣;Δ=［Δ1，Δ2，…，Δ21］T為21項待辨識的結(jié)構(gòu)誤差參數(shù)增量?？煽闯鯦acobin矩陣A與殘差r直接決定了方程組的解;矩陣A的性態(tài)決定了方程組解對干擾的敏感性，殘差r的大小取決于參數(shù)初值的選取以及測量機系統(tǒng)的穩(wěn)定性等因素。

對于線性方程組Ax=b，關(guān)于矩陣性態(tài)有如不等式［5］

2 模擬實驗

在實際進行便攜式坐標(biāo)測量機的參數(shù)標(biāo)定時，采樣點坐標(biāo)決定Jacobin矩陣的條件數(shù)。這里做個模擬實驗，采用基于兩點距離的高斯—牛頓法對測量機參數(shù)辨識，給出兩組柔性坐標(biāo)測量機的關(guān)節(jié)空間坐標(biāo)值A(chǔ)組和B組，其中A組數(shù)據(jù)各個關(guān)節(jié)變化范圍大，B組數(shù)據(jù)則將各個關(guān)節(jié)坐標(biāo)值變化控制在很小的范圍內(nèi)。將21項誤差初始值取相同值，發(fā)現(xiàn)用A組數(shù)據(jù)計算得出的Jacobin矩陣的條件數(shù)量級在103，用B組數(shù)據(jù)計算得出的Jacobin矩陣的條件數(shù)量級在106，由此可見在柔性坐標(biāo)測量機的實際應(yīng)用中，能夠通過增大測量機各關(guān)節(jié)空間的取值范圍來有效的改善Jacobin矩陣的條件數(shù)。

3 優(yōu)化采樣策略

錐孔標(biāo)準(zhǔn)桿件標(biāo)定法是分別記錄下探測錐孔標(biāo)準(zhǔn)桿兩端時關(guān)節(jié)式坐標(biāo)測量機的姿態(tài)，并以兩端錐孔時球心之間的距離作為基準(zhǔn)量來逆解測量機的21項參數(shù)［6］。

根據(jù)以上理論研究及模擬實驗的結(jié)論，為增大采樣的各個關(guān)節(jié)的變化范圍提出一種采樣策略:將標(biāo)準(zhǔn)件在測量機測量范圍內(nèi)均勻放置，并在每一個位置采樣時均勻旋轉(zhuǎn)錐窩標(biāo)準(zhǔn)桿，可有效增大各個關(guān)節(jié)的取值范圍。為驗證這一策略的有效性，分別對比一下3種采樣策略。

(1)A組實驗將標(biāo)準(zhǔn)桿基座固定在與坐標(biāo)機同一平面上，距離a=40 cm處，固定石英棒采樣500組數(shù)據(jù)，如圖1所示。處理所得結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

圖1 錐孔標(biāo)定示意圖

(2)B組實驗將標(biāo)準(zhǔn)桿件基座固定在與坐標(biāo)機同一平面上，距離同樣為40 cm處在空間內(nèi)均勻旋轉(zhuǎn)石英棒采樣500組數(shù)據(jù)，處理所得結(jié)構(gòu)參數(shù)如表2所示。

具體采樣方法如圖2所示。圖中粗直線為兩頭帶錐孔的石英棒，即標(biāo)準(zhǔn)桿件。在標(biāo)定時，將石英棒在不同平面內(nèi)均勻旋轉(zhuǎn)采樣，例如每隔10°放置標(biāo)準(zhǔn)桿并采樣，同可得到36組比對結(jié)果，接著，依次在平面2、平面3、…、平面n內(nèi)均勻采樣，一直延續(xù)到整個測量空間［7］。

圖2 石英棒示意圖

(3)C組實驗將標(biāo)準(zhǔn)桿件基座固定在與坐標(biāo)機同一平面，保持測量機位置固定不動，標(biāo)準(zhǔn)桿件以測量機底座為圓心，40 cm為半徑旋轉(zhuǎn)，如圖3所示，每隔60°放置一個位置采樣500組數(shù)據(jù)，采樣時石英棒的旋轉(zhuǎn)類似于步驟(2)。處理所得結(jié)構(gòu)參數(shù)如表3所示。

圖3 石英棒圍繞測量機旋轉(zhuǎn)方式

表1 A組標(biāo)定所得參數(shù)

表2 B組標(biāo)定所得參數(shù)

表3 C組標(biāo)定所得參數(shù)

將所求得的3組參數(shù)帶入坐標(biāo)測量機，并對300 mm的量塊進行50次測量，量塊擺放位置任意選定。測量數(shù)據(jù)處理結(jié)果如表4所示。由表4可得C組中在保證標(biāo)準(zhǔn)桿件基座與坐標(biāo)測量機距離與采樣次數(shù)均相同的情況下，空間內(nèi)盡量均勻旋轉(zhuǎn)整個標(biāo)準(zhǔn)件和石英棒這種采樣策略標(biāo)定得來的結(jié)果，相比另外兩種采樣策略要好得多，所得參數(shù)帶入測量機后，測量值更加接近真實值。

表4 3組參數(shù)標(biāo)定結(jié)果

4 結(jié)束語

針對便攜式坐標(biāo)測量機參數(shù)標(biāo)定過程中運用高斯—牛頓法時矩陣性態(tài)的問題，指出了在標(biāo)定柔性坐標(biāo)測量機21項結(jié)構(gòu)參數(shù)時，應(yīng)減小Jacobin矩陣的條件數(shù)。為減小Jacobin矩陣的條件數(shù)，提出了一種增大各個關(guān)節(jié)取值范圍的采樣策略。以錐孔標(biāo)準(zhǔn)桿標(biāo)定法為例，將標(biāo)準(zhǔn)件在測量機測量范圍內(nèi)均勻放置，并在每一個位置采樣時均勻旋轉(zhuǎn)錐窩標(biāo)準(zhǔn)桿，有效增大了各關(guān)節(jié)的取值范圍。最后通過精度對比試驗驗證了這一策略增強了測量機參數(shù)系統(tǒng)誤差的可辨識性，保證了便攜式坐標(biāo)測量機的精度。

［1］于連棟，程文濤，費業(yè)泰.基于激光跟蹤儀的關(guān)節(jié)式坐標(biāo)測量機參數(shù)標(biāo)定［J］.中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)學(xué)報，2009，39(12):1329－1332.

［2］程文濤.關(guān)節(jié)式坐標(biāo)測量機標(biāo)定技術(shù)研究［D］.合肥:合肥工業(yè)大學(xué)，2011.

［3］BAI YING，WANG DALI.On the comparison of interpolation techniques for robotics position compensation［C］.IEEE International Conference on Robotics ＆ Automation，2003:3384－3389.

［4］鄧乃揚.無約束最優(yōu)化計算方法［M］.北京:科學(xué)出版社，1982.

［5］陳志平，徐成賢.不精確高斯－牛頓法的收斂性［J］.工程數(shù)學(xué)學(xué)報，1997，14(4):1 －7.

［6］鄭大騰.柔性坐標(biāo)測量機空間誤差模型及最佳測量區(qū)研究［D］.合肥:合肥工業(yè)大學(xué)，2010.

［7］汪平平.柔性坐標(biāo)測量機精度理論及應(yīng)用技術(shù)研究［D］.合肥:合肥工業(yè)大學(xué)，2006.

An Optimized Sampling Strategy of the Parameters Calibration for PCMM

XI Si，YU Liandong
(School of Instrumentation，Hefei University，Hefei 230009，China)

We use the Gauss-Newton method to find the parameters in the parameters calibration for PCMM(Portable Coordinate Measuring Machine).Then we find the relationship between the identification of parameters and the conditions numbers of Jacobin Matrix，and in practical the conditions numbers of Jacobin Matrix depends on the sample point.Therefore，the sampling strategy must be optimized.Using the cone and standard bar as a calibration standard，this paper presents an optimized sampling strategy to increase the value range of each joint and thus minimize the conditions number of Jacobin Matrix.Experiment results show that the sampling strategy of calibration greatly improves the measurement accuracy.

parameters calibration;sampling strategy;Gauss-Newton;the conditions numbers

TP274+.2

A

1007－7820(2012)08－132－03

2012-02-28

國家自然科學(xué)基金資助項目(51075117)

奚思(1988—)，女，碩士研究生。研究方向:精密儀器及機械。