淺談平面振子的阻尼運(yùn)動(dòng)

肖 筱 陶寅瑩 李 慶

(電子科技大學(xué)英才實(shí)驗(yàn)學(xué)院 四川 成都 611731)

滕保華

(電子科技大學(xué)物理電子學(xué)院 四川 成都 610054)

大學(xué)物理中對(duì)通常的阻尼振動(dòng)和平面振子已經(jīng)有了很多研究[1～4]，但阻尼振動(dòng)的研究主要是基于一維運(yùn)動(dòng)，而平面振子的研究則是基于無阻尼的運(yùn)動(dòng)．本文將研究阻尼情況下的平面振子運(yùn)動(dòng),并討論阻尼系數(shù)對(duì)其運(yùn)動(dòng)軌跡的影響．

圖1 平面振子示意圖

設(shè)振子系統(tǒng)的一端固定在水平面上O點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)， 彈簧的勁度系數(shù)和原長(zhǎng)分別為κ和l．若質(zhì)點(diǎn)受一阻力f=-αv(α為阻尼系數(shù))，則在極坐標(biāo)下，振子的運(yùn)動(dòng)方程可以寫成

(1)

和

(2)

由(2)式直接得到振子系統(tǒng)的角動(dòng)量為

(3)

這里J0是振子的初始角動(dòng)量．顯然，在有阻尼情況下振子系統(tǒng)的角動(dòng)量是隨時(shí)間t指數(shù)衰減的．于是任意時(shí)刻振子的位置可由下述微分方程和積分方程確定

(4)

(5)

利用Mathcad[5]數(shù)值計(jì)算可以得到在一定參數(shù)和初始條件下平面振子阻尼運(yùn)動(dòng)的軌跡，如圖2所示．圖中初始條件設(shè)置為：振子初始伸長(zhǎng)量為1 m，初速度大小為2.45 m/s，其方向與極軸OA夾角為42.8°．可以看出，阻尼系數(shù)α為零時(shí)振子運(yùn)動(dòng)軌跡呈規(guī)則的花瓣?duì)?，并且位于一個(gè)內(nèi)切圓和一個(gè)外接圓之間[4]．而阻尼系數(shù)α不為零時(shí)，振子的運(yùn)動(dòng)軌跡與上明顯不同，即阻尼系數(shù)α的大小敏感地影響振子運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)短和形狀．隨著阻尼系數(shù)α的增大，一方面阻尼因素將導(dǎo)致平面振子的運(yùn)動(dòng)軌跡快速變短；另一方面阻尼還將使其運(yùn)動(dòng)軌跡的形狀明顯偏離花瓣?duì)睿⒃谝欢ㄇ闆r下有阻尼的平面振子運(yùn)動(dòng)軌跡會(huì)部分落入到無阻尼振子運(yùn)動(dòng)軌跡的內(nèi)切圓中．

圖2 無阻尼和有阻尼時(shí)的平面振子軌跡,這里參數(shù)分別為：m=1,α=0.2，κ=2，l=2,J0=5(均為國際單位)

為了說明阻尼系數(shù)α不為零時(shí)平面振子運(yùn)動(dòng)軌跡部分落入內(nèi)切圓中的軌跡特點(diǎn)，可以分析平面振子的徑向速度和橫向速度.在極坐標(biāo)下振子的徑向速度和橫向速度分別由下式?jīng)Q定

利用Mathcad數(shù)值計(jì)算，可以得到與圖2相同的參數(shù)下有阻尼和無阻尼時(shí)振子徑向速度vi(t)和橫向速度vj(t)，分別如圖3(a)和3(b)所示．

圖3

可以看出，無阻尼時(shí)振子的徑向速度隨時(shí)間簡(jiǎn)諧變化，但橫向速度是平移到坐標(biāo)軸上方某正數(shù)附近非簡(jiǎn)諧的周期變化．阻尼系數(shù)α不為零時(shí),振子的徑向速度和橫向速度都是隨時(shí)間衰減的，并且徑向速度與一維阻尼振子的速度衰減趨勢(shì)完全相似，但是此時(shí)橫向速度卻是從坐標(biāo)軸上方某正數(shù)附近一直振蕩衰減到零．也就是說，此時(shí)振子橫向速度的衰減變化趨勢(shì)與無阻尼時(shí)振子橫向速度的變化趨勢(shì)大相徑庭．由此可以發(fā)現(xiàn)，阻尼系數(shù)α不為零時(shí)平面振子軌跡之所以部分落入無阻尼時(shí)的內(nèi)切圓內(nèi)，是因?yàn)槠錂M向速度相比無阻尼時(shí)不協(xié)調(diào)地衰減，導(dǎo)致平面振子所需的向心力相比無阻尼時(shí)相應(yīng)減小，在彈力的作用下，最終使得平面振子在運(yùn)動(dòng)過程中部分落入無阻尼時(shí)的內(nèi)切圓內(nèi)．

綜上所述，本文通過建立平面振子在有阻尼情況下的動(dòng)力學(xué)方程，利用Mathcad數(shù)值求解了一定條件下平面振子的運(yùn)動(dòng)軌跡，并分析了阻尼因素對(duì)其運(yùn)動(dòng)軌跡的影響．同時(shí)指出，有阻尼時(shí)平面振子橫向速度的迅速衰減特征是導(dǎo)致有阻尼時(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡部分落入無阻尼時(shí)軌跡內(nèi)切圓的主要原因．

參考文獻(xiàn)

1 周衍柏.理論力學(xué)教程.北京:高等教育出版社,1979.69

2 (美)H·戈德斯坦著.湯家鏞，陳為恂譯.經(jīng)典力學(xué).北京:科學(xué)出版社,1981.71～87

3 趙凱華.新概念物理教程·力學(xué).北京:高等教育出版社,2004.329

4 Scheck F. Mechanics: From Newton′s Laws to Deterministic Chaos (Berlin: Springer) 2004.47～49

5 鄭桂水.Mathcad2000實(shí)用教程.北京:國防工業(yè)出版社,2000.172～176