秦 剛，譚 進(jìn)，吳丹怡，杜 超

（西安工業(yè)大學(xué) 陜西 西安 710032）

無(wú)刷直流電機(jī)是新一代機(jī)電一體化產(chǎn)品，其轉(zhuǎn)子采用永磁材料勵(lì)磁，無(wú)勵(lì)磁損耗，利用電子換向器取代了機(jī)械電刷和機(jī)械換向器，具有體積小、重量輕、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、維護(hù)方便、高效節(jié)能、易于控制等優(yōu)點(diǎn)。故而在工業(yè)動(dòng)力過(guò)程及生活領(lǐng)域等都得到了廣泛的應(yīng)用。

經(jīng)典PID控制在電機(jī)速度控制中已經(jīng)得到了比較成熟的應(yīng)用，但是受電動(dòng)機(jī)負(fù)載等非線性因素的影響，傳統(tǒng)的控制策略在實(shí)際應(yīng)用中難以保持設(shè)計(jì)時(shí)的理想性能，且在系統(tǒng)運(yùn)行過(guò)程中，參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的外部環(huán)境的要求比較嚴(yán)格，且調(diào)試復(fù)雜不便。內(nèi)模控制（Internal Model Control）是一種基于過(guò)程數(shù)學(xué)模型進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)的新型控制策略，其具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、跟蹤調(diào)節(jié)性能好、魯棒性強(qiáng)、能消除不可測(cè)干擾等優(yōu)點(diǎn)。文獻(xiàn)[3-4]中通過(guò)采用內(nèi)?？刂圃韺?duì)不同特性對(duì)象進(jìn)行控制，結(jié)果表明：基于內(nèi)模原理的控制器設(shè)計(jì)原理簡(jiǎn)單，可同時(shí)考慮多種控制指標(biāo)，應(yīng)用范圍廣，參數(shù)整定直觀方便。分析內(nèi)?？刂婆cPID控制存在的對(duì)應(yīng)關(guān)系，將PID控制器設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化到內(nèi)模控制框架下進(jìn)行，可以得到明確的解析結(jié)果。這樣不僅在控制要求上能到達(dá)模糊PID控制的要求，同時(shí)又降低了參數(shù)設(shè)計(jì)的復(fù)雜性和隨機(jī)性。

文中通過(guò)分析基于內(nèi)模原理的PID控制器的設(shè)計(jì)原理，解析出控制器參數(shù)的內(nèi)部數(shù)學(xué)模型，并針對(duì)雙閉環(huán)無(wú)刷直流電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)，采用MATLAB對(duì)設(shè)計(jì)的控制器與經(jīng)典PID控制器進(jìn)行仿真比較。

1 無(wú)刷直流電機(jī)模型

文中研究的模型是無(wú)中性線Y形連接的三相無(wú)刷直流電動(dòng)機(jī)，該模型在多種應(yīng)用場(chǎng)合中的多數(shù)無(wú)刷直流電機(jī)中具有代表性。假定三相繞組完全對(duì)稱，忽略齒槽效應(yīng)；且氣隙磁場(chǎng)為方波，定子電流、轉(zhuǎn)子磁場(chǎng)分布皆對(duì)稱；忽略磁路飽和，不計(jì)渦流和磁滯損耗。則無(wú)刷直流電機(jī)電勢(shì)平衡方程式為：

式（1）中：U為電源電壓；E為電樞繞組反電勢(shì)；sacp為平均電樞電流；racp為電樞繞組的平均電阻；ΔU為功率管飽和壓降，對(duì)于橋式換相電路為2ΔU。該三相無(wú)刷直流電機(jī)等效電路圖如圖1所示。

根據(jù)無(wú)刷直流電機(jī)特性，對(duì)其進(jìn)行建?？傻萌酂o(wú)刷直流電機(jī)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型框圖[2]如圖2所示。

圖1 三相無(wú)刷直流電動(dòng)機(jī)等效電路圖Fig.1 Three-phase brushless DC motor equivalent circuit diagram

圖2 無(wú)刷直流電機(jī)動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型Fig.2 Brushless DC motor dynamic mathematical model

如圖2所示，Tt為電樞回路電磁時(shí)間常數(shù)；Tm為拖動(dòng)系統(tǒng)機(jī)電時(shí)間常數(shù)。故而無(wú)刷直流電機(jī)的轉(zhuǎn)速、電流雙閉環(huán)調(diào)速系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖如圖3所示。

圖3 雙閉環(huán)調(diào)速系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖Fig.3 Double closed loop speed regulation system dynamic structure

由圖3可知，系統(tǒng)為串級(jí)控制系統(tǒng)，本設(shè)計(jì)針對(duì)此串級(jí)控制的控制器采用IMC-PID控制算法進(jìn)行系統(tǒng)仿真研究。

2 內(nèi)?？刂频幕驹?/h2>

內(nèi)?？刂剖且环N基于過(guò)程數(shù)學(xué)模型進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)的新型控制策略，以其簡(jiǎn)單、跟蹤調(diào)節(jié)性能好、魯棒性強(qiáng)、能消除不可測(cè)干擾等優(yōu)點(diǎn)為控制理論界和工程界所重視。典型內(nèi)?？刂频慕Y(jié)構(gòu)如圖4所示。

圖4 內(nèi)?？刂平Y(jié)構(gòu)圖Fig.4 Internal model control structure

如圖 4中，G（s）為實(shí)際被控對(duì)象；M（s）為被控對(duì)象的內(nèi)部模型（過(guò)程模型），可分解為可逆部分M-（s）和不可逆部分M+（s），且滿足 M（s）=M-（s）M+（s）；Q（s）為內(nèi)模控制器，它是通過(guò)求過(guò)程模型的近似逆而獲得的，設(shè)為 Q（s）=M-1-（s）R（s），其中 R（s）是一個(gè) n 階低通濾波器 R（s）=1/（λs+1）n；U（s）為內(nèi)?？刂破鞯妮敵隹刂屏浚籝（s）為系統(tǒng)的輸出；R（s）為系統(tǒng)輸入；D（s）為不可預(yù)測(cè)干擾。

內(nèi)?？刂剖腔谶^(guò)程數(shù)學(xué)模型進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)的控制策略，通過(guò)引入低通濾波器建立關(guān)于研究對(duì)象或參數(shù)與控制器的內(nèi)部數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)基于內(nèi)部模型的新型控制策略。其中λ為濾波器常數(shù)，是內(nèi)?？刂菩枰ǖ膮?shù)，它對(duì)系統(tǒng)性能和魯棒性有顯著影響。需要在快速性和魯棒整定之間折中，尤其是在時(shí)變時(shí)延系統(tǒng)中，對(duì)時(shí)延的魯棒性，λ有著非常重要的作用。

3 IMC-PID控制器的設(shè)計(jì)

根據(jù)圖4可做出內(nèi)?？刂平Y(jié)構(gòu)的等效圖如圖5所示。

圖5 內(nèi)模控制結(jié)構(gòu)等效圖Fig.5 Internal model control structure equivalent figure

圖6 常規(guī)PID控制結(jié)構(gòu)框圖Fig.6 The conventional PID control structure diagram

將圖4所示內(nèi)?？刂破鱍（s）等效分解成圖5中虛線包圍的部分，對(duì)圖5所示的輸入輸出關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)可知，兩個(gè)模型模塊M（s）可以互相抵消，因而可將圖5所示系統(tǒng)等效成圖6所示常規(guī)PID反饋控制系統(tǒng)，從而得到常規(guī)PID反饋控制 C（s）與 IMC控制 Q（s）器的關(guān)系如下：

對(duì)式（2）進(jìn)行結(jié)構(gòu)變換可得

由圖4可以看出經(jīng)典控制器 C（s）與內(nèi)?？刂破鱍（s）的關(guān)系如式（3）所示，IMC-PID控制器的設(shè)計(jì)思路就是把等效為經(jīng)典反饋PID控制，即把內(nèi)?？刂破鬓D(zhuǎn)化為PID各參數(shù)的解，繼而從內(nèi)?？刂频慕嵌葋?lái)設(shè)計(jì)PID控制器。設(shè)計(jì)包含4個(gè)步驟：

第1步：將模型分解

把模型M（s）分解為全通部分 M+（s）和最小相位部分M-（s），即

其中 M-（s）是模型最小相位部分，M+（s）包含了 M（s）中的純滯后環(huán)節(jié)和右半S平面的零點(diǎn)。

第2步：求內(nèi)模控制器

由第一節(jié)介紹可知

第3步：將內(nèi)?？刂破鬓D(zhuǎn)換為合適的PID控制器

利用求得的內(nèi)模控制器 Q（s）與式（3）比較，理想的 PID控制器具有如下的形式：

由式（3）、（4）和式（5）可知：

由式（6）和式（7）可知：

將式（8）等式右邊展開(kāi)成s的Taylor級(jí)數(shù)，再由s多項(xiàng)式各項(xiàng)冪次系數(shù)對(duì)應(yīng)相等的原則，即求解可得基于內(nèi)模控制原理的PID控制器的各參數(shù)。

第4步：整定濾波器常數(shù)λ。

4 IMC-PID控制器參數(shù)整定

由上述分析可知，被控對(duì)象的過(guò)程模型可分解為純滯后環(huán)節(jié)和最小相位環(huán)節(jié)兩部分，其中純滯后環(huán)節(jié)部分分析比較復(fù)雜，故設(shè)計(jì)中一般采用Pade法來(lái)近似分析。由式（8）可知，基于內(nèi)模原理的PID控制器中所需要整定的唯一參數(shù)是λ，通過(guò)第二節(jié)中對(duì)被控對(duì)象的分析可知其過(guò)程模型可近似為二階加純滯后環(huán)節(jié)，其模型結(jié)構(gòu)如式（9）所示：

CMT5205電子拉力試驗(yàn)機(jī)(深圳市新三思材料檢測(cè)有限公司)，XTL-207A光學(xué)顯微鏡(上海締倫光學(xué)儀器有限公司)。

采用Pade法來(lái)近似分析即令：

即

由式（11）可知

由式（5）可知內(nèi)模控制器為：

由式（11）、（12）和（13）可知 IMC-PID 反饋控制器為

經(jīng)典PID控制器為

由式（8）、（14）和（15）可知 IMC-PID 控制器的參數(shù)為：

由式（16）可知，在被控對(duì)象過(guò)程模型已知的條件下，T1、T2和K是已知的，故在控制器的設(shè)計(jì)中，需要調(diào)試的參數(shù)只有一個(gè)λ。

5 結(jié)果仿真與分析

根據(jù)相關(guān)資料，無(wú)刷直流電機(jī)的各項(xiàng)相關(guān)參數(shù)如下:UN=220 V，IN=136 A，nN=1460 r/min，電樞電阻 Ra=0.2 Ω，允許過(guò)載倍數(shù) λ=1.5；變流裝置 Ts=0.001 67 s，放大系數(shù) Ks=40；樞回路總電阻R=0.5 Ω；電樞回路總電感L=15 mH；機(jī)電時(shí)間常數(shù)Tm=0.18 s；電樞回路電磁時(shí)間Tt=0.03 s；電機(jī)軸上的總飛輪慣量 GD2=22.5 N·m2；電流反饋系數(shù) β=0.05 V/A；轉(zhuǎn)速反饋系數(shù) α=0.007 Vmin/r。

運(yùn)用MATLAB中的Simulink工具箱對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真研究，其仿真原理如圖7所示。

其對(duì)比仿真結(jié)果如圖8所示。

圖7 IMC-PID控制與經(jīng)典PID控制對(duì)比仿真原理圖Fig.7 Control and classic PID control simulation principle contrast figure

圖8 經(jīng)典PID控制與IMC-PID控制系統(tǒng)的階躍響應(yīng)對(duì)比仿真Fig.8 Classic PID control and IMC-PID control system step response contrast simulation

由仿真結(jié)果可以看出，基于內(nèi)部模型來(lái)設(shè)計(jì)PID控制器參數(shù)的控制方式，相對(duì)于傳統(tǒng)PID控制器來(lái)說(shuō)，更有調(diào)節(jié)時(shí)間短，響應(yīng)速度快，超調(diào)量小，能使系統(tǒng)盡早地達(dá)到穩(wěn)定等優(yōu)點(diǎn)，能有效提高被控對(duì)象的動(dòng)態(tài)、靜態(tài)性能。同時(shí)在參數(shù)調(diào)節(jié)的過(guò)程中，基于內(nèi)部模型的PID控制器參數(shù)只有一個(gè)，故而調(diào)節(jié)更為方便，更有利于應(yīng)用工程實(shí)踐中。

6 結(jié) 論

本設(shè)計(jì)通過(guò)仿真分析比較傳統(tǒng)PID控制器與基于內(nèi)模原理的PID控制器在雙閉環(huán)無(wú)刷直流電機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)中的控制效果，結(jié)果表明基于內(nèi)模原理的PID控制器在無(wú)刷直流電機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)中能達(dá)到傳統(tǒng)PID控制器的控制要求，同時(shí)，基于內(nèi)部模型的PID控制器在參數(shù)調(diào)節(jié)上更方便，故而此種控制器比較合適應(yīng)用于雙閉環(huán)無(wú)刷直流電機(jī)的轉(zhuǎn)速控制中。

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