基于離散混沌系統(tǒng)的A/D轉(zhuǎn)換器研究綜述

劉奇峰，李清都

(重慶郵電大學(xué) 非線性電路與系統(tǒng)研究所，重慶400065)

1 混沌系統(tǒng)概述

從20世紀(jì)60年代開始，大量混沌系統(tǒng)的例子被數(shù)學(xué)家們所發(fā)現(xiàn)。在過去的50年里，動(dòng)力系統(tǒng)的混沌特性也得到了廣泛研究，對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)混沌特性的研究逐步從控制或者抑制混沌發(fā)展到如何有效地利用混沌。近年來，混沌許多潛在和實(shí)際的應(yīng)用已被人們發(fā)現(xiàn)，特別是混沌在通信及信號(hào)處理中的研究更是在如火如荼地進(jìn)行。例如，利用混沌進(jìn)行保密通信、利用混沌對(duì)弱信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)、利用混沌來產(chǎn)生真隨機(jī)序列發(fā)生器等。最近，利用混沌檢測(cè)方法，將混沌理論應(yīng)用于模擬與數(shù)字系統(tǒng)接口的A/D轉(zhuǎn)換器為混沌理論實(shí)際有效的應(yīng)用指明了新的方向。

現(xiàn)實(shí)世界中大部分的信號(hào)是連續(xù)信號(hào)，而隨著微電子技術(shù)、計(jì)算機(jī)技術(shù)和數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)的發(fā)展，處理這些連續(xù)信號(hào)時(shí)更多的是將其轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號(hào)來進(jìn)行處理。A/D轉(zhuǎn)換器的目的就是將時(shí)域和幅度上連續(xù)的模擬信號(hào)轉(zhuǎn)換成時(shí)域上離散、幅度上量化的離散信號(hào)。傳統(tǒng)A/D轉(zhuǎn)換器的精度一般受到無源器件和有源器件參數(shù)失配的影響，此時(shí)，如果要提高A/D轉(zhuǎn)換器的轉(zhuǎn)換精度，通常采用兩種方法:一是使用更加精密的無源器件和有源器件;二是利用更加優(yōu)化的電路結(jié)構(gòu)來適配與補(bǔ)償器件的誤差。目前在廣泛使用的高性能A/D轉(zhuǎn)換器中，典型的高精度A/D轉(zhuǎn)換器為(Σ-Δ)調(diào)制型，而典型的高速A/D轉(zhuǎn)換器則較多采用并行技術(shù)。這兩種A/D轉(zhuǎn)換器要么需要數(shù)字抽取濾波器，要么需要大量高精度無源和有源的數(shù)字或模擬元件，這些元件的使用提高了電路的復(fù)雜度，加大了成本，增加了所需的功耗。因此，如何利用少量和低成本的元件來實(shí)現(xiàn)A/D轉(zhuǎn)換成為目前人們比較關(guān)注的研究方向。Ray Brown早在1992年就提出通過利用混沌的初值敏感性來對(duì)微弱信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)，并且提出具體的實(shí)現(xiàn)方式［1］。Michel Peter Kennedy于1995年在Ray Brown的研究基礎(chǔ)上提出利用混沌的初值敏感性來進(jìn)行A/D轉(zhuǎn)化，并且給出其算法實(shí)現(xiàn)的框圖［2］。

對(duì)初值的敏感性和參數(shù)的敏感性是混沌最重要的特征。初值敏感性的含義是指混沌系統(tǒng)里初始值的一個(gè)微小的變動(dòng)會(huì)導(dǎo)致混沌軌道的長(zhǎng)期不可預(yù)測(cè)性的巨大變化:軌道之間的距離可能從極大突然變?yōu)闃O小，它體現(xiàn)了混沌系統(tǒng)對(duì)初值敏感的隨機(jī)性［3］。初值的敏感性說明了一個(gè)非線性系統(tǒng)在混沌狀態(tài)下對(duì)初始值的高分辨［4］。在相關(guān)的混沌理論應(yīng)用方面，混沌檢測(cè)方法與傳統(tǒng)測(cè)量方法不同:混沌方法以非平衡、不穩(wěn)定作為基本特征，在非線性系統(tǒng)的非平衡、不穩(wěn)定狀態(tài)中提取并且處理信息［5］。目前混沌檢測(cè)的普遍方法是利用混沌振子對(duì)同頻信號(hào)的初值敏感性和對(duì)噪聲的免疫能力來實(shí)現(xiàn)微弱信號(hào)的檢測(cè)［6］。而本文所討論的混沌測(cè)量方法是一種新型的利用混沌進(jìn)行檢測(cè)的方法，這種方法，也為混沌在A/D轉(zhuǎn)換中的應(yīng)用提供了基礎(chǔ)。

2 現(xiàn)有混沌A/D轉(zhuǎn)換的理論及方法

目前有關(guān)混沌A/D轉(zhuǎn)換器的研究都是使用基于離散時(shí)間系統(tǒng)模型的非線性離散映射方法。初值信號(hào)經(jīng)過離散時(shí)間系統(tǒng)模型的采樣過程后，初值信號(hào)轉(zhuǎn)換成一個(gè)個(gè)獨(dú)立的離散信號(hào)。而這些轉(zhuǎn)換后的信號(hào)有利于進(jìn)行計(jì)算機(jī)數(shù)值計(jì)算與仿真分析，對(duì)于研究該混沌系統(tǒng)的軌道、周期性、稠密性和初值敏感性有著很大幫助［7］。所以，離散時(shí)間系統(tǒng)通常被用于混沌A/D轉(zhuǎn)換上。

混沌帳篷映射(Tent map)、貝努力映射(Bernoulli map)、倒鋸齒映射(Sawtooth)等映射都是目前混沌A/D轉(zhuǎn)換器普遍采用的方法。m移位映射是連續(xù)的，且具有周期點(diǎn)集在緊致度量空間∑m內(nèi)處處稠密、是拓?fù)鋫鬟f的、對(duì)初始條件敏感依賴這3點(diǎn)性質(zhì)。由于單邊符號(hào)空間上的m移位映射和移位映射存在拓?fù)涔曹椀年P(guān)系。根據(jù)Devaney混沌定義，m移位映射與移位映射都是混沌的。他們具有相同的拓?fù)潇?，而且?guī)づ裼成涞入x散映射也擁有相同的拓?fù)潇?。這幾種離散映射是混沌的。同樣可以證明，這幾種用于混沌A/D轉(zhuǎn)換器的離散映射是在相空間里平面R2正方形上進(jìn)行拉伸和壓縮變換得到的，這符合拓?fù)漶R蹄映射的特點(diǎn)，說明它們是典型的一維混沌映射。下文將詳細(xì)地分析這幾種離散映射的具體的實(shí)現(xiàn)、應(yīng)用及性能［9］。

2.1 基于混沌帳篷映射的A/D轉(zhuǎn)換器

混沌帳篷映射是一種離散的非線性系統(tǒng)，定義為

混沌帳篷映射所對(duì)應(yīng)的非線性放大和線性放大的區(qū)別是:初始值從迭代開始，每次放大的倍數(shù)都不是常數(shù)，這要取決于迭代后的值所在區(qū)間。但是初始值經(jīng)過混沌帳篷映射的放大后，其仍然在混沌的吸引子以內(nèi)，而不會(huì)出現(xiàn)溢出。這種迭代的放大方式，會(huì)使帳篷映射系統(tǒng)的軌道進(jìn)入混沌狀態(tài)，可以用來對(duì)微弱信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)。

假設(shè)帳篷映射系統(tǒng)的輸入值為Vin，它對(duì)應(yīng)著系統(tǒng)初始的狀態(tài)x0，x0可通過二進(jìn)制數(shù)表示為

并假設(shè)gn=sgn(xn-0.5)。

在這里通過另外一種映射——Bernoulli映射來實(shí)現(xiàn)帳篷映射的迭代輸出與初始狀態(tài)x0的關(guān)系。其映射關(guān)系式為

Bernoulli映射每次迭代的輸出都對(duì)應(yīng)著相對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制比特流的一位，即xi+1=B(x'i)=0.ai+1ai+2ai+3…，這里假設(shè)bn=sgn(xn-0.5)。

由帳篷映射里的gi與bi的數(shù)學(xué)關(guān)系可以知道，gi是與bi相對(duì)應(yīng)的格雷碼序列，其關(guān)系為

由于Bernoulli映射的初始狀態(tài)x0和帳篷映射的初始狀態(tài)x'0都等于輸入值Vin，gi與bi可有以下關(guān)系

根據(jù)式(5)，可以將混沌帳篷映射的格雷碼輸出轉(zhuǎn)換成最終需要的二進(jìn)制碼輸出［4］。

通過帳篷映射實(shí)現(xiàn)的A/D轉(zhuǎn)換器如圖1所示，通常由比較器、D觸發(fā)器、開關(guān)電容和比例延時(shí)器組成。

圖1 帳篷映射實(shí)現(xiàn)的A/D轉(zhuǎn)換器框圖

運(yùn)算放大器的輸出信號(hào)即為格雷碼序列g(shù)j，同時(shí)也可以得到初始條件b0，根據(jù)式(3)，可以得到所需的A/D轉(zhuǎn)換后的二進(jìn)制序列?；趲づ裼成涞幕煦鏏/D轉(zhuǎn)換器特別適用于陣列傳感器的并行信號(hào)采集系統(tǒng)，這類混沌A/D轉(zhuǎn)換器更容易進(jìn)行系統(tǒng)集成，降低功耗，提高分辨力［10］。

2.2 基于Bernoulli映射的A/D轉(zhuǎn)換器

該類A/D轉(zhuǎn)換器是直接基于Bernoulli混沌映射的，它不需要進(jìn)行格雷碼到二進(jìn)制碼的轉(zhuǎn)換，所以在原理上更加直接、簡(jiǎn)單。其映射關(guān)系可見式(3)。

給定一個(gè)初始狀態(tài)的值x0，經(jīng)過式(3)所表示的混沌系統(tǒng)的若干次迭代，可以產(chǎn)生相對(duì)應(yīng)的混沌迭代值xn。假設(shè)x0∈［0，0.5)時(shí)，定義符號(hào)ε=0，x0∈［0.5，1)時(shí)，定義符號(hào)ε=1，即

將式(6)代入到式(3)中，可以得到

通過式(7)與式(8)和后面序列的反復(fù)迭代，可以得到

通過式(9)即可推算出初始值為

其誤差估計(jì)小于1/2L。

這里的Bernoulli映射，由于其混沌軌道與系統(tǒng)初始值存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，那么可以通過符號(hào)動(dòng)力學(xué)，利用其軌道所對(duì)應(yīng)的符號(hào)序列計(jì)算出其軌道對(duì)應(yīng)的初始值。這也是混沌測(cè)量的基本思想，此時(shí)的式(10)就可以應(yīng)用于對(duì)微弱信號(hào)的檢測(cè)，用得到的二進(jìn)制數(shù)來推算出初始值，通過提高迭代的精度來降低對(duì)初始信號(hào)檢測(cè)的誤差［11］。

而式(6)組成的符號(hào)序列{ε0，ε1，ε0，…}即為所需要的模數(shù)轉(zhuǎn)換的二進(jìn)制序列。初始值在貝努力映射系統(tǒng)作用后的迭代過程如圖2所示。

圖2 初始值在貝努力映射系統(tǒng)作用后的迭代過程圖

基于貝努力映射的混沌A/D轉(zhuǎn)換器的具體實(shí)現(xiàn)的一般方式是通過若干運(yùn)算放大器、比較器、D觸發(fā)器和模擬開關(guān)這幾個(gè)核心元件構(gòu)成。通過時(shí)序電路對(duì)模擬開關(guān)的控制，實(shí)現(xiàn)電路不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)之間的改變，最終達(dá)到對(duì)初始信號(hào)進(jìn)行模數(shù)轉(zhuǎn)換的效果。

2.3 基于倒鋸齒(Sawtooth)映射的A/D轉(zhuǎn)換器

倒鋸齒映射的映射關(guān)系為

該映射產(chǎn)生混沌的條件是(1＜λ≤2)。同樣，將定義式(11)表示的混沌系統(tǒng)的迭代值與符號(hào)序列形成一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系［15］

倒鋸齒映射的關(guān)系如圖3所示。

圖3 倒鋸齒映射關(guān)系圖

該映射通過將［0，1］區(qū)間拉伸k倍并轉(zhuǎn)回到原區(qū)間內(nèi)的迭代方式將初值的軌道進(jìn)行指數(shù)分離，進(jìn)入混沌態(tài)［12］。在這里，一般將取λ=2來使倒鋸齒映射關(guān)系用于混沌A/D轉(zhuǎn)換器［15］。通過式(11)和式(12)可以用該混沌系統(tǒng)的迭代符號(hào)序列來表示初值為

該式的量化誤差為

3 混沌A/D轉(zhuǎn)換器的性能參數(shù)及優(yōu)化方法

3.1 混沌A/D轉(zhuǎn)換器電容的充放電

由于混沌映射系統(tǒng)迭代的實(shí)現(xiàn)都是通過電容上電壓值的充放電完成的，所以電容容值的選取與電容性能對(duì)A/D轉(zhuǎn)換的過程是非常重要的。電容上電壓的充放電過程是通過積分來實(shí)現(xiàn)的，這里的積分時(shí)間要小于兩個(gè)轉(zhuǎn)換的時(shí)鐘周期。

對(duì)于電容值的選取，可以通過小電容、電阻和運(yùn)放組成的模擬電容網(wǎng)絡(luò)［14］來實(shí)現(xiàn)電容容值的倍增。對(duì)電容值有如下兩個(gè)要求:一是所組成的等效電容C的容值不超過轉(zhuǎn)換臨界點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的電容值的兩倍［7］;二是待轉(zhuǎn)換的初始值和轉(zhuǎn)換臨界點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的電容值不能相同。

3.2 混沌A/D轉(zhuǎn)換器映射模型的軌道偏離

在第二節(jié)所述的混沌A/D轉(zhuǎn)換器的幾種映射模型中，往往通過電壓源或者電流源的關(guān)系來確定映射圖的斜率，而斜率的誤差會(huì)導(dǎo)致混沌系統(tǒng)的偏離。例如在實(shí)現(xiàn)式(11)的電路中，斜率k是可以由兩個(gè)電壓源來實(shí)現(xiàn)的，定義實(shí)際參數(shù)值為λ，它們之間的關(guān)系為

或者，k由兩個(gè)電流源實(shí)現(xiàn)，它們之間的關(guān)系為

如果保證系統(tǒng)的初值空間與符號(hào)空間是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系［13］，那么定義k=2。

實(shí)際電路中，激勵(lì)源受到運(yùn)算放大器的偏置電壓、偏置電流等因素的影響，參數(shù)很難達(dá)到將混沌映射轉(zhuǎn)換為實(shí)際混沌A/D電路所需的嚴(yán)格數(shù)學(xué)值，λ會(huì)在該嚴(yán)格的數(shù)學(xué)值附近發(fā)生變化。λ＞2比λ＜2軌道偏離要大，因?yàn)楫?dāng)大于理論k時(shí)，混沌映射可能出現(xiàn)大于所需的2條軌道，而發(fā)生錯(cuò)誤編碼，這時(shí)就需要采用更多的符號(hào)來進(jìn)行編碼，并添加符號(hào)0來保證正確的編碼，只要λ的偏離小于0.1%，那么混沌軌道的偏離對(duì)A/D轉(zhuǎn)換的結(jié)果也不會(huì)產(chǎn)生明顯的影響［14］。

利用混沌軌道的距離公式定義，可以得到混沌A/D轉(zhuǎn)換器的編碼方式，這種編碼方式的優(yōu)勢(shì)在于混沌電路的時(shí)鐘頻率與積分時(shí)間常數(shù)對(duì)電路編碼的檢測(cè)結(jié)果不產(chǎn)生影響。

3.3 改進(jìn)混沌映射模型來減小迭代誤差

上述用于A/D轉(zhuǎn)換器的混沌映射模型在數(shù)學(xué)上都是分段函數(shù)，初始值的若干次迭代也正是在分段函數(shù)之間進(jìn)行切換的。在具體電路實(shí)現(xiàn)上，由于比較器參考電壓的穩(wěn)定性、精度、噪聲干擾等方面的問題，會(huì)導(dǎo)致電路系統(tǒng)在判斷電壓值，也就是迭代過程中出現(xiàn)錯(cuò)誤，從而引起映射時(shí)選擇了錯(cuò)誤的分段函數(shù)，最終導(dǎo)致混沌系統(tǒng)的發(fā)散與不穩(wěn)定。

為了解決實(shí)際電路中閾值電壓判斷錯(cuò)誤的問題，可以采用相伴IFS隨機(jī)移位系統(tǒng)作為混沌A/D轉(zhuǎn)換器的映射模型［17］。該系統(tǒng)是將原有的混沌映射的范圍區(qū)域擴(kuò)大，然后再重新定義混沌吸引子，該吸引子為原混沌映射系統(tǒng)吸引子的子集。例如式(3)表示的Bernoulii映射的混沌吸引子是［0，1］，本文想將該映射的區(qū)域擴(kuò)大到［-1，1］，此時(shí)在［0，0.5］區(qū)域內(nèi)有分段函數(shù)重疊，此時(shí)在電路具體判斷電壓值的時(shí)候會(huì)隨機(jī)選擇其中一個(gè)分段函數(shù)，再規(guī)定［-0.5，0.5］區(qū)間內(nèi)選擇確定一個(gè)分段函數(shù)，那么等效的映射模型可以定義成相伴IFS隨機(jī)移位系統(tǒng)，新系統(tǒng)的吸引子為［-0.5，0.5］，是原吸引子［-1，1］的子集。新系統(tǒng)的邊界是穩(wěn)定的，可以作為混沌A/D轉(zhuǎn)換器的映射模型，在具體的電路實(shí)現(xiàn)上，只要迭代過程中電路的參數(shù)影響保證在［-0.25，0.25］以內(nèi)，由于判斷時(shí)隨機(jī)的選擇分段函數(shù)，那么整個(gè)系統(tǒng)將不會(huì)發(fā)生發(fā)散和錯(cuò)誤編碼的情況［18］。

這種改進(jìn)辦法降低了系統(tǒng)的噪聲對(duì)A/D轉(zhuǎn)換的干擾，同時(shí)降低了整個(gè)電路對(duì)比較器參考電壓的高精度的要求，提高混沌A/D轉(zhuǎn)換器的在高速運(yùn)行時(shí)的性能。

4 總結(jié)

本文綜述了當(dāng)前主流的混沌A/D轉(zhuǎn)換器，分析了這些離散動(dòng)力系統(tǒng)用作A/D轉(zhuǎn)換的原理及技術(shù)特點(diǎn)，討論了這類轉(zhuǎn)換器的電路設(shè)計(jì)與電路性能，并論述如何優(yōu)化混沌映射系統(tǒng)，使其更加適用于A/D轉(zhuǎn)換器。

不同類別的混沌A/D轉(zhuǎn)換器具體實(shí)現(xiàn)的一般方法是:通過對(duì)初始電壓值的設(shè)置，以及對(duì)電容上電壓值的混沌迭代和對(duì)混沌軌道的位置判斷，最終實(shí)現(xiàn)模數(shù)轉(zhuǎn)換。使用常用的元件和簡(jiǎn)單的模擬開關(guān)，在用于A/D轉(zhuǎn)換電路時(shí)，可以實(shí)現(xiàn)較高的轉(zhuǎn)換精度和速度，幾種混沌A/D轉(zhuǎn)換器均達(dá)到12位以上，如果在提高元件穩(wěn)定性，提高激勵(lì)性能，采用模擬補(bǔ)償和數(shù)字處理的情況下，其轉(zhuǎn)換精度有可能達(dá)到15～16位。此外，所討論的混沌A/D轉(zhuǎn)換器也擁有電路簡(jiǎn)單、功耗小、易于IC集成，并且其擁有集信號(hào)放大、信號(hào)采集與A/D轉(zhuǎn)換于一體等諸多優(yōu)點(diǎn)。

主流的混沌A/D轉(zhuǎn)換器基本采用帳篷映射、Beinoulii映射或倒鋸齒映射等離散映射，因?yàn)檫@類離散映射具有天生的應(yīng)用于A/D轉(zhuǎn)換的優(yōu)勢(shì)，可以采用直接應(yīng)用電路實(shí)現(xiàn)的混沌映射方式來進(jìn)行A/D轉(zhuǎn)換，也可以通過改變混沌吸引子或者改變映射斜率的方式來更新以上幾種混沌映射，從而減小對(duì)初始值判斷的誤差估計(jì)。

除了目前廣泛應(yīng)用的離散時(shí)間系統(tǒng)的混沌映射作為混沌A/D轉(zhuǎn)換器的數(shù)學(xué)模型外，通過龐加萊截面轉(zhuǎn)換成離散時(shí)間系統(tǒng)作為A/D轉(zhuǎn)換器的數(shù)學(xué)模型的方法，以后還可以研究如何利用連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)。

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