黃靈峰， 徐凱宇，2

(1.上海大學上海市應用數(shù)學和力學研究所，上海200072;2.上海大學理學院，上海200444)

近年來，對低維半導體材料的研究是人們關注的熱點問題之一［1-4］.低維半導體材料，即納米半導體材料，具有與基底材料截然不同的性質.隨著材料維度的降低和結構特征尺寸的減小(不大于100 nm)，量子尺寸效應、量子干涉效應、量子隧穿效應、庫侖阻塞效應以及多體關聯(lián)和非線性光學效應都會表現(xiàn)得越來越明顯.制作納米半導體材料有多種方法，如微結構生長與精細加工相結合的方法、溶液-凝膠法、異質外延生長法等，其中異質外延生長法是目前廣泛應用的一種重要方法［5］.由于在低維半導體材料生長初期，基體上的成核是無序的，故其大小、密度及其在空間的有序性難以控制.因此，從理論上弄清量子線等半導體微結構的應力分布，并從實驗上加以控制，實現(xiàn)有序可控生長，對于制備出實用化的量子器件至關重要.分析半導體微納米結構的彈性場可以采用有限元法［6-9］、分子模擬法［10-11］、解析法［12-18］等.上述不同方法均有各自的優(yōu)缺點，如分子模擬雖然可以反映微觀世界的物理現(xiàn)象，但其計算的規(guī)模受到計算機計算能力等因素的影響;有限元法應用廣泛，但其精度受網(wǎng)格劃分、界面形狀等因素影響;解析法往往需要一些必要的假設，如各向同性假設與等模量假設.不過，盡管解析法有此缺陷，但是從解析的結果中往往更容易找出結構彈性場的變化規(guī)律.在針對梯形截面半導體量子線彈性場的解析解的研究中，Gosling等［12］由夾雜理論推導周期排列梯形量子線結構的解析解，但是推導過程很繁瑣，并且沒有給出梯形量子線結構的應力和應變分布圖和數(shù)值解.因此，本工作采用格林函數(shù)法分析橫截面為梯形的量子線結構的彈性場分布，并討論了量子線的頂端高度和初始失配應變對量子線結構彈性場的影響.

1 橫截面為梯形的量子線結構的應力和應變場的解析解

由于組成量子線結構的2種半導體材料的晶格常數(shù)不同，在形成量子線時會發(fā)生晶格失配，從而引起初始失配應變.對于組成成分均勻的量子線結構，初始失配應變?yōu)?/p>

式中，ai為量子線的晶格常數(shù)，as為襯底材料的晶格常數(shù).

對于合金型InxGa1－xAs/GaAs量子線結構，其初始失配應變?yōu)?/p>

式中，aInAs和aGaAs分別為InAs和GaAs的晶格常數(shù)，x為量子線結構中InAs所占的比例，其中當x=1時，InAs/GaAs合金的初始失配應變?yōu)?.2%［18］.

考慮無限大體內含一個橫截面為任意形狀的量子線的彈性場.在各向同性和等模量假設的條件下，由初始失配應變引起的應力場可以通過格林函數(shù)積分［13］得到，即

式中，

方程(3)為量子線結構橫截面上的應力場，與量子線軸向相關的應力為

當點(x，y)在量子線內部時，χ=1;否則，χ=0.

橫截面為等腰梯形的量子線結構如圖1所示，其中h為截面三角形的高度，f(0＜f≤1)為梯形的高度系數(shù).由式(3)沿著量子線邊界積分，便可得到量子線結構應力場的解析解為

式中，

通過胡克定律，很容易得到量子線結構的應變分布為

靜水應變εh為

圖1 等腰梯形量子線Fig.1 An isosceles trapezoidal quantum wire

2 結果與討論

2.1 InP/GaAs量子線結構的應變分布

以InP/GaAs量子線結構體系為例，即以InP為量子線材料，GaAs為襯底材料，分析量子線結構的應變分布，ε0=－3.7%，v=0.360，E=6.07× 1010Pa［14］.圖2～圖4是假設當量子線結構的底角α=45°時，給出的εh，εxx，εyy沿y軸的大小分布.由圖可見，量子線結構的生長高度為30 nm.

圖2是截面為梯形的量子線的靜水應變沿y軸的大小分布.從圖中可以看出，靜水應變在中心軸路徑的分布類似一個有限深勢阱，在量子線內部靜水應變?yōu)槌?shù)，即εh=－3.24%，而在量子線外部基體上為0.靜水應變不隨量子線的高度系數(shù)f的變化而變化，這與經(jīng)典理論一致.Grundmann等［6］利用有限元法、Gosling等［12］利用傅里葉變換法分析量子線結構時均得到了相同的結果.

圖3和圖4分別給出了截面為梯形的量子線的應變分布.從圖中可以看出，量子線的應變在量子線內和量子線附近變化較大，而遠離量子線時，應變趨于0;隨著量子線高度系數(shù)的減小，橫向應變εxx逐漸減小，而縱向應變εyy不斷增大.這是由于隨著高度系數(shù)f不斷減小，量子線橫截面積不斷減小造成的.

2.2 InxGa1-xAs/GaAs量子線結構的應變分布

圖2 截面為梯形的量子線的靜水應變εh沿y軸方向的分布Fig.2 Hydrostatic strain εhalong the y-axis in a trapezoidal cross-section quantum wire

圖3 截面為梯形的量子線的橫向應變εxx沿y軸方向的分布Fig.3 Transverse strain εxxalong the y-axis in a trapezoidal cross-section quantum wire

圖4 截面為梯形的量子線的縱向應變εyy沿y軸方向的分布Fig.4 Longitudinal strain εyyalong the y-axis in a trapezoidal cross-section quantum wire

對于合金型InxGa1－xAs/GaAs量子線結構，v= 0.24，E=1.49×1011Pa［10］，取h=10 nm，α=45°.圖5和圖6給出了初始失配應變分別取7.2%，5.4%，3.6%，1.8%(即x=1.00，0.75，0.50，0.25)時截面為三角形的量子線的應變分布.從圖中可以看出，量子線的應變在量子線內和量子線附近變化較大，而遠離量子線時，應變趨于0;隨著量子線初始失配應變的減小，橫向應變εxx逐漸增大，而縱向應變εyy不斷減小.這是由于隨著高度系數(shù)x不斷減小，量子線初始失配應變不斷減小造成的.

圖5 截面為三角形的量子線的橫向應變εxx沿y軸方向的分布Fig.5 Transverse strain εxxalong the y-axis in a triangular cross-section quantum wire

圖6 截面為三角形的量子線的縱向應變εyy沿y軸方向的分布Fig.6 Longitudinal strain εyyalong the y-axis in a triangular cross-section quantum wire

3 結束語

本工作基于各向同性假設和等模量假設，推導出了橫截面為梯形的量子線結構應力和應變場的解析解，并討論了量子線橫截面的高度系數(shù)和初始失配應變變化對量子線應變分布的影響.研究結果表明：靜水應變分量在中心軸路徑基本不受量子點幾何形狀的影響，始終保持類似有限深勢阱的變化;而當量子線頂端高度系數(shù)減小時，量子線的橫向應變隨之減小，縱向應變逐漸增大;隨著量子線初始失配應變的減小，橫向應變逐漸增大，而縱向應變不斷減小.

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