武文杰，曹淑方

石家莊鐵道大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，河北石家莊 050043

1 問(wèn)題的重述與分析

現(xiàn)有小鎮(zhèn)平面圖一張，圖中方格中的數(shù)字是一年中需要救護(hù)的次數(shù)，圖中有一個(gè)L型障礙和一個(gè)公園障礙。救護(hù)車駛過(guò)每一個(gè)東西向街道要20s，駛過(guò)南北向街道要30s，試確定兩個(gè)救護(hù)站，使總的時(shí)間最少。如圖1所示。

圖1 小鎮(zhèn)平面圖

根據(jù)題意，該鎮(zhèn)所有街區(qū)的需求由A、B兩個(gè)救護(hù)站共同來(lái)滿足，為了盡量縮短響應(yīng)時(shí)間，某街區(qū)一年內(nèi)所有需求由距離它最近的救護(hù)站來(lái)滿足，而不會(huì)舍近求遠(yuǎn)的選擇另一個(gè)救護(hù)站，即可認(rèn)為將該鎮(zhèn)分為兩個(gè)“責(zé)任區(qū)”，分別由A、B來(lái)承擔(dān)。因而我們可以先假設(shè)兩個(gè)救護(hù)站的位置，分析每個(gè)街區(qū)，并判斷該街區(qū)屬于哪個(gè)救護(hù)站的“轄區(qū)”。然后，再考慮兩個(gè)救護(hù)站位置的所有情況，從中找出最優(yōu)值。

模型一：假設(shè)救護(hù)站的位置在街角處，而街區(qū)的需求全部集中在街區(qū)中心。將救護(hù)站的位置以及需要服務(wù)的街區(qū)轉(zhuǎn)化為有限個(gè)離散的點(diǎn)，將二者之間的距離轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離，很顯然，所有救護(hù)站可能的位置是有限個(gè)，且最多有13 791×=個(gè)位置，而救護(hù)站所有可能的位置組合有可能。利用計(jì)算機(jī)程序，通過(guò)有限次的循環(huán)和篩選是可以實(shí)現(xiàn)的。其次，我們可以先假設(shè)救護(hù)站的位置不受障礙物的影響，求出最優(yōu)值之后再進(jìn)行修訂，可以大大減少工作量。通過(guò)求解求出的結(jié)果是（2，2）、（8，4）兩點(diǎn)。而這兩點(diǎn)不受障礙物的影響，即為最優(yōu)值。主要的計(jì)算公式為：

模型二：我們假定需要救護(hù)需求沿各街區(qū)的街道均勻分布，且救護(hù)站仍建立在街角處。街區(qū)出現(xiàn)事故的頻率平均分布在街區(qū)周圍的四條街道上，每條街道發(fā)生事故的頻率與它的長(zhǎng)度成正比，而街道的長(zhǎng)度由每條街道的響應(yīng)時(shí)間來(lái)度量。故可以將街道分為許多長(zhǎng)度微元來(lái)考慮，通過(guò)積分從而求出結(jié)果。我們利用微分的思想

2 模型的假設(shè)

1）兩個(gè)障礙中均不需要應(yīng)急服務(wù)，即其一年內(nèi)的需求次數(shù)為零；2）忽略車輛拐彎和過(guò)十字街口的時(shí)間，僅考慮沿街道運(yùn)行的時(shí)間；3）救護(hù)車不能從街區(qū)中穿過(guò)，只能沿著街道行駛；4）兩個(gè)應(yīng)急設(shè)施在處理緊急事件時(shí)，能力與效率相同，可任選其一；5）救護(hù)車每車次只完成一個(gè)街區(qū)的救護(hù)，即在救護(hù)車返回的途中在進(jìn)行第二次救護(hù)。

3 模型的建立

3.1 模型一

符號(hào)說(shuō)明：

（注：下文均以坐標(biāo)表示相應(yīng)的位置救護(hù)站及街區(qū)）

1）求某一救護(hù)站到某一街區(qū)的響應(yīng)時(shí)間：

比較(i+0.5,j+0.5)到兩救護(hù)站的響應(yīng)時(shí)間 ，確定的所屬轄區(qū)

利用窮舉法求出最優(yōu)值

2）讓Xk1

3）在求出最優(yōu)值的前提下，進(jìn)一步建模求出A、B的“轄區(qū)”范圍：

3.2 模型二

符號(hào)說(shuō)明：

f( s)=a( i, j)c某段街道CD的需求密度函數(shù)

TCD救護(hù)站到CD街道的總響應(yīng)時(shí)間

TCD中點(diǎn)救護(hù)站到CD街道中點(diǎn)的響應(yīng)時(shí)間

在模型二中，我們假定需要救護(hù)需求沿各街區(qū)的街道均勻分布，且救護(hù)站仍建立在街角處。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，我們假象將街道分為兩半，即每條街道屬于兩個(gè)不同的街區(qū)，救護(hù)車會(huì)到達(dá)同一街區(qū)同一點(diǎn)兩次，兩次的響應(yīng)時(shí)間之和該街道該點(diǎn)的實(shí)際響應(yīng)時(shí)間。

某段街道CD的需求密度函數(shù)為：

f( s)=a( i, j)c（c為該街區(qū)的周長(zhǎng)）滿足均勻分布將該街道分為許多微元ds

救護(hù)站到該街道的總響應(yīng)時(shí)間為：

因?yàn)榻值赖男枨竺芏群瘮?shù)為常數(shù)，故可以認(rèn)為該街道的所有需求全部集中到中點(diǎn)處，而其它點(diǎn)的需求為零，該街道總的響應(yīng)時(shí)間不變。

所以有：

當(dāng)CD為南北向街道時(shí)

當(dāng)CD為東西向街道時(shí)

而對(duì)應(yīng)的TCD中點(diǎn)則要分四種情況來(lái)討論,這樣做的目的是方便編程，在循環(huán)過(guò)程中不會(huì)遺漏，也不會(huì)重復(fù)

利用計(jì)算機(jī)對(duì)TCD做循環(huán)，使TCD取遍街道，即出求出最后的最優(yōu)解。

4 模型的求解

4.1 模型一

通過(guò)運(yùn)行程序，可以求得滿足條件的最優(yōu)解是（2，2）、（8，4）兩點(diǎn)。當(dāng)邊界點(diǎn)取到6個(gè)時(shí)，已經(jīng)能確定A、B的轄區(qū)邊界。這 6 個(gè)點(diǎn)是（3，4）、（3，5）、（4，3）、（5，2）、（6，1）、（6，0）下面列表說(shuō)明：

到（2,2）的響應(yīng)時(shí)間 到（8,4）的響應(yīng)時(shí)間（3,4） 110+c 110+c（3,5） 80+c 80+c（4,3） 70+c 60+c（5,2） 60+c 70+c（6,1） 110+c 110+c（6,0） 140+c 140+c

由上表可知，轄區(qū)邊界的劃分方法有2×2×2×2=16種。

4.2 模型二

通過(guò)運(yùn)行程序，可以求得滿足條件的最優(yōu)解是（2，2）、（8，4）兩點(diǎn)。

[1]王學(xué)軍，李靜.Visual Basic 程序設(shè)計(jì)[M].2版.中國(guó)鐵道出版社，2008，1.

[2]孫海珍，劉寶友，劉響林.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].2版.中國(guó)鐵道出版社，2003，1.