函數(shù)零點(diǎn)問題歸類例析

☉江蘇省丹陽市珥陵高級中學(xué) 丁金霞

函數(shù)零點(diǎn)問題歸類例析

☉江蘇省丹陽市珥陵高級中學(xué) 丁金霞

函數(shù)的零點(diǎn)問題是高考的?？碱}型，此類問題的考查主要有4個(gè)方面：（1）零點(diǎn)的求解；（2）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（3）已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)，求參數(shù)的范圍；（4）零點(diǎn)所在的區(qū)間.下面就這幾個(gè)問題的求解方法舉例分析.

一、零點(diǎn)的求解

例1（2012年上海高考）函數(shù)f（x）=4x-2x+1-3的零點(diǎn)是________.

解析：原方程可化為（2x）2-2·2x-3=0，解得2x=3或2x=-1（舍去），故x=log23.

例2（2012年湖北高考）函數(shù)f（x）=xcos2x在區(qū)間［0，2π］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）.

A.2 B.3 C.4 D.5

點(diǎn)評：求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)問題，直接利用f（x）= 0來求解即可.

二、零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的判斷

針對零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，我們通常采用數(shù)形結(jié)合的方法來處理.

又x∈[0，π]時(shí)，0＜f（x）＜1，在R上的函數(shù)f（x）是最小正周期為2π的偶函數(shù)，在同一坐標(biāo)系中作出y=sinx和y=f（x）的圖像如圖1，由圖知y=f（x）-sinx在［-2π，2π］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè).

點(diǎn)評：對于三角函數(shù)的零點(diǎn)問題，一般需要規(guī)定自變量的取值范圍；圖形的引入使函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題的求解更加直觀明了.

三、已知零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍

例5 已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=2ax2+2x-3-a，如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［-1，1］上有零點(diǎn)，求a的取值范圍.

點(diǎn)評：本試題主要考查了函數(shù)的圖像及其性質(zhì)，利用函數(shù)圖像確定兩函數(shù)的交點(diǎn)，從而確定參數(shù)的取值范圍.

四、零點(diǎn)所在的區(qū)間

對于零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷，一般是利用二分法原理：函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上存在零點(diǎn)的充分條件是f（a）f（b）＜0.

點(diǎn)評：注意f（a）f（b）＜0只是f（x）在區(qū)間（a，b）上存在零點(diǎn)的充分非必要條件.FH