程院兵，張衛(wèi)，顧紅，蘇衛(wèi)民

(南京理工大學 電子工程與光電技術學院，江蘇 南京210094)

0 引言

近年來，噪聲連續(xù)波雷達(Noise Continuous Wave Radar，NCWR)被廣泛研究應用于搜索雷達、合成孔徑雷達(SAR)、逆合成孔徑雷達(ISAR)、防撞雷達、穿地探測雷達和穿墻成像雷達等諸多領域［1－5］。NCWR 具有圖釘形模糊函數，使其具有無測距測速模糊、良好的距離速度分辨率和精度等優(yōu)點［6］。另外，NCWR 的低截獲概率(LPI)、低截獲識別概率(LPID)和良好的電子反對抗能力(ECCM)使其在復雜的電子戰(zhàn)環(huán)境中更具優(yōu)勢［7］。

然而，噪聲連續(xù)波雷達信號屬于多普勒敏感信號，使其應用受到限制，因此定量描述NCWR 脈壓輸出主旁瓣比與脈壓長度、多普勒頻率和回波信噪比等參數的關系，對NCWR 參數選取、旁瓣抑制及多普勒容限擴展等均具有重要指導意義。一些學者對NCWR 脈壓輸出旁瓣特性進行了研究［8－9］。文獻［8］指出對于靜止目標，脈壓輸出主瓣均方旁瓣比等于脈壓長度，但沒有給出其與多普勒頻率的關系;文獻［9］通過統(tǒng)計方法指出對于靜止目標，脈壓輸出主瓣峰值旁瓣比隨脈壓長度的增加而增加，但沒有給出定量關系。本文在考慮多普勒頻率和回波信噪比情況下，通過對脈壓輸出旁瓣的概率分布和二階統(tǒng)計量分析，推導了NCWR 脈壓輸出主瓣均方旁瓣比和主瓣峰值旁瓣比的數學表達式。對影響主瓣均方旁瓣比和主瓣峰值旁瓣比的參數進行了分析和討論。由于發(fā)射信號本身為隨機信號，所以脈壓輸出主瓣均方旁瓣比和主瓣峰值旁瓣比實際上是統(tǒng)計值，分別稱之為統(tǒng)計主瓣均方旁瓣比(Statistical Mainlobe to Mean Square Sidelobe Ratio，SMMSSR)和統(tǒng)計主瓣峰值旁瓣比(Statistical Mainlobe to Peak Sidelobe Ratio，SMPSR)。計算機蒙特卡羅實驗結果與理論推導結果能夠很好的吻合，驗證了本文結論的正確性。

1 信號模型及脈壓處理

噪聲連續(xù)波雷達發(fā)射信號s(t)表示為

式中:u(t)=x(t)+jy(t)為信號復包絡，x(t)和y(t)是服從均值為0，方差為σ2的窄帶高斯白噪聲，且x(t)與y(t)不相關;f0為發(fā)射信號載頻;θ0為固定初始相位。

假設存在延時為T，多普勒頻率為fd的單個點目標，其回波表達式為

將發(fā)射信號s(t)延時Tref作為參考信號，表示為

回波信號與參考信號相關輸出表示為

式中:τ =Tref－T;θ1=2πf0τ 為固定相位;* 表示共軛運算;Tint為相關處理時間，須滿足vTint≤c/(2B)，其中v 為目標徑向速度;B 為發(fā)射信號帶寬;c 為光速。假設式(4)中相位項exp(j2πfdt +jθ1)在某一較小時間間隔ΔTint內變化較小，將相關處理時間Tint劃分為M 個連續(xù)的時長為ΔTint的片段，分別對每個片段進行脈壓，然后再對M 次脈壓結果沿同一距離單元做離散傅里葉變換(DFT)可得到距離－多普勒二維處理結果。這兒我們只研究其中一個片段脈壓輸出的統(tǒng)計特性，其脈壓處理框圖如圖1所示。將采樣得到的時長為Tint的基帶回波序列作為一幀數據，考慮對第l 幀回波中第m 個片段進行脈壓，寫成離散形式

式中:pml=(l－1)NM +(m－1)N 為第l 幀回波中第m 個數據片段的起始位置;l=1，2，…為幀數據的索引;m =1，2，…M 為一幀回波中進行脈壓處理的數據片段的索引;ts=1/B 為采樣間隔;N =BΔTint為脈壓長度;k=0，1，…K－1 為相對延時τ 關于采樣間隔為單位劃分的距離單元數，K 為需要觀測的距離單元數;θ2=2πfdpmlts+θ1為第l 幀回波數據中第m 個片段的初始相位。

圖1 噪聲連續(xù)波雷達脈壓處理框圖Fig.1 Block diagram of pulse compression for NCWR

2 脈壓輸出統(tǒng)計主瓣均方旁瓣比推導

下面在式(5)的基礎上推導脈壓輸出統(tǒng)計主瓣均方旁瓣比的數學表達式。當k=0 時，Rml(k)為脈壓輸出峰值，用Vp表示。由于u(n)是一復隨機序列，所以Vp是一統(tǒng)計值。當N?1 時，Vp等于其均值，表示為

式中:E(·)表示取均值。當k≠0 時，Rml(k)為脈壓輸出旁瓣，其均值為0，方差為

上式僅當n=n'時不為0，此時式(7)可改寫為

則脈壓輸出統(tǒng)計主瓣均方旁瓣比(SMMSSR)可表示為

下面對考慮回波噪聲情況下的SMMSSR 進行分析，此時式(5)可寫為

式中:ε(n)=ε1(n)+jε2(n)為復加性噪聲，ε1(n)和ε2(n)為服從均值0，方差為σ2n的高斯白噪聲，且x(n)、y(n)、ε1(n)和ε2(n)之間均互不相關。此時脈壓輸出峰值為

脈壓輸出旁瓣均值為0，類似式(7)到式(8)推導可得其方差為

由式(11)和式(12)可以看出多普勒頻率僅影響脈壓輸出峰值，回波噪聲僅影響旁瓣功率，使旁瓣基底抬高。最后，得到噪聲連續(xù)波雷達脈壓輸出統(tǒng)計主瓣均方旁瓣比可表示為

式中:SNR=σ2/σ2n為回波信噪比。由上式可以看出統(tǒng)計主瓣均方旁瓣比與脈壓長度、回波信噪比和多普勒頻率與采樣間隔的乘積有關，與回波固定相位和目標延時無關(即，與m，l 和τ 無關)。特別的，對于靜止目標，在不考慮回波加性噪聲情況下，統(tǒng)計主瓣均方旁瓣比等于脈壓長度，與文獻［8］結論一致。

3 脈壓輸出統(tǒng)計主瓣峰值旁瓣比推導

根據式(10)，脈壓輸出旁瓣可表示為

式中:k≠0.可將Rml1(k)看作是一個噪聲序列通過一個窄帶FIR 濾波器的輸出，滿足“寬帶輸入窄帶輸出”過程，則Rml1(k)的實部和虛部均服從正態(tài)分布［10］?？蓪ml2(k)看作高斯信號序列ε(n)通過系數為序列u(pml+n)的共軛倒置的線性濾波器的輸出，則Rml2(k)的實部和虛部均服從正態(tài)分布［11］。因此，脈壓輸出旁瓣的實部和虛部均服從正態(tài)分布。用序列S 表示式(14)，寫成S =Sr+j Si，其中Sr和Si分別為S 的實部和虛部，均服從正態(tài)分布，其表達式為Sr=Re［Rml(k)］和Si=Im［Rml(k)］.由式(5)可得Sr和Si的均值均為0，方差均等于=2N(σ4+σ2σ2n)，則均服從標準正態(tài)分布，其中Sr和Si分別為Sr和Si的元素。令z =|S|2/σ2hs，S 為序列S 的任一元素，則可知z 服從自由度為2 的χ2分布，其概率密度為

圖2給出了在脈壓長度N =1 000，觀測距離單元數K=5 000，目標延遲距離單元數r=160，回波信噪比SNR=0 dB，多普勒頻率fd=1/(10Nts)，仿真信號是均值為0，方差σ2=10，帶寬B =50 MHz 的平穩(wěn)高斯白噪聲條件下，脈壓輸出旁瓣的概率密度直方圖。圖中直方圖進行了歸一化處理，使其具有單位面積。假設z 的峰值zp僅出現(xiàn)在K－1 個距離旁瓣單元中的一個，其概率密度為1/(K－1)，則有

由上式可得zp=2ln［(K－1)/2］，則脈壓輸出峰值旁瓣電平|Sp|為

結合式(11)和式(17)得到統(tǒng)計主瓣峰值旁瓣比(SMPSR)表達式為

從上式可以看出統(tǒng)計主瓣峰值旁瓣比與脈壓長度、回波信噪比、多普勒頻率與采樣間隔的乘積和觀測距離單元數有關，與回波固定相位和目標延時無關(即，與m，l 和τ 無關)。特別的，對于靜止目標，在不考慮回波加性噪聲情況下，統(tǒng)計主瓣峰值旁瓣比等于N/ln［(K－1)/2］，當觀測距離單元K 固定時，SMPSR 隨脈壓長度N 的增加而增加，與文獻［9］結論一致。下面討論觀測距離單元數K 的取值范圍，一般我們認為統(tǒng)計主瓣峰值旁瓣比小于統(tǒng)計主瓣均方旁瓣比，根據式(13)和式(18)可得

式中:「·?表示向上取整。上式為觀測距離單元數K 的下界，但為了保證足夠的觀測距離單元樣本數，一般要求K ?1.假設要求SMPSR 的門限值為α(dB)，令須有SMPSR ＞β，可得

4 仿真結果與分析

本節(jié)通過計算機仿真驗證式(13)和式(18)的正確性，脈壓處理采用延時相關處理方法［5，8－10］，其流程框圖如圖1所示，將參考信號按距離單元逐個延時后分別與回波信號做相乘累加處理，即可得到每個距離單元的脈壓結果。通過4 個仿真實驗分別驗證SMMSSR 和SMPSR 與脈壓長度、多普勒頻率、回波信噪比和觀測距離單元數的關系。仿真信號是均值為0，方差σ2=10 的平穩(wěn)復高斯白噪聲，帶寬B=50 MHz，采樣間隔ts=1/B，單個點目標延遲距離單元數r=160，對第一幀回波數據的第一個片段進行脈壓，即l=m=1.

實驗1:圖3給出了在不考慮回波加性噪聲，多普勒頻率fd=0，觀測距離單元數K =1 000 情況下，SMMSSR 和SMPSR 與脈壓長度的曲線關系。脈壓長度N 的取值為N =10，20，40，80，…，20 480，進行了1 000 次蒙特卡羅實驗。從圖3可以看出，仿真結果與理論結果能很好的吻合。SMMSSR 誤差小于0.3 dB，SMPSR 誤差小于1 dB;SMMSSR 和SMPSR均隨著脈壓長度的增加線性增加，SMMSSR 近似等于N，SMPSR 近似等于N/ln［(K－1)/2］.因此，可通過增加脈壓長度提高脈壓輸出主旁瓣比，且對相同的脈壓長度，SMMSSR 比SMPSR 高8 dB，近似等于ln［(K－1)/2］.

實驗2:圖4給出了在不考慮回波加性噪聲，脈壓長度N =1 000，觀測距離單元數K =1 000 情況下，SMMSSR 和SMPSR 與歸一化多普勒頻率的曲線關系。最大多普勒頻率fdmax為1/(2Nts)的1.9 倍，多普勒頻率從0 到fdmax之間以0.05fdmax的步長增加，進行了1 000 次蒙特卡羅實驗。從圖4可以看出，仿真結果與理論結果能很好的吻合。SMMSSR誤差小于0.3 dB，SMPSR 誤差小于1 dB;隨著多普勒頻率的增大，主峰減小，從而使SMMSSR 與SMPSR 均減小。當歸一化多普勒頻率為0.47 時，SMMSSR 與SMPSR 均比多普勒為0 時降低了3 dB;當歸一化多普勒頻率增大到0.97 時，脈壓輸出主峰被峰值旁瓣淹沒，不能檢測到目標。另外，相比偽碼調相連續(xù)波雷達［10］，NCWR 的多普勒敏感性有所改善。

圖3 統(tǒng)計主瓣均方旁瓣比和統(tǒng)計主瓣峰值旁瓣比與脈壓長度的關系Fig.3 The SMMSSR and SMPSR vs.N

實驗3:圖5給出了在多普勒頻率fd=0，脈壓長度N =1 000，觀測距離單元數K =1 000 情況下，SMMSSR 和SMPSR 與回波信噪比的曲線關系?；夭ㄐ旁氡葟模?0 dB 到30 dB 之間以2 dB 的步長增加，進行了1 000 次蒙特卡羅實驗。從圖5可以看出，當信噪比低于－22 dB 時，SMMSSR 的仿真結果與理論出現(xiàn)較大偏差，脈壓輸出主峰被峰值旁瓣淹沒，不能檢測到目標;當信噪比大于－22 dB 時，仿真結果與理論結果能很好的吻合，SMMSSR 誤差小于0.3 dB，SMPSR 誤差小于1 dB.隨著信噪比的增加，SMMSSR 和SMPSR 均增加。當信噪比大于－20 dB小于0 dB 時，SMMSSR 和SMPSR 與信噪比為線性增加關系;當信噪比大于10 dB 時，SMMSSR和SMPSR 分別達到各自的穩(wěn)定值，近似等于無加性噪聲時的值，此時可認為回波噪聲對SMMSSR 和SMPSR 幾乎沒有影響，旁瓣主要取決于發(fā)射信號脈壓后的自身雜波。

圖4 統(tǒng)計主瓣均方旁瓣比和統(tǒng)計主瓣峰值旁瓣比與歸一化多普勒頻率的關系Fig.4 The SMMSSR and SMPSR vs.fd/fdmax

實驗4:表1給出了在多普勒頻率fd= 1/(10Nts)，SNR=0 dB，脈壓長度N=1 000，觀測距離單元數K =300，3 000，30 000 情況下，SMMSSR 和SMPSR 的值。進行了1 000 次蒙特卡羅實驗。從表1可以看出，仿真結果與理論結果能很好的吻合，SMMSSR 誤差小于0.3 dB，SMPSR 誤差小于1 dB，觀測距離單元數對SMMSSR 幾乎沒有影響。K =30 000時的SMPSR 比K =300 時小了約2.7 dB，與式(18)中SMPSR 隨著K 的增加以對數形式緩慢減小相一致。同時需要指出NCWR 的觀測距離單元數只受式(20)的限制，脈壓輸出不存在距離模糊，較大的觀測距離單元數會增加峰值旁瓣電平，從而增加虛警概率。

圖5 統(tǒng)計主瓣均方旁瓣比和統(tǒng)計主瓣峰值旁瓣比與回波信噪比的關系Fig.5 The SMMSSR and SMPSR vs.SNR

表1 統(tǒng)計主瓣均方旁瓣比和統(tǒng)計主瓣峰值旁瓣比與觀測距離單元數的關系Tab.1 The SMMSSR and SMPSR vs.K

5 結論

本文在考慮多普勒頻率和回波噪聲情況下，通過對噪聲連續(xù)波雷達脈壓輸出旁瓣的概率分布和二階統(tǒng)計量分析，推導了噪聲連續(xù)波雷達脈壓輸出統(tǒng)計主瓣均方旁瓣比和統(tǒng)計主瓣峰值旁瓣比的數學表達式，為定量分析噪聲連續(xù)波雷達脈壓輸出主旁瓣比與脈壓長度、多普勒頻率和回波信噪比等參數的關系提供了理論依據，這對噪聲連續(xù)波雷達參數選取、旁瓣抑制及多普勒容限擴展等問題的研究具有重要的指導意義和參考價值。計算機蒙特卡羅實驗結果與理論推導結果式(13)和式(18)能很好的吻合，驗證了本文結論的正確性。

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