宋允東，王永芳,2，商習(xí)武，張兆楊,2

（1.上海大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院，上海 200072；2.新型顯示技術(shù)及應(yīng)用集成教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200072）

當(dāng)今信息社會(huì)，海量數(shù)據(jù)加劇了信息處理、傳輸以及存儲(chǔ)的難度。在信息的獲取上，采集到的數(shù)據(jù)量并不一定都是必需的，能不能直接采集少量的必需數(shù)據(jù)來(lái)表示原來(lái)的信息呢？此外，數(shù)據(jù)量的增大對(duì)硬件設(shè)備的要求徒然提高，迫使需要轉(zhuǎn)換思路去解決問(wèn)題，壓縮感知正是在這種背景下應(yīng)運(yùn)而生。

壓縮感知（Compressive Sensing，CS）最早是由Donoho等人在2006年正式提出的一種新數(shù)學(xué)方法[1]，廣泛地應(yīng)用于信號(hào)處理領(lǐng)域，引起了國(guó)內(nèi)外科學(xué)界的高度關(guān)注。傳統(tǒng)的信號(hào)采樣是在奈奎斯特采樣定理的規(guī)則下進(jìn)行的，信號(hào)帶寬的增大使得兩倍以上信號(hào)帶寬的采樣頻率變得越發(fā)困難。壓縮感知指出可以以低于奈奎斯特帶寬的頻率進(jìn)行采樣，并且能夠精確地重建原始信號(hào)。

目前國(guó)內(nèi)外把壓縮感知應(yīng)用于圖像編碼的研究已經(jīng)有了相當(dāng)?shù)倪M(jìn)展。文獻(xiàn)[2]提出了圖像采用分塊2D-DCT的CS比1D-DCT的CS在減少?gòu)?fù)雜度的基礎(chǔ)上能更好地重建原始信息。文獻(xiàn)[3]提出了新的觀測(cè)矩陣CHT，實(shí)驗(yàn)證明此方法可用更少的測(cè)量數(shù)來(lái)重建信號(hào)。文獻(xiàn)[4]提出對(duì)基于CS分塊的DWT進(jìn)行OMP重建，與整幅圖像相比不但降低重建復(fù)雜度，而且減少所需內(nèi)存空間。

本文在分析壓縮感知基本原理的基礎(chǔ)上，提出了對(duì)DCT系數(shù)進(jìn)行JND（Just Noticeable Distortion）預(yù)處理以增加其稀疏性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基于JND的CS圖像編碼減少CS的重建時(shí)間，提高圖像的重建質(zhì)量，并且對(duì)加性噪聲具有很好的穩(wěn)健性。

1 基于JND的CS圖像編碼

1.1 壓縮感知概論

壓縮感知理論基本思想是只要信號(hào)在某一個(gè)正交空間具有稀疏性，就可以用一個(gè)與變換基不相關(guān)的觀測(cè)矩陣把高維信號(hào)投影在低維空間，然后通過(guò)求解最優(yōu)化問(wèn)題從少量投影中以高概率重構(gòu)原信號(hào)。壓縮感知理論包括3個(gè)核心問(wèn)題[1,5]：信號(hào)稀疏性變換、觀測(cè)矩陣設(shè)計(jì)以及重建算法。首先，信號(hào)X∈RN在某個(gè)正交基或緊框架ψ上是稀疏的（變換系數(shù)Θ=ψTX，Θ是ψ的等價(jià)或逼近稀疏表示）；然后，設(shè)計(jì)一個(gè)平穩(wěn)的與變換基ψ不相關(guān)的M×N維的觀測(cè)矩陣Ф，對(duì)Θ進(jìn)行觀測(cè)得到觀測(cè)集合Y=ФΘ=ФψTX；最后，通過(guò)利用L0范數(shù)意義下的優(yōu)化問(wèn)題求解X的精確或近似逼近。國(guó)內(nèi)外專家對(duì)CS理論的研究主要是針對(duì)以上3個(gè)核心內(nèi)容展開的。

1）稀疏性

信號(hào)的稀疏性是應(yīng)用壓縮感知理論的前提條件。自然界中的大多數(shù)信號(hào)很難滿足稀疏性，但是可以采用某個(gè)變換基使其成為稀疏的表示，也就是其滿足可壓縮性，這種信號(hào)同樣可以適用于壓縮感知理論。常見的稀疏變換基有DCT變換基、DWT變換基、離散傅里葉變換基、Walsh變換基等。

2）觀測(cè)矩陣

觀測(cè)矩陣是觀測(cè)向量獲取和信號(hào)重建的關(guān)鍵，觀測(cè)矩陣的性能不僅對(duì)信號(hào)的壓縮和采樣過(guò)程有著重要的影響。觀測(cè)矩陣的設(shè)計(jì)通常建立在約束等距性理論（Restricted Isometry Principle，RIP）[6]基礎(chǔ)上，其等價(jià)條件是觀測(cè)矩陣Ф和稀疏基ψ不相關(guān)，在RIP指導(dǎo)下，目前常用的觀測(cè)矩陣分為隨機(jī)觀測(cè)矩陣和確定性觀測(cè)矩陣。常用的隨機(jī)觀測(cè)矩陣如高斯隨機(jī)觀測(cè)矩陣、傅里葉隨機(jī)觀測(cè)矩陣、貝努利觀測(cè)矩陣等。其優(yōu)點(diǎn)在于它幾乎與任意稀疏信號(hào)都不相關(guān)，因而所需的觀測(cè)次數(shù)最少，且能較好地重建原始信號(hào)，但其缺點(diǎn)是占有大量存儲(chǔ)空間，且計(jì)算復(fù)雜度較高，難以在硬件中實(shí)現(xiàn)。

3）重建算法

在一定程度上，壓縮感知的重建算法就是求一個(gè)欠定方程的解，即從一個(gè)低維的采集數(shù)據(jù)中重建出高維的原始信號(hào)。重建質(zhì)量的好壞也直接影響著壓縮感知能否從理論研究走向?qū)嶋H的應(yīng)用。重建是一個(gè)非線性過(guò)程，必須要找到信號(hào)的最稀疏系數(shù)[5]，即解決一個(gè)最小L0范數(shù)問(wèn)題[7]。目前正交匹配追蹤（Orthogonal MP，OMP）[8]算法研究廣泛。

1.2 JND模型

JND是基于心理學(xué)和生理學(xué)最小可察覺失真的視覺冗余表征模型，能夠很好地描述人眼的視覺敏感特性。它通過(guò)設(shè)置一個(gè)閾值屏蔽掉人的視覺不能察覺到的噪聲變化，從而達(dá)到去除視覺冗余的目的。在圖像和視頻的預(yù)處理、碼流控制、自適應(yīng)量化以及運(yùn)動(dòng)估計(jì)中都可以得到廣泛的應(yīng)用，精確的JND模型對(duì)于改善圖像視頻的編碼復(fù)雜度有著至關(guān)重要的作用。

JND模型主要有3種：基于像素域的JND模型、基于DCT域的JND模型和基于DWT的JND模型。目前基于DCT變換的JND模型得到了廣泛研究。然而，由于目前還沒有完全掌握人類視覺系統(tǒng)的特性，JND模型不能與人言特性完全吻合，精確度有待提高。本文是在文獻(xiàn)[9]的基礎(chǔ)上融合壓縮感知進(jìn)行圖像編碼，取得了顯著效果。

1.3 基于JND的CS圖像編碼

1.3.1 CS的稀疏性分析

從壓縮感知原理中得知，信號(hào)的稀疏性對(duì)信號(hào)的重建具有決定性的意義。隨著信號(hào)稀疏性增大，信號(hào)的解碼復(fù)雜度會(huì)降低，重建效果有一定的提高。本文采用分塊DCT變換作為稀疏基。

引入JND模型對(duì)圖像DCT變換的系數(shù)進(jìn)一步稀疏化。采用JND模型對(duì)7個(gè)測(cè)試圖像的DCT系數(shù)進(jìn)行濾波處理，對(duì)低于JND閾值的DCT系數(shù)置零處理，如表1可以看出，經(jīng)過(guò)JND處理后的系數(shù)出現(xiàn)很多的零，信號(hào)變得更稀疏了。這也表明在不影響主觀質(zhì)量的基礎(chǔ)下，增加了DCT系數(shù)的稀疏性。

表1 DCT系數(shù)變化表

1.3.2 基于JND的CS圖像編碼

本文在分析CS圖像編碼和JND模型的各自特點(diǎn)后，提出了在原有CS圖像編碼重建中嵌入JND模型的方法，通過(guò)對(duì)DCT系數(shù)進(jìn)行JND預(yù)處理來(lái)增加DCT零系數(shù)的數(shù)量。鑒于分塊DCT變換可以減少存儲(chǔ)空間，提高圖像重構(gòu)質(zhì)量，提出采用分塊變換的編碼方法，其框圖如圖1所示。

圖1 基于JND的CS編解碼框圖

具體的編碼步驟如下：

1）對(duì)信號(hào)進(jìn)行稀疏變換，采用分塊DCT變換，通過(guò)DCT變換可得到K稀疏的圖像信號(hào)；

2）采用DCT域的JND對(duì)DCT系數(shù)進(jìn)行預(yù)處理；

3）產(chǎn)生一M×N（M

4）采用OMP重建算法對(duì)DCT系數(shù)進(jìn)行重建；

5）對(duì)重建的DCT信號(hào)進(jìn)行分塊DCT反變換，這就得到了原始圖像信號(hào)。

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

2.1 基于JND的CS性能仿真

本實(shí)驗(yàn)中選取128×128的測(cè)試圖像Lena，Organ，F(xiàn)oreman，Cameraman。將提出的算法與文獻(xiàn)[10]作比較，對(duì)比圖像的重建效果和運(yùn)算復(fù)雜度。本文采用隨機(jī)矩陣作為觀測(cè)矩陣，每一次重建結(jié)果會(huì)有可允許的變化（±2%）。

表2給出了有無(wú)JND處理的壓縮感知圖像重建時(shí)間和圖像的PSNR的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。由表2可以明顯看到加入JND后，同樣的觀測(cè)數(shù)下壓縮感知的OMP重建時(shí)間平均提高50%以上，也就是復(fù)雜度相應(yīng)地減小了一半多；隨著觀測(cè)數(shù)的增多，圖像重建時(shí)間的減少幅度也增大。當(dāng)觀測(cè)數(shù)M小于90時(shí)，重建圖像的PSNR有所增大；然而隨著觀測(cè)數(shù)M進(jìn)一步增大，由于JND模型對(duì)人眼不敏感信息的濾除，重建圖像的PSNR也不再提高，甚至有所下降，但圖像的主觀質(zhì)量相當(dāng)。

表2 有無(wú)JND處理的實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

此外，對(duì)不同類型的測(cè)試圖像可以看到對(duì)于細(xì)節(jié)變化緩慢的Organ圖像，PSNR提高的幅度顯著增大，這進(jìn)一步證明了壓縮感知在細(xì)節(jié)緩慢變化圖像如MRI的巨大應(yīng)用價(jià)值。分析以上實(shí)驗(yàn)的結(jié)論，還是要回歸到壓縮感知的本質(zhì)上，正是由于JND閾值的引入，使得圖像的DCT稀疏性大大增強(qiáng)，這使得其在重建時(shí)間和效果上有了相應(yīng)提高。圖2a和圖3a為本文方法的重建圖像，圖2b和圖3b是文獻(xiàn)[10]方法的重建圖像。由圖表明采用本文方法的CS重建圖像，在相同的觀測(cè)下，主觀效果優(yōu)于文獻(xiàn)[10]方法的重建效果。

2.2 基于JND的CS的穩(wěn)健性仿真

根據(jù)壓縮感知的原理，測(cè)量后的任何一個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)在重建原始數(shù)據(jù)上的貢獻(xiàn)相同，這就決定了少數(shù)數(shù)據(jù)的丟失損壞不會(huì)影響最終的重建效果。這一特性使信號(hào)在面對(duì)加性噪聲的干擾時(shí)，能夠有好的穩(wěn)健性，不失真地重建出原始圖像。

在上述實(shí)驗(yàn)平臺(tái)下，基于JND的CS圖像編碼對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)引入不同的加性噪聲。表3給出了數(shù)據(jù)對(duì)比，在兩種不同信噪比的噪聲下，重建圖像的PSNR只有略微的降低。通過(guò)圖4和圖5可以看到，在觀測(cè)數(shù)據(jù)加入10 dB加性噪聲時(shí)重建圖像的主觀質(zhì)量并沒有下降。

通過(guò)實(shí)驗(yàn)可驗(yàn)證加入加性噪聲對(duì)圖像的效果影響不大，加之考慮到隨機(jī)測(cè)量矩陣隨機(jī)性影響的誤差，可以得出壓縮感知具有很好的編碼穩(wěn)健性。

表3 有無(wú)噪聲的重建效果對(duì)比

圖4 Lena本文算法重建圖（M=80)

圖5 Organ本文算法重建圖（M=80)

3 結(jié)論

本文在對(duì)壓縮感知原理分析探索的基礎(chǔ)上，提出了用JND模型來(lái)稀疏DCT系數(shù)的算法，實(shí)驗(yàn)證明基于JND的CS可以降低重建算法復(fù)雜度，同時(shí)有很好的穩(wěn)健性。綜上所述，在JND壓縮感知框架下的圖像編碼方法是一個(gè)新的課題，值得深入地探討。未來(lái)還需要研究適應(yīng)于JND模型下的測(cè)量矩陣，以及進(jìn)一步降低復(fù)雜度的重建算法，使此方法向?qū)崟r(shí)應(yīng)用發(fā)展。

[1]DONOHO D L.Compressed sensing[J].IEEE Trans.Information Theory，2006，52（4）：1289-1306.

[2]BAI Huihui，WANG Anhong，ZHANG Mengmeng.Compressive sensing for DCT image[C]//Proc.2010 International Conference on Computational Aspects of Social Networks.[S.l.]：IEEE Press，2010：378-381.

[3]KUMAR N R，XIANG Wei，SOAR J.A novel image compressive sensing method based on complex measurements[C]//Proc.2011 International Conference on Digital Image Computing Techniques and Applications.[S.l.]：IEEE Press，2011：175-179.

[4]SERMWUTHISARN P，AUETHAVEKIAT S，PATANAVIJIT V.A fast image recovery using compressive sensing technique with block based orthogonal matching pursuit[C]//Proc.2009 International Symposium on Intelligent Signal Processing and Communication Systems.[S.l.]：IEEE Press，2009：212-215.

[5]TRALIC D，GRGIC S.Signal reconstruction via compressive sensing[C]//Proc.ELMAR.[S.l.]：IEEE Press，2011：5-9.

[6]CANDES E J，TAO T.Decoding by linear programming[J].IEEE Trans.Information Theory，2005，51（2）：4203-4215.

[7]CANDES E J，ROMBERG J，TAO T.Robust uncertainty principles:exact signal reconstruction from highly incomplete frequency information[J].IEEE Trans.Information Theory，2006，52（2）：489-509.

[8]TROPP J，GILBERT A.Signal recovery from partial information via orthogonal matching pursuit[J].IEEE Trans.Information Theory，2007，53（12）：4655-4666.

[9]WEI Z，NGAN K N.Spatio-temporal just noticeable distortion profile for grey scale image/video in DCT domain[J].IEEE Trans.Circuits and Systems for Video Technology，2009，19（3）：337-346.

[10]SHEN Mingxin，LIU Wenbo.Image reconstruction technique based on the compressed sensing theory[J].Electronic Science and Technology，2011，24（3）：9-12.