劉月榮

（邗江中學(xué) 江蘇 揚(yáng)州 225009）

帶電粒子在磁場(chǎng)中臨界問題中大概分為兩類基本問題，一類問題是射進(jìn)磁場(chǎng)的粒子速度方向相同造成的臨界問題；另一類是射進(jìn)磁場(chǎng)的粒子的速度大小相同造成的臨界問題．對(duì)于這些兩種問題可以利用“動(dòng)態(tài)圓”—— 即改變圓半徑的大小或改變圓的位置，從而找出臨界點(diǎn)，進(jìn)一步得出結(jié)論．下面就一些實(shí)例對(duì)“動(dòng)態(tài)圓”應(yīng)用作一些詳解．

類型一：射進(jìn)磁場(chǎng)的粒子速度方向相同而速度大小不同造成粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界問題——畫出“動(dòng)態(tài)圓”，改變圓半徑的大小找出臨界條件．

【例1】如圖1所示，真空中狹長(zhǎng)區(qū)域的勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里，寬度為d，速度為v的電子從邊界CD外側(cè)垂直射入磁場(chǎng)，入射方向與CD夾角為θ，電子的質(zhì)量為m、電荷量為q，為使電子從磁場(chǎng)另一側(cè)邊界EF射出，求電子的速度v應(yīng)為多大．（不計(jì)電子的重力）

圖1

解析：所有電子射進(jìn)磁場(chǎng)時(shí)速度方向與磁場(chǎng)的CD邊成θ角，但粒子的速度大小不同，故粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的圓軌跡的半徑不同．改變粒子運(yùn)動(dòng)的半徑，畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡 —— 與入射速度相切的“動(dòng)態(tài)圓”，如圖1所示．可以看到隨著粒子運(yùn)動(dòng)速度的增大，粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡將會(huì)從EF射出．若要使粒子從EF射出，則臨界條件應(yīng)取粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡與EF相切．設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)的半徑為R，則

（1）已知這些離子中的離子甲到達(dá)磁場(chǎng)邊界EG后，從邊界EF穿出磁場(chǎng)，求離子甲的質(zhì)量．

（2）已知這些離子中的離子乙從EG邊上的I點(diǎn)

由相應(yīng)的幾何知識(shí)可知

由以上各式得

【例2】（2010年高考全國Ⅱ卷第26題）圖2中左邊有一對(duì)平行金屬板，兩板相距為d，電壓為U；兩板之間有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)應(yīng)強(qiáng)度大小為B0，方向平行于板面并垂直于紙面向里．圖中右邊有一邊長(zhǎng)為a的正三角形區(qū)域EFG（EF邊與金屬板垂直），在此區(qū)域內(nèi)及其邊界上也有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向里．假設(shè)一系列電荷量為q的正離子沿平行于金屬板面，垂直于磁場(chǎng)的方向射入金屬板之間，沿同一方向射出金屬板之間的區(qū)域，并經(jīng)EF邊中點(diǎn)H 射入磁場(chǎng)區(qū)域．不計(jì)重力．（圖中未畫出）穿出磁場(chǎng)，且GI長(zhǎng)為，求離子乙的質(zhì)量．

圖2

（3）若這些離子中的最輕離子的質(zhì)量等于離子甲質(zhì)量的一半，而離子乙的質(zhì)量是最大的，問磁場(chǎng)邊界上什么區(qū)域內(nèi)可能有離子到達(dá)．

解析：（1）已知離子沿平行金屬板做直線運(yùn)動(dòng)，故離子所受電場(chǎng)力和洛倫茲力平衡，得

由于離子都是垂直EF邊界進(jìn)入磁場(chǎng)，但由于離子運(yùn)動(dòng)半徑無法確定，因此可以改變離子運(yùn)動(dòng)的半徑，畫出與離子速度相切的系列“動(dòng)態(tài)圓”——離子的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖2所示．發(fā)現(xiàn)離子若要到達(dá)EG并從EF邊界射出，則離子運(yùn)動(dòng)的軌跡圓應(yīng)與EG相切于K點(diǎn)，由幾何關(guān)系得．設(shè)離子運(yùn)動(dòng)的半徑為R，則qv B＝，得．故得甲離子的質(zhì)量為?

得離子乙的質(zhì)量為

類型二：射進(jìn)磁場(chǎng)的粒子的速度大小相同而方向不同造成粒子在磁場(chǎng)中的臨界問題——利用“動(dòng)態(tài)圓”，改變圓的位置，找出臨界條件．

【例3】半徑r＝10 cm的圓形區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其邊界跟y軸在坐標(biāo)原點(diǎn)O處相切；磁場(chǎng)B＝0．33 T垂直于紙面向內(nèi)，如圖3所示．在O處有一放射源S可沿紙面向各個(gè)方向射出速率均為v＝3．2×106m／s的α粒子；已知α粒子質(zhì)量為m＝6．6×10－27kg，電荷量q＝3．2×10－19C，則α粒子通過磁場(chǎng)空間的最大偏轉(zhuǎn)角θ及在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間t各多少．

圖3

（1）速度大??；

（2）速度方向與y軸正方向夾角正弦．

圖4

解析：由于粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度大小均相同，故粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑均相同．粒子進(jìn)磁場(chǎng)的速度方向不同，因此畫出半徑大小相同、但位置不同的“動(dòng)態(tài)圓”，可從“動(dòng)態(tài)圓”與磁場(chǎng)的交點(diǎn)看出，軌跡對(duì)應(yīng)的弦越長(zhǎng)，則圓心角越大，粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間越長(zhǎng)．故當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與磁場(chǎng)上邊界相切時(shí)，弦最長(zhǎng)，圓心角最大，時(shí)間最長(zhǎng)，最后離開磁場(chǎng)，且時(shí)間為運(yùn)動(dòng)周期的，故

得

通過以上實(shí)例對(duì)“動(dòng)態(tài)圓”應(yīng)用的例解，使學(xué)生對(duì)此類問題會(huì)有很好的把握，提高他們的應(yīng)變能力．