考慮軸向力及附加質(zhì)量的諧振音叉建模及仿真

郭占社， 宋春苗， 鄭仕學(xué)

（1. 北京航空航天大學(xué)儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，北京 100191；2. 重慶嘉陵華光光電科技有限公司，重慶 400700）

諧振式MEMS傳感器由于具有輸出諧振頻率信號(hào)，易于實(shí)現(xiàn)與計(jì)算機(jī)的數(shù)字接口且在傳輸時(shí)不易失真，已成為MEMS領(lǐng)域重要的研究方向。目前很大部分MEMS諧振式傳感器都是通過(guò)檢測(cè)內(nèi)部諧振敏感元件的諧振頻率微小變化量來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)被測(cè)量的檢測(cè)，因而諧振敏感元件的性能直接影響整個(gè)微系統(tǒng)的測(cè)試精度及應(yīng)用場(chǎng)合[1-2]。

在該研究方面，傳統(tǒng)的研究一般基于純音叉梁形式。天津大學(xué)鐘瑩等分析了純音叉諧振器的振動(dòng)特性和工作原理并把它應(yīng)用于加速度傳感器；重慶大學(xué)劉恒[3-4]等根據(jù)雙端固定音叉諧振器的動(dòng)力學(xué)原理，建立參數(shù)模型，研究了音叉梁長(zhǎng)度及寬度對(duì)諧振頻率的影響；南京理工大學(xué)裘安萍[5]等通過(guò)研究指出音叉諧振器結(jié)構(gòu)中振梁寬度產(chǎn)生的加工誤差最大，且對(duì)諧振器的性能影響最大，而實(shí)際應(yīng)用的音叉梁上均集成有驅(qū)動(dòng)單元和檢測(cè)單元，不可避免引入附加質(zhì)量，施加附加質(zhì)量后諧振梁振動(dòng)模型具有較大改變，不考慮的話會(huì)引入很大誤差。而且實(shí)際應(yīng)用中是通過(guò)施加軸向力前后音叉梁諧振頻率的變化來(lái)解算軸向力及所攜帶參數(shù)的大小，所以必須考慮攜帶附加質(zhì)量的諧振梁受軸向力的振動(dòng)問(wèn)題，這種振動(dòng)問(wèn)題在音叉諧振器微結(jié)構(gòu)的建模和設(shè)計(jì)中頻繁用到[6-8]，諧振頻率作為設(shè)計(jì)和操作參數(shù)的函數(shù)，它的確定需要準(zhǔn)確的模型。但是，目前綜合考慮附加質(zhì)量與軸向力對(duì)音叉振動(dòng)特性的影響的相關(guān)文獻(xiàn)很少。

本文充分考慮了附加質(zhì)量與軸向力對(duì)諧振音叉振動(dòng)特性的影響，建立攜帶附加質(zhì)量的諧振梁的振動(dòng)模型，采用有限元方法對(duì)其進(jìn)行仿真，并對(duì)其重要性進(jìn)行研究。

1 諧振音叉工作原理分析

雙端固定音叉結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1所示，該結(jié)構(gòu)主要由兩根平行的諧振梁組成，梁的末端連接在一起，并與支撐結(jié)構(gòu)相連。當(dāng)通過(guò)適當(dāng)?shù)募?lì)方式使兩個(gè)音叉臂平面內(nèi)反相振動(dòng)時(shí)，兩個(gè)音叉臂在它們的合并區(qū)域產(chǎn)生的應(yīng)力和力矩方向相反，互相抵消，因此整個(gè)結(jié)構(gòu)通過(guò)固定連接端與外界的能量耦合小，振動(dòng)系統(tǒng)的能量損失小，具有很高的Q值。

圖1 雙端固定音叉

音叉諧振器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，具有力平衡、自減震的特性，在微系統(tǒng)中用作力的敏感元件或轉(zhuǎn)換元件，一般工作在閉環(huán)自激的諧振狀態(tài)，通過(guò)它的諧振頻率變化解算出軸向力從而獲得所攜帶的參數(shù)。

2 考慮軸向力和附加質(zhì)量模型

諧振音叉主要用于敏感施加軸向力后傳感器諧振頻率的變化，諧振音叉的性能直接決定了整個(gè)傳感器的性能，目前的研究是基于純諧振梁的振動(dòng)特性進(jìn)行的，而實(shí)際情況在諧振梁上集成了驅(qū)動(dòng)單元和檢測(cè)單元等，該部分可等效于具有一定質(zhì)量的附加質(zhì)量。當(dāng)諧振音叉存在軸向力和附加質(zhì)量塊的影響時(shí)，其振動(dòng)模型會(huì)發(fā)生很大的改變。本文針對(duì)該問(wèn)題，建立如圖2所示具有附加質(zhì)量的音叉諧振梁的振動(dòng)模型。

圖2 具有附加質(zhì)量的諧振音叉模型

2.1 純音叉梁模型

應(yīng)用瑞利法和能量守恒定律可得

通過(guò)數(shù)值擬合取振型函數(shù)[9]

其中Y(x)為梁振動(dòng)的模態(tài)函數(shù)，L為梁長(zhǎng)，f0為純音叉梁不受軸向力時(shí)的諧振頻率，ρ為梁的密度，A為梁的截面積，EI為梁的抗彎剛度。

2.2 攜帶附加質(zhì)量的音叉梁模型

攜帶附加質(zhì)量塊時(shí)，在梁的振動(dòng)過(guò)程中，梁的動(dòng)能既包括梁的動(dòng)能，又包括梁上附加質(zhì)量塊的動(dòng)能。

應(yīng)用瑞利法和能量守恒定律可得

其中s為附加質(zhì)量塊距梁端部的距離，ma為附加質(zhì)量塊的質(zhì)量。

結(jié)合振型函數(shù)式(3)

則

利用Matlab軟件，得到附加質(zhì)量與諧振頻率之間的關(guān)系如圖3所示。

圖3 無(wú)軸向力時(shí)諧振頻率隨附加質(zhì)量的變化趨勢(shì)

當(dāng)附加質(zhì)量遠(yuǎn)小于音叉梁的質(zhì)量(ma＜＜ρ*A*L)

2.3 存在軸向力的音叉梁模型

軸向力存在時(shí)，在梁的振動(dòng)過(guò)程中，梁的彈性勢(shì)能中除了彎曲應(yīng)變能之外，還包括軸向拉力引起的應(yīng)變能，這部分勢(shì)能在數(shù)值上等于軸向力在軸向位移上所作的功。

應(yīng)用瑞利法和能量守恒定律可得

其中F為所施加的軸向力。

結(jié)合振型函數(shù)式(3)

則

同樣，得到兩者之間關(guān)系如圖4所示。

圖4 無(wú)附加質(zhì)量時(shí)諧振頻率隨軸向力變化趨勢(shì)

當(dāng)所施加軸向力很小時(shí)

2.4 攜帶附加質(zhì)量且存在軸向力的音叉梁模型

同時(shí)存在軸向力及附加質(zhì)量塊時(shí)，在梁的振動(dòng)過(guò)程中，梁的彈性勢(shì)能中除了彎曲應(yīng)變能之外，還包括軸向拉力引起的應(yīng)變能，這部分勢(shì)能在數(shù)值上等于軸向力在軸向位移上所作的功，梁的動(dòng)能則既包括梁的動(dòng)能，又包括梁上附加質(zhì)量塊的動(dòng)能。

應(yīng)用瑞利法和能量守恒定律可得

結(jié)合振型函數(shù)式(3)

則

當(dāng)附加質(zhì)量遠(yuǎn)小于音叉梁的質(zhì)量(ma＜＜ρ*A*L)，且所施加軸向力很小時(shí)

同樣，利用Matlab軟件，得到軸向力與諧振頻率之間變化關(guān)系曲線如圖5所示。

圖5 有軸向力的諧振頻率隨附加質(zhì)量變化趨勢(shì)

3 有限元仿真

為驗(yàn)證理論的正確性，我們建立有限元模型如圖6所示，取 E=2.06*105MPa，ρ=7.8*10-9kg/mm3，A=a*b，I=a*b3（a為梁高，b為梁寬），a=3mm，b=0.5mm。

F=0時(shí)，即無(wú)軸向力，則同式(7)

圖6 有附加質(zhì)量的音叉梁有限元仿真

取ma的ρ=7.8*10-9kg/mm3，相應(yīng)理論值與仿真值如表1所示。

表1 有附加質(zhì)量的音叉梁諧振頻率

ma=0時(shí)，即無(wú)附加質(zhì)量，則同式(11)

對(duì)模型劃分網(wǎng)格，如圖7所示。

圖7 有軸向力的音叉梁有限元仿真

相應(yīng)理論值與仿真值如表2所示。

表2 有軸向力的音叉梁諧振頻率

F≠0且ma≠0時(shí)，即既有軸向力又有附加質(zhì)量，則同式(15)

取ma的ρ=7.8*10-9kg/mm3，相應(yīng)理論值與仿真值如表3所示。

表3 既有軸向力又有附加質(zhì)量的音叉梁諧振頻率

由表1，2，3可以看出：理論計(jì)算結(jié)果與仿真結(jié)果之間的相對(duì)誤差小于1%，說(shuō)明了理論模型的正確性。

4 結(jié) 論

論文針對(duì)攜帶附加質(zhì)量的音叉梁，分別建立有軸向力及無(wú)軸向力的情況下，具有附加質(zhì)量的音叉梁在空載及施加附加質(zhì)量4種情況下的振動(dòng)模型，并采用有限元方法，對(duì)模型的正確性進(jìn)行驗(yàn)證。結(jié)果表明理論與仿真的誤差不超過(guò)1%，論證了該理論的正確性，進(jìn)而為諧振音叉附加質(zhì)量設(shè)計(jì)提供參考，實(shí)現(xiàn)對(duì)敏感元件的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

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