楊宏林， 李醫(yī)民， 王學(xué)弟

（江蘇大學(xué)理學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江 212013）

關(guān)于數(shù)學(xué)建模課程的一些思考

楊宏林， 李醫(yī)民， 王學(xué)弟

（江蘇大學(xué)理學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江 212013）

數(shù)學(xué)建模課程的教學(xué)目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.根據(jù)多年的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，本文探討如何在教學(xué)過(guò)程中注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的傳授和能力的培養(yǎng).對(duì)目前教學(xué)過(guò)程中存在的一些問(wèn)題進(jìn)行了剖析.介紹了我們?cè)谡n程的課外延拓方面所做的一些工作.

數(shù)學(xué)建模；課堂教學(xué)；課外延拓

1 引 言

從1992年開(kāi)始由教育部高教司和中國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)（CSIAM）舉辦我國(guó)自己的全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽以來(lái)，這一賽事得到了國(guó)內(nèi)高校的普遍重視和大力支持，參賽高校和學(xué)生人數(shù)逐年持續(xù)遞增.2009年全國(guó)有33個(gè)?。校灾螀^(qū)（包括香港和澳門特區(qū)）1137所院校、15046個(gè)隊(duì)（其中甲組12276隊(duì)、乙組2770隊(duì)）、4萬(wàn)5千多名來(lái)自各個(gè)專業(yè)的大學(xué)生參加競(jìng)賽，是歷年來(lái)參賽人數(shù)最多的（其中西藏和澳門是首次參賽）.應(yīng)該說(shuō)，數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽在培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力以及創(chuàng)新能力、創(chuàng)新思維等各方面的所起的重要作用已經(jīng)得到了普遍的認(rèn)可和關(guān)注.同時(shí)，在數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的進(jìn)程中，數(shù)學(xué)建模課程應(yīng)運(yùn)而生.近年來(lái)，國(guó)內(nèi)許多高校陸續(xù)開(kāi)設(shè)了數(shù)學(xué)建模課程.數(shù)學(xué)建模課程作為一門年輕的課程，不少的數(shù)學(xué)建模指導(dǎo)老師對(duì)該課程的課程體系、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)模式、教學(xué)方法等方方面面進(jìn)行了有益的探索和實(shí)踐［1－8］，對(duì)該課程的建設(shè)和發(fā)展起到了巨大的促進(jìn)作用.作為數(shù)學(xué)建模課程的主講老師和數(shù)學(xué)建模指導(dǎo)小組的成員，筆者想結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐談?wù)剬?duì)數(shù)學(xué)建模課程的理解和體會(huì).

2數(shù)學(xué)建模的課堂教學(xué)

2.1 注重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的習(xí)慣.

使學(xué)生學(xué)會(huì)并習(xí)慣用數(shù)學(xué)的方式來(lái)刻畫或描述實(shí)際問(wèn)題，是數(shù)學(xué)建模課程的主要任務(wù)之一.對(duì)一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，學(xué)生在理解題目的要求上不存在任何障礙.比如桌子的擺放問(wèn)題，要求建模證明在起伏不平的地面上，桌子是可以擺放平穩(wěn)的.這是生活中常見(jiàn)的問(wèn)題，大多數(shù)人都有實(shí)踐這一問(wèn)題的經(jīng)歷.但上升到理論高度，要求用數(shù)學(xué)證明這一結(jié)論.學(xué)生會(huì)感到無(wú)從下手.這就需要教師耐心地引導(dǎo)學(xué)生.首先提出問(wèn)題一，如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫“桌子擺放平穩(wěn)”這一狀態(tài)，學(xué)生會(huì)說(shuō)“桌子四條腿同時(shí)著地”.再進(jìn)一步深入，問(wèn)“桌子四條腿同時(shí)著地”意味著什么？這個(gè)時(shí)候，學(xué)生一般都會(huì)積極思考，同時(shí)也七嘴八舌地說(shuō)出自己的理解.此時(shí)，一定要注意讓學(xué)生充分發(fā)揮主動(dòng)學(xué)習(xí)的精神，留有足夠的時(shí)間給學(xué)生自己思考.但根據(jù)筆者的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)剛剛接觸數(shù)學(xué)建模的學(xué)生來(lái)說(shuō)，很少有人能想到用桌子腿到地面的距離來(lái)刻畫這一問(wèn)題.教師應(yīng)一步一步深入，通過(guò)各種直觀、形象的啟示，慢慢地自然地把學(xué)生的思維引導(dǎo)到“用桌腿到地面的距離為零來(lái)刻畫桌子擺放平穩(wěn)”.當(dāng)這一答案給出的時(shí)候，筆者注意觀察過(guò)學(xué)生的反應(yīng)，很多學(xué)生此時(shí)會(huì)有一種恍然大悟的感覺(jué).搞清楚這一問(wèn)題之后，緊接著提出第二個(gè)問(wèn)題，如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫“使桌子擺放平穩(wěn)”這一過(guò)程.問(wèn)題二與問(wèn)題一雖一字之差，但含義卻完全不同.問(wèn)題一是一個(gè)狀態(tài)，是靜態(tài)的；而問(wèn)題二問(wèn)的是通過(guò)什么手段使桌子從不平穩(wěn)狀態(tài)到平穩(wěn)狀態(tài)，是一個(gè)過(guò)程，是動(dòng)態(tài)的.對(duì)于問(wèn)題二，結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)及學(xué)生在生活中對(duì)這一問(wèn)題的直觀認(rèn)識(shí)，啟發(fā)學(xué)生用旋轉(zhuǎn)的方式來(lái)使桌子擺放平穩(wěn).既然要旋轉(zhuǎn)（移動(dòng)），就必須要定位，從而自然地引入平面直角坐標(biāo)系對(duì)方桌進(jìn)行定位，并用桌子四腳連線所構(gòu)成的正方形的對(duì)角線與x軸的夾角的變化來(lái)確定旋轉(zhuǎn)量.在搞清楚上述兩個(gè)問(wèn)題之后，接下來(lái)關(guān)于“桌子擺放”問(wèn)題數(shù)學(xué)模型的建立就是自然而然、水到渠成了.如果教師在教學(xué)過(guò)程中能自始自終堅(jiān)持不懈地進(jìn)行這一方面的努力，那么久而久之，學(xué)生就會(huì)形成用數(shù)學(xué)思考的習(xí)慣.這對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和素質(zhì)是不言而喻的.

對(duì)模型結(jié)果進(jìn)行合理的解釋也是建模的一個(gè)重要方面.因?yàn)榻５哪康氖菫榱私鉀Q問(wèn)題，所以，在構(gòu)建了實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型并用相關(guān)算法求解之后，把數(shù)學(xué)結(jié)果還原到實(shí)際問(wèn)題中去，才算真正解決了問(wèn)題.換句話說(shuō)，我們要把模型的數(shù)學(xué)結(jié)果翻譯成常人（不具備高深數(shù)學(xué)知識(shí)的人）看得懂的語(yǔ)言表述.比如在“彩票中的數(shù)學(xué)”這一問(wèn)題中，對(duì)彩票方案的評(píng)價(jià)用到概率、評(píng)價(jià)函數(shù)、彩民的心理曲線等各方面的知識(shí)，通過(guò)考慮中獎(jiǎng)率，中獎(jiǎng)面，高項(xiàng)獎(jiǎng)獎(jiǎng)金額、比例分配等多種因素，兼顧彩民和彩票發(fā)行機(jī)構(gòu)的利益，提出更為科學(xué)合理的彩票玩法.但眾多彩民中同時(shí)具備這些知識(shí)的有幾人？所以，應(yīng)該把數(shù)學(xué)結(jié)果“翻譯”成大眾化語(yǔ)言，否則，模型的應(yīng)用價(jià)值就會(huì)大打折扣.這就是葉其孝教授所說(shuō)的數(shù)學(xué)建模中的“雙向翻譯”（即用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)實(shí)際問(wèn)題，用普通人能理解的語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué)的結(jié)果）的能力.

2.2 注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的提煉和學(xué)生能力的培養(yǎng).

數(shù)學(xué)建模課多采用案例教學(xué)的方法［6］和討論課.這里，筆者想強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)，教學(xué)過(guò)程中采用的案例或問(wèn)題，通常都有其相對(duì)成功的數(shù)學(xué)模型或解決方法.因此，我們教學(xué)的目的并不是為了解決問(wèn)題而解決問(wèn)題.更為重要的是想通過(guò)對(duì)案例的分析和建模過(guò)程的理解，讓學(xué)生去領(lǐng)悟或者體會(huì)建模過(guò)程中所用到的更為一般數(shù)學(xué)方法或重要的數(shù)學(xué)思想.而這些方法或思想恰恰就是學(xué)生以后解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)所需要的.

在數(shù)學(xué)建模的教學(xué)過(guò)程中，教學(xué)的重點(diǎn)不在于講解模型中或深?yuàn)W或精巧的數(shù)學(xué)知識(shí)，而在于如何從實(shí)際問(wèn)題中抽象概括出合理的數(shù)學(xué)模型.這是一個(gè)創(chuàng)造性的過(guò)程，學(xué)生的各種能力正是在這樣的過(guò)程中得到鍛煉和提高的.一般建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，要經(jīng)過(guò)以下步驟：第一，在充分理解實(shí)際問(wèn)題背景和要求的前提下，通過(guò)合理的假設(shè)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行抽象和簡(jiǎn)化；第二，引入必須的參數(shù)和變量，實(shí)現(xiàn)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)刻畫；第三，通過(guò)分析問(wèn)題中各種因素的關(guān)系和作用機(jī)理，建立科學(xué)合理的數(shù)學(xué)模型；第四，對(duì)模型中涉及到的有關(guān)參數(shù)進(jìn)行盡可能準(zhǔn)確的估計(jì)；第五，對(duì)模型的合理性進(jìn)行檢驗(yàn)，并根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果對(duì)模型做進(jìn)一步改進(jìn)和修正.當(dāng)然，一個(gè)成功的數(shù)學(xué)模型，總是經(jīng)過(guò)多次重復(fù)上述步驟，即經(jīng)過(guò)多次的修正而逐步完善的.而且，隨著社會(huì)的發(fā)展，環(huán)境的變化，有些即使已經(jīng)非常優(yōu)秀的模型也要隨之而變化，這實(shí)際上要求學(xué)生對(duì)模型的適用范圍有一個(gè)明確的界定.

2.3 留有余地，給學(xué)生提供發(fā)揮想象力和創(chuàng)造性的空間.

在數(shù)學(xué)建模課程的教學(xué)過(guò)程中，一定要注意給學(xué)生留有思考的余地，給學(xué)生提供發(fā)揮想象力和創(chuàng)造性的空間.一個(gè)成功的數(shù)學(xué)模型，總是建立在一定的假設(shè)基礎(chǔ)之上.假設(shè)越合理，越貼近實(shí)際問(wèn)題，所建模型就越能反映實(shí)際問(wèn)題.但假設(shè)的強(qiáng)弱給數(shù)學(xué)處理上帶來(lái)的難易程度有非常大的影響.所以，合理的假設(shè)是數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵，數(shù)學(xué)建模中的創(chuàng)造性也主要體現(xiàn)在模型假設(shè)中.通常情況下，一開(kāi)始會(huì)做比較強(qiáng)的假設(shè)（但不能改變問(wèn)題的性質(zhì)或本質(zhì)，否則后面的一切工作都沒(méi)有意義了），盡量使問(wèn)題易于處理，先得到一個(gè)初步的基本的模型.然后通過(guò)放寬假設(shè)，一步步對(duì)模型進(jìn)行改進(jìn).因此，在課堂上精講細(xì)講基本模型之后，在指出對(duì)模型的進(jìn)一步改進(jìn)的方向之后，模型的改進(jìn)工作（或者一部分改進(jìn)工作）可以留給學(xué)生作為課后練習(xí)，并在下次課進(jìn)行討論.比如說(shuō)，在桌子擺放問(wèn)題中，一開(kāi)始假設(shè)“桌子四腳連線呈正方形”，給學(xué)生留下的問(wèn)題是“若桌子四腳連線呈長(zhǎng)方形”，模型會(huì)有什么變化？學(xué)生在經(jīng)過(guò)認(rèn)真思考之后一般都能給出正確的處理.在自己解決問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力在不知不覺(jué)中自然而然地得到了提高和鍛煉.對(duì)于學(xué)生富有創(chuàng)造性的一些想法，應(yīng)及時(shí)給予肯定和鼓勵(lì)，使學(xué)生具有成就感，同時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)建模有更濃厚的學(xué)習(xí)興趣.

2.4 數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)中存在的問(wèn)題.

數(shù)學(xué)建模課程涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)及其他專業(yè)的知識(shí)非常廣泛，不可能讓學(xué)生學(xué)會(huì)所有的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)手段再來(lái)做數(shù)學(xué)建模的工作.還有一些問(wèn)題本身具有較強(qiáng)的專業(yè)背景，不熟悉問(wèn)題的背景就會(huì)感覺(jué)無(wú)從下手.不僅學(xué)生，即使是教師也不可能熟悉所有的專業(yè)背景.而數(shù)學(xué)建模課程的任課老師，通常都是由數(shù)學(xué)系的教師擔(dān)任，缺少工程背景和基礎(chǔ).這就使得數(shù)學(xué)建模課程的教學(xué)與其它課程相比，因?yàn)殡y度大而往往需要教師投入更多的時(shí)間和精力，但該課程教學(xué)工作量的計(jì)算卻與其他課程一樣.這種情形，使得長(zhǎng)期從事數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)的教師慢慢地喪失積極性和主動(dòng)性，并極力擺脫這門課程教學(xué)所帶來(lái)的沉重負(fù)擔(dān).這種在高校中普遍存在的關(guān)于師資隊(duì)伍積極性不高的現(xiàn)象恰恰與數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)體系深受大學(xué)生歡迎形成了強(qiáng)烈的反差.因此，數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)師資隊(duì)伍的建設(shè)及穩(wěn)定是擺在高校面前的一個(gè)不容忽視的嚴(yán)重問(wèn)題［7］.盡管有些高校已經(jīng)采取了各種措施來(lái)改變這一局面，但大多數(shù)體現(xiàn)在對(duì)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中獲獎(jiǎng)的指導(dǎo)老師或?qū)W生的獎(jiǎng)勵(lì)方面.總的來(lái)說(shuō)，在數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)工作量的計(jì)算方面始終沒(méi)有體現(xiàn)，特別是對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的培訓(xùn)基本上被看作是一種業(yè)余的工作.這也在一定程度上挫傷了教師的積極性.盡管如此，作為一名高校教師，我們還是呼吁能有更多的、具有不同專業(yè)背景的老師加入到數(shù)學(xué)建模的教學(xué)與培訓(xùn)過(guò)程中來(lái)，希望專業(yè)課教師結(jié)合自身專業(yè)方向中基本的數(shù)學(xué)模型和處理方法，給學(xué)生進(jìn)行基本的專業(yè)背景知識(shí)的培訓(xùn)，拓寬學(xué)生的視野和知識(shí)廣度.無(wú)庸置疑，這對(duì)學(xué)生將是非常有益的.當(dāng)然，要實(shí)現(xiàn)這一想法，除了學(xué)校給予一定的優(yōu)惠政策之外，教師本身也應(yīng)該發(fā)揚(yáng)奉獻(xiàn)精神，本著“一切為了學(xué)生，為了一切學(xué)生，為了學(xué)生的一切”的教育理念，以學(xué)生為本，積極地投身到數(shù)學(xué)建模的教學(xué)活動(dòng)中來(lái).

3 數(shù)學(xué)建模課程的課外延拓

目前，數(shù)學(xué)建模已經(jīng)成為一項(xiàng)長(zhǎng)期的、日常性的工作.僅靠有限的數(shù)學(xué)建模課程的教學(xué)和相對(duì)集中的數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的培訓(xùn)，難以滿足學(xué)生的需要，也難以實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的目標(biāo).因此，在課堂之外，以各種形式對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力提高.不少高校都有自己的高招.我們也作了一些嘗試.

首先，在學(xué)生中成立數(shù)學(xué)建模協(xié)會(huì)，由學(xué)生自己負(fù)責(zé)并開(kāi)展工作.協(xié)會(huì)負(fù)責(zé)數(shù)學(xué)建模的宣傳和培訓(xùn)組織工作.以各種形式在廣大學(xué)生中宣傳數(shù)學(xué)建模.比如，請(qǐng)建模指導(dǎo)老師對(duì)學(xué)生介紹建模的過(guò)程及意義；請(qǐng)參加過(guò)競(jìng)賽的同學(xué)結(jié)合自己的建模經(jīng)歷，談?wù)勛约簩?duì)建模的認(rèn)識(shí)和體會(huì).使更多的學(xué)生加入到數(shù)學(xué)建模的隊(duì)伍中來(lái)，擴(kuò)大這一活動(dòng)的受益面和影響力.經(jīng)過(guò)各方面努力，近幾年，我校參加數(shù)學(xué)建模選修課學(xué)習(xí)的同學(xué)很多，但由于各方面條件的限制，最后參加競(jìng)賽的同學(xué)畢竟還是少數(shù).所以，我認(rèn)為能參加競(jìng)賽本身就是很大的成功，競(jìng)賽成績(jī)本身并不重要，學(xué)生在整個(gè)數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)過(guò)程中的收獲才是最重要的，這也符合競(jìng)賽的宗旨.讓更多的學(xué)生在數(shù)學(xué)建模選修課的學(xué)習(xí)中受益，提高他們各方面的能力，是數(shù)學(xué)建模課程更為重要的任務(wù).

其次，由喜歡建模并有一定建模能力的學(xué)生自愿組成相對(duì)固定的數(shù)學(xué)建模課外興趣小組，利用課余時(shí)間積極進(jìn)行自我學(xué)習(xí)和提高.指導(dǎo)教師通過(guò)聯(lián)系學(xué)校團(tuán)委、學(xué)工處等有關(guān)部門，了解這些部門在工作中遇到的一些需要解決的實(shí)際問(wèn)題，經(jīng)過(guò)部門領(lǐng)導(dǎo)和建模指導(dǎo)教師協(xié)商提煉，形成一些數(shù)學(xué)建模問(wèn)題.以課題的形式對(duì)學(xué)生進(jìn)行發(fā)放，并給予一定資助，要求一個(gè)小組對(duì)所研究的問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型，并給出解決該問(wèn)題的具體措施和方法.這不僅對(duì)學(xué)生是一次鍛煉和提高的機(jī)會(huì)，同時(shí)在一定程度上也能解決工作中的實(shí)際問(wèn)題，可謂一舉兩得.而且，當(dāng)學(xué)生的建議或方案得到采納之后，對(duì)學(xué)生也是一種莫大的鼓勵(lì).

另外，在本科生進(jìn)行畢業(yè)論文選題時(shí)，指導(dǎo)教師設(shè)計(jì)一些數(shù)學(xué)建模的問(wèn)題（如果問(wèn)題是來(lái)源于實(shí)際生產(chǎn)中的則更好），交給學(xué)生進(jìn)行自主選擇.實(shí)踐表明，有建模經(jīng)歷的同學(xué)會(huì)選擇自己感興趣的問(wèn)題作為自己的畢業(yè)論文選題.并能在老師指導(dǎo)下，通過(guò)自己搜集資料、熟悉背景、分析問(wèn)題并建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.

我校多年的實(shí)踐證明，這些課堂之外的擴(kuò)展和延拓是對(duì)數(shù)學(xué)建模課程很好的補(bǔ)充，取得了很好的效果.

［1］王茂芝，郭科，徐文皙，周游.數(shù)學(xué)建模中的創(chuàng)新意識(shí)培養(yǎng)［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2009，25（1）：126－129.

［2］薛長(zhǎng)虹，于凱.數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)方式探討［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2007，23（4）：141－143.

［3］孫琳.淺析數(shù)學(xué)建模［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2007，23（5）：129－133.

［4］王茂芝，徐文皙，郭科.數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)課程體系設(shè)計(jì)探討［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2005，14（1）：79－81.

［5］樂(lè)勵(lì)華，戴立輝，劉龍章.數(shù)學(xué)建模教學(xué)模式的研究與實(shí)踐［J］，工科數(shù)學(xué)，2002，18（6）：9－127.

［6］朱建青，歸慶明.數(shù)學(xué)建模課的案例教學(xué)法［J］.工科數(shù)學(xué)，2000，16（1）：82－85.

［7］化存才.《數(shù)學(xué)建?！氛n程教學(xué)體系的現(xiàn)狀及其發(fā)展方向［J］.云南師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，26（1）：61－66.

［8］黃江華.“數(shù)學(xué)模型”課程教學(xué)模式的探討［J］.數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用，2005，25（4）：125－127.

［9］姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型［M］.3版.北京：高等教育出版社，2003.

Some Thoughts on Mathematical Modeling Course

YANGHong－lin，LIYi－min，WANGXue－di
（Faculty of Science，Jiangsu University，Zhenjiang 212013，China）

The goal of Mathematical Modeling course teaching is to train students to apply mathematics to solve practical problems.Based on our teaching experience，this paper to explore how to emphasize training mathematic thoughtway and ability in the teaching process.The problems in current teaching process were analyzed，and some concrete practices in the course of extra－curricular extension made by us are introduced.

mathematical modeling；classroom instruction；extra－curricular extension

G642.0

B

1672－1454（2012）04－0113－04

2009－11－26

江蘇大學(xué)教學(xué)研究項(xiàng)目（2011JGZD015，2011JGYB027）