胡增輝 朱炬波 何 峰 梁甸農(nóng)

①(國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院 長(zhǎng)沙 410073)

②(國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué)理學(xué)院 長(zhǎng)沙 410073)

③(酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心 酒泉 732750)

1 引言

經(jīng)典的高分辨波達(dá)角(DOA)估計(jì)算法，如MUSIC[1]算法，其高精度通常是建立在導(dǎo)向矢量精確已知的基礎(chǔ)上。在陣元間存在互耦等情形下，經(jīng)典的 DOA算法通常性能惡化非常嚴(yán)重，甚至是完全失效。而在實(shí)際測(cè)向系統(tǒng)中，陣元間互耦等因素是必須考慮的問(wèn)題。因此，互耦條件下 DOA估計(jì)一直是陣列信號(hào)處理的難點(diǎn)與熱點(diǎn)問(wèn)題[2-17]。

早期的研究中，互耦的校正和補(bǔ)償通常是通過(guò)硬件實(shí)現(xiàn)的，如增加互耦精確已知的校正陣元，或采用低互耦的陣列單元。然而，這類(lèi)方法在許多應(yīng)用場(chǎng)合中不易實(shí)現(xiàn)，且成本相對(duì)較高，精度可能也并不是很高。隨后的研究逐漸將互耦的補(bǔ)償和校正轉(zhuǎn)化為一個(gè)陣列參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，其基本思想是將DOA和互耦系數(shù)進(jìn)行聯(lián)合估計(jì)[2,4]。

均勻線陣在 DOA估計(jì)中有著廣泛的應(yīng)用，過(guò)去二十多年間，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了許多互耦條件下的均勻線陣DOA估計(jì)方法[2-4,6-9,11,12,16,17]。然而，很多算法需要進(jìn)行多維搜索或多參數(shù)優(yōu)化[2,4]，全局收斂性無(wú)法保證；或所需的陣元數(shù)目非常大[8]；或只能應(yīng)用到互耦系數(shù)較少(相對(duì)于陣元數(shù))的情形[6,8]等等。

基于盲源分離[18,19]方法和均勻線陣互耦矩陣為帶狀、對(duì)稱(chēng) Toeplitz[2,3]的特性，本文提出一種新的互耦條件下均勻線陣 DOA估計(jì)算法。算法通過(guò)盲源分離方法實(shí)現(xiàn)廣義陣列流形矩陣估計(jì)，利用互耦矩陣為帶狀對(duì)稱(chēng)Toeplitz矩陣的特性，將DOA估計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為多個(gè)可分離非線性最小二乘問(wèn)題，無(wú)需進(jìn)行互耦系數(shù)的估計(jì)，直接通過(guò)1維頻域峰值搜索得到 DOA的估計(jì)。與現(xiàn)有算法相比，新算法對(duì)互耦系數(shù)的個(gè)數(shù)約束條件更少，當(dāng) DOA相鄰比較近時(shí)，分辨性能更好。

2 信號(hào)模型及假設(shè)

考慮p個(gè)獨(dú)立窄帶平穩(wěn)信號(hào)入射到一均勻線陣，波達(dá)角分別為θ1,…,θp, -π/2 ≤θ≤π/2。均勻線陣由N個(gè)陣元組成，相鄰陣元間距為d,d≤λ/ 2，其中λ為信號(hào)波長(zhǎng)。

假設(shè)陣元間的互耦自由度為L(zhǎng)(即兩個(gè)陣元間間距大于(L-1)d時(shí)，互耦系數(shù)為0)，互耦矩陣第1行的非零元素分別記為。由文獻(xiàn)[2,3]可知，均勻線陣的互耦矩陣C可建模成為一帶狀、對(duì)稱(chēng)Toeplitz矩陣：

考慮互耦時(shí)，以第1個(gè)陣元為參考點(diǎn)，陣元輸出信號(hào)可以表示為

式中x(t)= [x1(t),…,xN(t)]T,s(t)= [s1(t),…,sp(t)]T和n(t)= [n1(t),…,nN(t)]T分別表示陣列輸出信號(hào)矢量、源信號(hào)矢量和噪聲矢量，上標(biāo)T表示轉(zhuǎn)置算子。A= [a(θ1),…,a(θp)]為陣列流形矩陣，a(θk)為第k個(gè)源信號(hào)對(duì)應(yīng)的導(dǎo)向矢量，1≤k≤p。

記G=CA，式(2)可以簡(jiǎn)化為

稱(chēng)G=CA為廣義陣列流形矩陣。顯然，G包含了所有互耦系數(shù)和波達(dá)角的信息。

本文，為了從陣列輸出信號(hào)x(t)中得到波達(dá)角θ1,…,θp的估計(jì)，我們對(duì)信號(hào)模型作如下假設(shè)：

(1)源信號(hào)s1(t),…,sp(t)是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶平穩(wěn)信號(hào)，最多有一個(gè)源信號(hào)為高斯信號(hào)。

(2)噪聲為加性復(fù)高斯白噪聲，噪聲與信號(hào)是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。

(3)陣元數(shù)N，源信號(hào)數(shù)p，互耦矩陣自由度L之間滿足如下關(guān)系：N＞p,N＞L。源信號(hào)數(shù)p和互耦矩陣自由度L均為已知的。

(4)陣列流形矩陣A是列滿秩的，或者說(shuō)，1≤i≠k≤N時(shí)，θi≠θk。

3 波達(dá)角估計(jì)算法

3.1 基于盲源分離的廣義陣列流形矩陣估計(jì)

由模型式(4)及信號(hào)模型假設(shè)，我們可以首先通過(guò)盲源分離(或獨(dú)立成分分析)[18,19]方法得到廣義陣列流形矩陣G的估計(jì)。由于信號(hào)模型式(4)為線性瞬時(shí)混合模型，本文只考慮線性瞬時(shí)混合盲源分離。

盲源分離(或獨(dú)立成分分析)是上世紀(jì)80年代發(fā)展起來(lái)的一種信號(hào)處理方法，是當(dāng)前信號(hào)處理領(lǐng)域中的熱點(diǎn)課題。其基本思想是利用源信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性(非高斯性，獨(dú)立性，非負(fù)、稀疏性等)，在混合過(guò)程未知的情形下，實(shí)現(xiàn)源信號(hào)的分離(和/或混合矩陣的估計(jì))。

獨(dú)立成分分析是盲源分離的重要組成部分，也是迄今為止發(fā)展最為成熟的。獨(dú)立成分分析利用源信號(hào)的非高斯性和獨(dú)立性，實(shí)現(xiàn)源信號(hào)的分離和混合矩陣的估計(jì)。其基本處理流程是利用優(yōu)化算法，尋找某個(gè)混合矩陣，使得經(jīng)矩陣作用后的輸出信號(hào)互信息最小。或者利用高階累積量或時(shí)延協(xié)方差矩陣，通過(guò)多個(gè)矩陣的聯(lián)合近似對(duì)角化實(shí)現(xiàn)混合矩陣的估計(jì)。

盲源分離(獨(dú)立成分分析)在陣列信號(hào)中有著廣泛的應(yīng)用[20,21]。線性瞬時(shí)混合盲源分離(獨(dú)立成分分析)模型和式(4)一致，利用源信號(hào)的相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立特性，可首先利用獨(dú)立成分分析算法，如 JADE[22]或復(fù)數(shù) FastICA[23]算法，實(shí)現(xiàn)廣義陣列流形矩陣G的估計(jì)。

本節(jié)，我們以 JADE(Joint Approximate Diagonalization of Eigenmatrices)算法為代表，簡(jiǎn)單介紹獨(dú)立成分分析算法。JADE算法通過(guò)對(duì)一組高階累積量矩陣的聯(lián)合近似對(duì)角化，實(shí)現(xiàn)混合矩陣和/或源信號(hào)的估計(jì)。

對(duì)于式(4)所表示的線性瞬時(shí)混合模型x(t)=Gs(t)+n(t)，定義如下的高階累積量矩陣：

式中xi和x分別表示xi(t)和x(t)，為表示方便，省略參數(shù)t。表示xk的共軛，上標(biāo)H表示轉(zhuǎn)置共軛算子，E{x}表示隨機(jī)變量x的期望。

在源信號(hào)相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立且非高斯，加性噪聲為高斯噪聲且與源信號(hào)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的假設(shè)下，式(5)中矩陣Fik具有如下形式：

如式(6)所示，N(N+ 1 )/2個(gè)矩陣Fik具有相似的結(jié)構(gòu)，可以通過(guò)聯(lián)合近似對(duì)角化技術(shù)（Joint Approximate Diagonalization, JAD）得到混合矩陣A的估計(jì)，這就是JADE算法的基本思想。除基于高階累積量矩陣聯(lián)合近似對(duì)角化實(shí)現(xiàn)混合矩陣A估計(jì)外，還有許多其它的聯(lián)合近似對(duì)角化算法，如基于一組時(shí)延協(xié)方差矩陣的聯(lián)合對(duì)角化等。限于篇幅，在此不一一介紹。

理想情況下，利用盲源分離方法，廣義陣列流形矩陣G的估計(jì)具有如下形式

式中P為p×p維的置換矩陣，Λ為對(duì)角線元素非零的對(duì)角矩陣，Λ= d iag{λ1, …,λp}。P和Λ分別對(duì)應(yīng)于盲源分離算法的順序和尺度不確定性。

3.2 DOA估計(jì)

上節(jié)，通過(guò)盲源分離方法，得到了廣義陣列流形矩陣G的估計(jì)。記的第k列為1≤k≤p。

由于置換矩陣P的存在，下標(biāo)k和m并不一定相同。由式(7)可以看到，的每一列只與某一個(gè)波達(dá)角θm有關(guān)。

由文獻(xiàn)[2]的結(jié)論，Ca(θm)可以重新寫(xiě)為如下形式：

其中

式中T( :,1:L)表示由矩陣T的第1到第L列組成的矩陣。T1(p,q)表示T1第p行第q列的元素，a(p+q-1 )表示矢量導(dǎo)向矢量a的第p+q- 1個(gè)元素。

將式(9)代入式(8)中，有

式中cm=λmc。

顯然，式(11)中TL(θm)的變量為θm,cm的變量為λm,c1, …,cL-1，它們的變量相互間并無(wú)耦合。利用來(lái)得到θm,λm,c1, …,cL-1的估計(jì)，是一典型的可分離非線性最小二乘問(wèn)題[24]。

式(11)中，當(dāng)給定某個(gè)θ時(shí)，由線性最小二乘可得，cm的最小二乘意義下的估計(jì)可以表示成的偽逆，通常取。

式中IN為N×N維的單位矩陣。

通常，波達(dá)角θm的估計(jì)可以通過(guò)尋找的最小值來(lái)得到。將代入的表達(dá)式中，F(xiàn)k(θm)可以繼續(xù)簡(jiǎn)化為

其中Q2通過(guò)TL(θm)的QR分解得到

綜上，對(duì)廣義陣列流形矩陣G的估計(jì)的第k(1 ≤k≤p)列，通過(guò)在[-π/ 2,π/2]內(nèi)求如下的優(yōu)化問(wèn)題，可得到某個(gè)源信號(hào)對(duì)應(yīng)的波達(dá)角的估計(jì)為

式(15)可以通過(guò)經(jīng)典的非線性最小二乘算法來(lái)解決，也可以利用搜索步長(zhǎng)將[-π/ 2,π/2]等分，尋找在[-π/ 2,π/2]的最小值對(duì)應(yīng)的角度來(lái)得到波達(dá)角的估計(jì)。為對(duì)比方便，與MUSIC[1]算法和文獻(xiàn)[6]中算法一樣，我們也可以構(gòu)造如下的空間譜估計(jì)器

然而，與 MUSIC和文獻(xiàn)[6]中算法不同的是，本文所提算法對(duì)每個(gè)源信號(hào)構(gòu)造一個(gè)空間譜函數(shù)，通過(guò)搜索該譜函數(shù)的最大值來(lái)獲得波達(dá)角的估計(jì)，而不是如 MUSIC算法那樣，構(gòu)造一個(gè)譜函數(shù)，通過(guò)搜索多個(gè)極大值或譜峰來(lái)得到波達(dá)角的估計(jì)。

上述算法過(guò)程中，利用盲源分離得到廣義陣列流形矩陣的估計(jì)，通常要求觀測(cè)數(shù)大于信源數(shù)，即N＞p。而在式(11)所代表的可分離非線性最小二乘問(wèn)題中，通常要求觀測(cè)矢量維數(shù)大于等于總的變量維數(shù)，即N≥1+L。因此，在本文的信號(hào)模型假設(shè)中，我們僅要求N＞p和N＞L。

顯然，以上假設(shè)比大多數(shù)現(xiàn)有文獻(xiàn)的假設(shè)都要寬松。如文獻(xiàn)[6]中，首先就要求L≤ [N/ 2]-p。換句話說(shuō)，在一定的信號(hào)模型假設(shè)(源信號(hào)之間相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，非高斯信號(hào))下，本文算法適用范圍更廣。其根本原因在于本文所提算法利用了源信號(hào)統(tǒng)計(jì)特性，或者說(shuō)，利用了更多的先驗(yàn)信息。

實(shí)際應(yīng)用中，互耦矩陣的自由度L可能并不能準(zhǔn)確獲得。本文所提算法對(duì)L并不敏感：L已知時(shí)，直接利用已知的L；而當(dāng)L未知時(shí)，式(9)-式(16)中，直接用大于L的整數(shù)代替L即可。最簡(jiǎn)單地，直接利用N-1作為L(zhǎng)的估計(jì)值。

3.3 算法流程

本文算法流程總結(jié)如下(參數(shù)定義：N為均勻線陣陣元個(gè)數(shù)，p為源信號(hào)數(shù)，L為互耦矩陣的自由度）：

(1)利用盲源分離(獨(dú)立成分分析)算法，如JADE[22]或復(fù)數(shù)FastICA[23]，得到廣義陣列流形矩陣G=CA的估計(jì)，記為。

(2)對(duì)的每一列，利用可分離非線性最小二乘方法，構(gòu)造式(13)所表示的函數(shù)F(θ)。

(3)將區(qū)間[-π/ 2,π/2]等分，搜索F(θ)的最小值對(duì)應(yīng)的角度，即為某個(gè)源信號(hào)的波達(dá)角。

由上述算法流程可以看到，本文算法中，波達(dá)角估計(jì)并不是通過(guò)多維空間搜索得到的，而是通過(guò)p個(gè)閉區(qū)間內(nèi)的1維最大值搜索問(wèn)題得到波達(dá)角的估計(jì)。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證本文所提出算法的有效性，將本文算法與王布宏等人[6]提出的算法及 MUSIC[1]算法進(jìn)行比較。仿真中，為簡(jiǎn)單計(jì)，稱(chēng)文獻(xiàn)[6]中算法為MUSICLMC。

仿真實(shí)驗(yàn)中，源信號(hào)取為si(t)=ej(0.2πt+?i)，其中?i為[0,2π]內(nèi)的均勻分布，?i間相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立?；ヱ罹仃囅禂?shù)取為ci= ( 0.8j)i,i=1,…,L-1,L為互耦矩陣自由度。噪聲為復(fù)高斯白噪聲。輸入信噪比(SNR)定義為其中分別表示信號(hào)和噪聲的方差。仿真中，本文算法采用JADE[22]算法實(shí)現(xiàn)廣義陣列流形矩陣G的估計(jì)。

仿真結(jié)果為1000次蒙特卡洛仿真的平均數(shù)據(jù)，采用均方根誤差(RMSE)作為波達(dá)角估計(jì)性能衡量指標(biāo)。

實(shí)驗(yàn)1波達(dá)角估計(jì)RMSE隨SNR變化關(guān)系。均勻線陣由5個(gè)陣元組成，相鄰陣元間距為半個(gè)波長(zhǎng)，互耦自由度為L(zhǎng)=2，采樣數(shù)為 1024，兩個(gè)源信號(hào)波達(dá)角分別為-10?和10?。圖1為SNR從-10 dB變化到25 dB時(shí)，本文算法，MUSIC-LMC和MUSIC算法波達(dá)角估計(jì)RMSE隨SNR變化曲線。仿真中，搜索步長(zhǎng)均為0.1?。由圖 1可以看到，本文算法估計(jì)性能始終優(yōu)于 MUSIC-LMC算法和MUSIC算法。SNR＞20 dB時(shí)，MUSIC-LMC算法估計(jì)性能與本文算法非常接近。

實(shí)驗(yàn)2波達(dá)角估計(jì)RMSE隨信源相隔角度的變化關(guān)系。均勻線陣仍由5個(gè)陣元組成，相鄰陣元間距為半個(gè)波長(zhǎng)，互耦自由度為L(zhǎng)=2，采樣數(shù)為1024, SNR=10 dB，信源1的波達(dá)角固定為θ1=0?，信源 2波達(dá)角由1?變化到15?。圖 2為波達(dá)角估計(jì)RMSE隨信源相隔角度的變化曲線。從圖2結(jié)果可以看到，本文算法性能優(yōu)于MUSIC-LMC和MUSIC算法。另外，信源 1和信源 2相隔角度大于等于θ1=2?時(shí)，本文算法波達(dá)角估計(jì)RMSE基本保持不變。

實(shí)驗(yàn) 3互耦自由度估計(jì)不準(zhǔn)時(shí)不同算法波達(dá)角估計(jì)RMSE。前面我們提到過(guò)，本文算法即使在互耦自由度估計(jì)不準(zhǔn)時(shí)仍舊有效?？紤]由6個(gè)陣元組成的均勻線陣，兩個(gè)獨(dú)立源信號(hào)波達(dá)角分別為-1 0?和10?，采樣數(shù)為1024, SNR固定為10 dB。真實(shí)的互耦自由度為 2。仿真中假設(shè)互耦自由度是未知的，由互耦自由度的取值，互耦自由度估計(jì)值可能的取值為2, 3, 4, 5。圖3為波達(dá)角估計(jì)RMSE隨互耦自由度估計(jì)值的變化曲線。由圖可以看到，無(wú)論互耦自由度估計(jì)值如何，本文算法性能始終優(yōu)于MUSIC算法和MUSIC-LMC算法。互耦自由度估計(jì)值變化時(shí)，本文算法和 MUSIC算法基本保持不變。與之形成鮮明對(duì)比的是，MUSIC-LMC算法只有在互耦自由度估計(jì)值等于其真值時(shí)，波達(dá)角估計(jì)RMSE比較小。由圖3可以看到，當(dāng)互耦自由度估計(jì)值為3, 4, 5時(shí)，MUSIC-LMC算法估計(jì)RMSE非常大。事實(shí)上，由MUSIC-LMC算法所需滿足條件，互耦自由度估計(jì)值為3, 4, 5時(shí)，估計(jì)出現(xiàn)模糊，基本很難獲得精確的波達(dá)角估計(jì)。

5 結(jié)束語(yǔ)

圖1 波達(dá)角估計(jì)RMSE隨SNR變化曲線

圖2 波達(dá)角估計(jì)RMSE隨信源相隔角度變化關(guān)系

圖3 波達(dá)角估計(jì)RMSE隨互耦自由度估計(jì)值的變化曲線(互耦自由度真值為2)

本文提出了一種新的互耦條件下均勻線陣DOA盲估計(jì)算法。算法首先通過(guò)盲源分離方法得到廣義陣列流形矩陣估計(jì)，然后利用可分離非線性最小二乘方法，由多個(gè)1維峰值搜索得到DOA的估計(jì)。該算法無(wú)需任何校正源，也無(wú)需進(jìn)行多維搜索，無(wú)需考慮收斂性問(wèn)題。仿真實(shí)驗(yàn)表明，即使在DOA相差非常小的情況下，算法性能仍非常高。另外，新算法在互耦自由度未知的條件下仍舊適用，穩(wěn)健度高。

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