于艷輝 李志華

［摘要］ 本文針對緩沖區(qū)有限的兩階段置換流水車間調(diào)度問題的基本性質(zhì)進行了分析，指出了緩沖區(qū)的大小對于問題最優(yōu)解的影響并證明了該問題的復雜性。通過對原問題及其特例在目標函數(shù)之間關系方面的研究，為算法獲得較好的初始解提供了依據(jù)。這些性質(zhì)為設計求解算法提供了理論依據(jù)。

［關鍵詞］ 置換流水車間； 緩沖區(qū)有限； 復雜性分析

doi : 10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2012 . 07. 032

［中圖分類號］F406.2［文獻標識碼］A［文章編號］1673 - 0194（2012）07- 0066- 03

０引言

傳統(tǒng)的流水車間調(diào)度模型通常假定各機器間的緩沖區(qū)無窮大，然而在許多實際生產(chǎn)過程中，由于受到緩沖區(qū)空間或存儲設備的限制（如中間庫存等），緩沖區(qū)的大小是有限的。緩沖區(qū)有限的流水車間調(diào)度問題（ＬＢＦＳＳ）廣泛存在于鋼鐵、化工、制藥等帶有中間存儲環(huán)節(jié)的生產(chǎn)系統(tǒng)中［1-2］。對于ＬＢＦＳＳ問題存在兩種特殊情況：當緩沖區(qū)大小為零時，該問題轉(zhuǎn)化為阻塞流水車間調(diào)度問題（Ｂｌｏｃｋｉｎｇ ＦＳＳ，ＢＦＳＳ）；當緩沖區(qū)大小為無窮時，該問題轉(zhuǎn)化為一般流水車間調(diào)度問題（ＦＳＳ）。

對于ＦＳＳ問題，當階段數(shù)為２時，Ｊｏｈｎｓｏｎ（１９５４）［3］提出了多項式優(yōu)化算法，當階段數(shù)為３及以上時，該問題是ＮＰ難問題［4］。作為另一特例的ＢＦＳＳ問題，已被證明當階段數(shù)為３時是ＮＰ難問題［5-6］，并且算法多為啟發(fā)式算法。目前對緩沖區(qū)有限的流水車間調(diào)度問題的研究較少。文獻［7］對緩沖區(qū)有限的兩階段流水車間調(diào)度問題的復雜性進行了分析，并給出了該問題與兩階段無等待流水車間調(diào)度ｍａｋｅｓｐａｎ之間的關系：C0* / Cb* = （2b + 1） / （b + 1），文獻［8］針對多階段的混合流水車間調(diào)度問題得到了相似的結(jié)論。文獻［9］提出了一種多搜索模式遺傳算法，算法使用多個交叉和變異操作進行解空間的探索和改良，并采用基于有向圖的鄰域結(jié)構(gòu)來增強局部搜索。文獻［10］針對隨機有限緩沖區(qū)流水線調(diào)度問題提出了混合差分進化算法，其中差分進化用于執(zhí)行全局搜索和局部搜索，最優(yōu)計算量分配用于對有限計算量進行合理分配，從而保證優(yōu)質(zhì)解得到較多仿真計算量，并提高了在噪聲環(huán)境下獲得優(yōu)質(zhì)解的置信度。

從已有研究來看，對具有緩沖區(qū)限制的流水車間調(diào)度問題的基本性質(zhì)的研究還不夠充分，其算法設計的理論基礎尚待完善。為此，本文針對該問題的基本情況——兩階段置換流水車間調(diào)度問題，在理論上探討了緩沖區(qū)的大小對問題最優(yōu)解的影響；是否存在基于排列排序的最優(yōu)解；該問題及其兩種特殊情況在目標函數(shù)之間的關系等基礎問題，旨在為進一步研究此類問題提供理論依據(jù)。

１問題模型

1.１問題描述

緩沖區(qū)有限的兩階段置換流水線調(diào)度問題可描述為：n個工件｛J1，J2，…，Jn｝依次經(jīng)過２個階段的加工，其中每個階段只有１臺機器。兩階段間存在緩沖區(qū)，緩沖區(qū)內(nèi)工件的個數(shù)不能超過上限，本文假定緩沖區(qū)上限為b。在每臺機器上，工件的加工順序均相同，即工件在緩沖區(qū)中均服從先進先出規(guī)則（ＦＩＦＯ），本文研究的調(diào)度問題以最小化最大完成時間（ｍａｋｅｓｐａｎ）為目標函數(shù)。應用Ｇｒａｈａｍ［11］提出的三元組表示法，此問題可表示為：F2 | Bi ≤ b|Cmax。

1.２數(shù)學模型

為便于描述，定義符號和變量如下：

i ——工件序號，Ji表示第i個工件；

I ——所有工件序號的集合，i∈I = ｛1，2，…｝；

j ——階段序號，Mj表示第j階段的機器，j = 1 ，2；

pij ——工件Ji在機器Mj上的加工時間；

Sij ——工件Ji在機器Mj上的開工時間；

Cij ——工件Ji在機器Mj上的完工時間；

Bi ——工件Ji在兩階段間的緩沖區(qū)的大小；

b ——緩沖區(qū)上限；

π = ｛π（1），π（2），…，π（n）｝ —— 可行加工順序。

緩沖區(qū)有限的兩階段置換流水線調(diào)度問題的數(shù)學模型如下：

其中，式（１）表示目標函數(shù)：最小化最大完成時間；式（３）表示工件在加工時不允許中斷； 式（４）、式（５）表示不同情況下工件的開工時間；式（６）表示變量的取值約束。

２問題復雜性

在流水車間調(diào)度問題中，當每臺機器上加工工件順序相同時，稱為排列排序。在一般流水車間調(diào)度問題中，我們已經(jīng)知道當階段數(shù)為２時，可以通過基于排列排序的Ｊｏｈｎｓｏｎ規(guī)則在多項式時間得到最優(yōu)解。但是當兩階段間緩沖區(qū)的大小變?yōu)橛邢迺r，問題的性質(zhì)將發(fā)生根本性改變。

定理１對于F2 | Bi ≤ b | Cmax問題，當b = 1時，在任一可行調(diào)度中，兩臺機器上工件的加工順序必然相同。

證明（反證法）：不失一般性，設在任一可行調(diào)度中M1上工件i在工件j之前加工，在M2上工件j在工件i之前加工，由于工件j必須要在M1上完成加工之后才能進入M2加工，并且工件i在工件j之前加工，因此工件i和工件j均需進入緩沖區(qū)，與b = 1的條件相矛盾。因此，兩臺機器上工件的加工順序必然相同。

根據(jù)定理１，我們可以得到以下推論：

推論１對于F2 | Bi = 1 | Cmax問題，最優(yōu)調(diào)度必然存在于排列排序中。

推論１表明，當存在緩沖區(qū)限制并且上限為１時，仍然存在基于排列排序的最優(yōu)解。進一步，當2 ≤ b ≤ +∞時，我們給出該問題的復雜性分析。

定理２具有最大緩沖區(qū)限制的兩階段置換流水車間調(diào)度問題F2 | Bi ≤ b | Cmax是強NP難的（2 ≤ b < +∞）。

不妨設工件數(shù)為4n + 1，緩沖區(qū)容量限制為2 ≤ b < +∞，且

A：p01 = 0，p02 = （b + 1/2）M

B：pi1 = 1/2 M，pi2 = ci，i = 1，…，3n

C：p3n + i，1 = bM，p3n + i，2 = （b + 1/2）M，i = 1，…，n - 1

D：p4n，1 = （b + 1/2）M，p4n，2 = 0

我們注意到，如果三劃分問題有解當且僅當調(diào)度中各工件之間無空閑時間，即C*max = n（b + 3/2）M + （b + 1/2）M為工件分別在M1，M2上的加工時間之和。

2.１工件A最先加工

反證法：若工件A不是第一個加工，即A在Bi或Ci之后加工，顯然會使M2上出現(xiàn)空閑，即Cmax > C*max，所以要三劃分問題有解，工件A必須第一個加工。

2.２工件D最后加工

反證法：若工件D不是最后加工，有任意的C中的工件Ji在D之后加工，均有：Si2 = max｛C3n，2，Ci，1｝ = max｛C3n，2，C4n，1 + bM｝，因為C3n，2 = C4n，1，所以Si，2 = Ci，1 > C3n，2，即M2出現(xiàn)空閑，Cmax > C*max。因此要保證得到最優(yōu)調(diào)度，D必須最后加工。若B中有工件在D之后加工，情況相同。

2.３緊鄰A之后的工件必須是B中的工件

反證法：若緊鄰A之后的工件是C中的工件Ji（i = 3n + 1，…，4n - 1），則Ji在第一階段M1上會產(chǎn)生長度為M/2的空閑時間，即Cmax > C*max，所以緊鄰A之后的工件必須是B中的工件。

2.４工件集合B中的工件數(shù)為３

因為M / 4 < ci < M / 2，設工件集合B中的工件數(shù)為n，則nM / 4 < nci < nM / 2，若要滿足調(diào)度中各工件之間無空閑時間，只有n = 3。

若排列在A和C中間的工件集合B中工件數(shù)是１，則，M1 ∶ t1 = 1/2 M + bM = （1/2 + b）M，M2 ∶ t2 = （b + １／２）M ＋ ci，故t2 - t1 = ci > 0，即Cmax > C*max。同理，工件集合B中工件數(shù)是２或者大于３時也會產(chǎn)生空閑時間，使得Cmax > C*max，因此工件集合B中工件數(shù)是３。

2.５緊鄰B之后的工件是C，且B與C交替排列

反證法：若緊鄰B之后的工件是B，則

M1 ∶ t1 = 1/2 M × 6 = 3M

M2 ∶ t2 = （b + １／２）M ＋ 3ci > 5/2 M + 3 × 1/4 M = 13/4 M > 3 M

即t2 > t1，則在M1上會出現(xiàn)（t2 - t1）時間的阻塞。

若緊鄰C之后的工件是C，顯然會在M1上出現(xiàn)長度至少為M的空閑。所以緊鄰B之后的工件是C，且B與C交替排列。

設Ji1、Ji2、Ji3是集合Nk∈N（k = 1，…，n）中的工件，又因為調(diào)度中各工件之間沒有空閑時間，因此有下列等式成立：

Cl2，1 = Cl1，1 + 1/2 M + 1/2 M + 1/2 M + bM = Cl1，1 + （b+ 3/2）M

Cl2，2 = Cl1，2 + ci1 + ci2 + ci3 + （b + 1/2）M

Cl2，2 = Cl2，1 + （b + 1/2）M

Cl1，2 = Cl1，1 + （b + 1/2）M

即：Cl2，1 + （b + 1/2）M = Cl1，2 + ci1 + ci2 + ci3 + （b + 1/2）M

Cl1，1 + （b+ 3/2）M + （b + 1/2）M = Cl1，1 + （b + 1/2）M + ci1 + ci2 + ci3 + （b + 1/2）M得ci1 + ci2 + ci3 = M

綜上所述，當2 ≤ b ≤ +∞時，三劃分問題可以歸約為問題F2 | Bi ≤ b | Cmax，因此，具有最大緩沖區(qū)限制的兩階段置換流水車間調(diào)度問題是強NP難的。

由此可知，當緩沖區(qū)b = 1時，滿足排列排序要求的任一工件加工序列均可構(gòu)成可行調(diào)度，而最優(yōu)調(diào)度必存在于排列排序中；當b ≥ 2時，問題F2 | Bi ≤ b | Cmax具有強ＮＰ難 的復雜性，下面將通過該問題與其特例在目標函數(shù)方面的分析，考慮其可行解的情況。

３目標函數(shù)的關系

具有最大緩沖區(qū)限制的流水車間調(diào)度問題存在以下兩種特例：當緩沖區(qū)為零時，該問題轉(zhuǎn)化為阻塞流水車間調(diào)度問題；當緩沖區(qū)上限趨于無窮時，該問題轉(zhuǎn)化為一般流水車間調(diào)度問題。

下面將討論F2 | Bi ≤ b | Cmax與兩階段阻塞流水車間調(diào)度問題和兩階段流水車間調(diào)度問題目標函數(shù)之間的關系。

設F2 | Bi ≤ b | Cmax的最優(yōu)目標值為Cmax（LBFSS），與之相對應的阻塞問題最優(yōu)目標值為Cmax（BFSS），一般問題的最優(yōu)目標值為Cmax（FSS），則三者之間存在以下關系：

定理３對于F2 | Bi ≤ b | Cmax問題，存在Cmax（LBFSS） ≥ Cmax（FSS）成立。

證明：設π為F2 | Bi ≤ b | Cmax的任一可行解，在F2 || Cmax中相應的存在一個π′，與其具有相同的加工順序。在π′中若存在不滿足最大緩沖區(qū)限制約束的工件，則需要將開工時間向右移動，以滿足B的要求，如圖２所示。 因而Cmax（π） ≥ Cmax（π′），又因π為F2 | Bi ≤ b | Cmax為問題的任一可行解，因此Cmax（LBFSS） ≥ Cmax（FSS）。

定理４對于F2 | Bi ≤ b | Cmax問題，存在Cmax（LBFSS） ≤ Cmax（BFSS）成立。

證明：設π為F2 | BFSS | Cmax的最優(yōu)解，由于阻塞流水車間不存在緩沖區(qū)，因此對于在M1上完成加工的工件只能停留在M1上，直到M2上空閑時才能繼續(xù)加工。與之相對應的問題F2 | Bi ≤ b | Cmax，存在解π′，當緩沖區(qū)有空閑時，在M1上完成加工的工件可進入緩沖區(qū)等待，在滿足緩沖區(qū)限制的條件下，可以將工件的開工時間適當提前，如圖３所示，因此，Cmax（LBFSS） ≤ Cmax（BFSS）。

ＬＢＦＳＳ問題的兩個特例在兩階段的情況下都存在基于排列排序的最優(yōu)啟發(fā)式算法：F2 || Cmax可采用Ｊｏｈｎｓｏｎ規(guī)則，F(xiàn)2 | BFSS | Cmax可采用Ｇｉｌｍｏｒｅ和Ｇｏｍｏｒｙ［12］提出的Ｇｉｌｍｏｒｅ－Ｇｏｍｏｒｙ算法，均可在多項式時間內(nèi)得到最優(yōu)解。通過上述定理３和定理４對F2 | Bi ≤ b | Cmax問題上、下界的探討，可以看出，當Cmax（FSS） = Cmax（BFSS）時，F(xiàn)2 | Bi ≤ b | Cmax問題的邊界值就是最優(yōu)目標值，并可將Ｇｉｌｍｏｒｅ－Ｇｏｍｏｒｙ算法得到的最優(yōu)解作為原問題較好的初始解。

４結(jié)論

在許多流程工業(yè)中，都會出現(xiàn)緩沖區(qū)有限的要求。本文對緩沖區(qū)有限的兩階段置換流水車間調(diào)度問題的基本性質(zhì)進行了研究，得出以下結(jié)論：當緩沖區(qū)上限約束比較緊時，該問題存在著基于排列排序的最優(yōu)調(diào)度，當緩沖區(qū)b ≥ 2時，問題具有強ＮＰ難的復雜性，進一步通過對原問題與其特殊情況三者之間在目標函數(shù)方面的分析，可知：Cmax（BFSS）和Cmax（FSS）可分別作為原問題目標函數(shù)值的上界和下界，并且由于F2 || Cmax和F2 | BFSS | Cmax均可在多項式時間內(nèi)得到最優(yōu)解，因此，原問題可利用Ｇｉｌｍｏｒｅ－Ｇｏｍｏｒｙ算法獲得較好的初始調(diào)度。

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