基于混沌時間序列的多步預(yù)測方法研究?

陸建山,王昌明,張愛軍,孫 罡

(南京理工大學(xué)機械工程學(xué)院,江蘇南京 210094)

海上載體工作時極易受到浪、涌等因素的影響,不可避免地發(fā)生搖擺運動,該運動對平臺上設(shè)備的正常工作極其不利.目前對海上載體運動狀態(tài)的研究多集中于海浪作用下的大型艦船,現(xiàn)有的各種減搖裝置多為被動式控制,若能預(yù)知載體運動進(jìn)而提前控制,將極大地改善減搖效果[1].海上多功能穩(wěn)定平臺作為浮式平臺獨立工作時,相對于大型艦船,更易受到海浪的影響.因此,有必要對海上多功能穩(wěn)定平臺的載體橫滾姿態(tài)預(yù)測問題進(jìn)行深入研究.

海上載體運動姿態(tài)的預(yù)測方法主要有時域分析法和頻域分析法,時域分析法可在線參數(shù)估計和建模,比頻域法更接近海上實際情況.常用的時域分析法有AR(自回歸模型)、周期圖法、混沌時間序列法等,文獻(xiàn)[1]應(yīng)用AR模型對船舶橫搖運動時間序列預(yù)報并取得了較好的效果,預(yù)報誤差為4.4%左右;文獻(xiàn)[2]建立了基于混沌理論相空間重構(gòu)技術(shù)的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型,并將其應(yīng)用于艦船搖蕩運動極短期預(yù)測中.雖然上述文獻(xiàn)都取得了預(yù)期的效果,但均局限于海上載體運動的短期預(yù)測.文獻(xiàn)[2]中說明了艦船搖蕩運動具有混沌特性,本文擬采用混沌時間序列加權(quán)一階局域法對試驗水池實測數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測,并通過誤差預(yù)測值實時補償時間序列預(yù)測值,實現(xiàn)橫滾姿態(tài)的多步預(yù)測.

1 加權(quán)一階局域法原理

1.1 混沌特性判定

實測時間序列不可避免地帶有噪聲,而混沌是確定性非線性系統(tǒng)產(chǎn)生的一種類似隨機的不規(guī)則運動,其與隨機噪聲有本質(zhì)的區(qū)別,兩者不可混淆,因此在對時間序列應(yīng)用混沌時間序列方法分析之前首先得判定其混沌特性.目前已有多種混沌特性判定方法,如Poincare截面法、Lyapunov指數(shù)法、指數(shù)衰減法、頻閃法等.本文擬采用最大Lyapunov指數(shù)對試驗池實測時間序列是否具有混沌特性做出判定.Lyapunov指數(shù)是沿軌道長期平均的結(jié)果,是一種整體特征,若系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)小于0,那么該系統(tǒng)的變化有確定性的規(guī)律,非混沌時間序列,若系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)大于0,則系統(tǒng)一定是混沌的,其可預(yù)測的時間跨度近似地認(rèn)為是Lyapunov指數(shù)的倒數(shù)[3].

1.2 加權(quán)一階局域法模型[4-7]

設(shè)某系統(tǒng)變量的時間序列為{x1,x2,…,xN),N為序列長度,其重構(gòu)后的相空間為

式中:m為嵌入維數(shù);τ為時間延遲,M=N-(m-1)τ.

由式(1)可見,為得到重構(gòu)相空間,必須選擇合適的嵌入維數(shù)和時間延遲,本文采用C-C法計算m和τ.C-C法應(yīng)用關(guān)聯(lián)積分同時估計出時間延遲τ和嵌入窗寬τω的值,再利用 τω=(m-1)τ求出嵌入維數(shù)m.

設(shè)中心點為YM,YMi(i=1,2,…,q)為中心點的鄰近點,并且到Y(jié)M的距離為di,dmin是di中的最小值,定義點YMi的權(quán)值為

則一階局域線性擬合為

式中:a,b為擬合系數(shù);YMi+1=(YM1+1,YM2+1,…,YMq+1)T是YMi=(YM1,YM2,…,YMq)T演化一步后的相點.

當(dāng)m=1時(m＞1情況類似),根據(jù)加權(quán)最小二乘法,有:

解式(4)得到擬合系數(shù)a,b,并帶入一步預(yù)測公式Y(jié)M+1=a+bYM,得YM=(xM,xM+τ,…,xM+(m-1)τ)的一步預(yù)測YM+1=(xM+1,x(M+τ)+1,…,x(M+(m-1)τ)+1),YM+1中的x(M+(m-1)τ)+1即為原序列的一步預(yù)測值 ^xN+1.

2 加權(quán)一階局域法多步預(yù)測方法

將預(yù)測值作為新息加入原時間序列并重復(fù)一步預(yù)測步驟即可實現(xiàn)多步預(yù)測,但這種方式會造成誤差的大幅積累.因此,本文旨在尋找一種既能抑制誤差積累,同時又不損失算法速度的方法解決上述問題.文中設(shè)想在對時間序列預(yù)測時,將誤差序列作為另一時間序列,使用一種簡單快速的方法同時對誤差進(jìn)行預(yù)測,然后用誤差預(yù)測值實時修正時間序列預(yù)測值.其算法流程為:①讀取時間序列值,計算嵌入維數(shù)m和時間延遲τ;②進(jìn)行相空間重構(gòu),并判定混沌特性;③運用加權(quán)一階局域法進(jìn)行預(yù)測;④對誤差序列進(jìn)行預(yù)測,得到當(dāng)前誤差預(yù)測值;⑤用誤差預(yù)測值對加權(quán)一階局域法預(yù)測值進(jìn)行修正,并作為最終的時間序列預(yù)測值輸出;⑥將誤差修正前的預(yù)測值帶入原時間序列、將誤差預(yù)測值帶入誤差序列并去掉最早時刻的誤差數(shù)據(jù),讀取新序列,轉(zhuǎn)至 ③.

重復(fù)上述步驟,直至預(yù)測結(jié)束.對于 ④中的誤差序列預(yù)測,下文給出了兩種不同的方法.

2.1 平均值法

平均值法是誤差序列外推最為簡單的方法之一,為保證預(yù)測速度同時又不失預(yù)測準(zhǔn)確性,采用當(dāng)前預(yù)測的前4個誤差值進(jìn)行平均值法外推,計算出當(dāng)前時刻的誤差值,其預(yù)測模型為

式中:ei為當(dāng)前預(yù)測誤差,ei-1,ei-2,ei-3,ei-4分別為前4步的預(yù)測誤差,最初4步預(yù)測時,(ei-1,ei-2,

ei-3,ei-4)分別為(0,0,0,0),(ei-1,0,0,0),(ei-1,ei-2,0,0),ei-1,ei-2,ei-3,0).

2.2 LPC法[9]

平均值法的擬合系數(shù)固定,而LPC(Linear Predictive Coding,線性預(yù)測編碼)基于均方誤差最小原則對AR模型參數(shù)進(jìn)行估計,由過去樣本值直接決定一組擬合系數(shù),在語音信號處理等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用.

p階線性預(yù)測是將過去p個時刻的值通過線性預(yù)測系數(shù)加權(quán)得到當(dāng)前值,則有

式中:ai(=1,2,…,p)為線性預(yù)測系數(shù);p為預(yù)測階數(shù),本文p=4.

常見的線性預(yù)測系數(shù)方法有自相關(guān)法、格型法、協(xié)方差法等,其中自相關(guān)法運算速度較快.本文選用自相關(guān)法,利用杜賓(Durbin)算法提取線性預(yù)測系數(shù).

圖1 原始時間序列Fig.1 Original time series

3 試驗與分析

在南京理工大學(xué)水中兵器研究所的水靶道(110 m×2.5 m×2.5 m)中進(jìn)行了試驗,通過姿態(tài)測量系統(tǒng)采樣得到一組橫滾角度數(shù)據(jù),其樣本總長度為1 000 m,時歷如圖1所示.

3.1 加權(quán)一階局域法多步預(yù)測仿真分析

為應(yīng)用混沌時間序列預(yù)測方法進(jìn)行分析,首先應(yīng)用最大Lyapunov指數(shù)法對橫滾時間序列進(jìn)行混沌特性判定,通過C-C法計算嵌入維數(shù)和時間延遲τ以進(jìn)行相空間重構(gòu),其計算結(jié)果如表1所示.

表1 時間序列的混沌特性判定結(jié)果Tab.1 The judging results of chaotic characteristics of time series

由表1可見橫滾時間序列的最大 Lyapunov指數(shù)大于0,故判定序列為混沌時間序列,可應(yīng)用加權(quán)一階局域法進(jìn)行預(yù)測.采用前900個點進(jìn)行相空間重構(gòu)后作為預(yù)測樣本,后 100個點作為檢驗樣本,應(yīng)用無補償?shù)募訖?quán)一階局域法對后100步進(jìn)行預(yù)測,預(yù)測效果如圖2所示.

由圖2可見:無補償?shù)募訖?quán)一階局域法在最初十幾步內(nèi)的預(yù)測基本可信,其后的預(yù)測可信度很差.且隨著預(yù)測步數(shù)的增加,誤差有發(fā)散跡象.出現(xiàn)這種情況主要是因為第二步預(yù)測會用到第一步的預(yù)測值,依此遞推,因此出現(xiàn)了誤差的累積.這也驗證了混沌時間序列可應(yīng)用于運動姿態(tài)的短期預(yù)測中,但其多步預(yù)測效果較差,需對算法進(jìn)行改進(jìn).

圖2 無誤差補償?shù)亩嗖筋A(yù)報Fig.2 Multi-step predicting without error compensation

3.2 誤差補償?shù)亩嗖筋A(yù)測仿真分析與對比

為解決誤差累積的問題,本文將采取誤差補償?shù)姆椒▽訖?quán)一階局域法的預(yù)測值進(jìn)行在線修正.分別采用平均值法誤差補償和LPC法誤差補償?shù)亩嗖筋A(yù)報方法對后100步進(jìn)行預(yù)測,兩種方法的預(yù)測效果如圖3,圖4所示.為更好地說明預(yù)測算法性能,方便各種方法間的對比分析,使用最大預(yù)測誤差、絕對誤差均值以及相對均方誤差作為性能評價指標(biāo),對各種方法給出評價.其中,相對均方誤差反映了預(yù)測值相對于實際觀測值的偏離程度.各方法的性能指標(biāo)評價結(jié)果見表2.

圖3 平均值法誤差補償?shù)亩嗖筋A(yù)報Fig.3 Multi-step predicting with error compensation by the mean

圖4 LPC法誤差補償?shù)亩嗖筋A(yù)報Fig.4 Multi-step predicting with error compensation by LPC

表2 預(yù)測效果比較Tab.2 The comparison of predicting effects

結(jié)合圖2～圖4和表2,可得:

1)經(jīng)過誤差補償處理后的多步預(yù)測,精度得到了很大提高.兩種補償預(yù)測方法中,平均值法誤差補償?shù)念A(yù)測效果較差,但由表2可見其預(yù)測的整體效果相對于無誤差補償?shù)亩嗖筋A(yù)測也提升了近一倍.其預(yù)測曲線與圖2相比,改善了無誤差補償時,誤差累積的影響,僅在預(yù)測曲線尾部拐點處出現(xiàn)了較大誤差,相對均方誤差為0.000 447 21,與實際觀測曲線也較為吻合.

2)LPC法每次均通過過去的預(yù)測誤差樣本在線擬合出一組系數(shù),改善了平均值法系數(shù)固定的缺點,故LPC法誤差補償?shù)亩嗖筋A(yù)測效果優(yōu)于平均值法.其最大誤差僅為 0.822 96°,相對于無補償時的-3.2758°有了很大提高,且絕對誤差均值只有0.264 94°.由圖4可看出,除拐點處個別較大誤差外,其預(yù)測曲線與實際觀測曲線吻合度很高,表2也可說明了這一點,其相對均方誤差僅為0.000 214 36.

4 結(jié) 論

本文從多功能穩(wěn)定平臺運動姿態(tài)研究的實際需要出發(fā),提出使用誤差補償?shù)募訖?quán)一階局域多步預(yù)測方法對平臺載體橫滾姿態(tài)進(jìn)行預(yù)測.文中給出了兩種誤差補償?shù)姆椒?并進(jìn)行了詳細(xì)描述.對試驗水池的實測數(shù)據(jù)運用最大Lyapunov指數(shù)法進(jìn)行混沌特性判定后,分別使用兩種方法進(jìn)行預(yù)測,并與無誤差補償?shù)亩嗖筋A(yù)測進(jìn)行對比分析.結(jié)果表明,誤差補償?shù)亩嗖筋A(yù)測方法抑制了誤差的累積,達(dá)到了預(yù)期的預(yù)測精度,同時通過誤差評價指標(biāo)表明LPC法的預(yù)測精度最高,且算法過程較簡單,可用于穩(wěn)定平臺載體橫滾姿態(tài)的多步預(yù)測.

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