磷礦堆場多目標優(yōu)化配礦模型

李志國，崔周全，張電吉，陳鵬能

(1.云南磷化集團，云南 昆明 650600；2.武漢工程大學環(huán)境與城市建設學院，湖北 武漢 430074)

0 引 言

配礦是礦物資源質(zhì)與量的相互協(xié)調(diào)與均衡，是一項多階段的工藝過程，它貫穿于從礦山規(guī)劃、計劃到礦山生產(chǎn)整個過程和各個生產(chǎn)環(huán)節(jié).堆場配礦是這一整體系統(tǒng)的重要環(huán)節(jié)之一，特別是對像磷礦礦石特征各異，原礦品質(zhì)差異大，脈石對選礦、磷化工影響嚴重的一類礦產(chǎn)資源，堆場配礦具有舉足輕重的地位[1].

對配礦計劃數(shù)學模型的分析和研究，國內(nèi)外有很多研究成果可以借鑒.其解決方式也多種多樣，比較成熟的技術如線性規(guī)劃[2-9]、0-1整數(shù)規(guī)劃法[10]、UM模型[11]、非線性回歸分析等等.其中胡清淮[6]在建立線性規(guī)劃模型基礎上，對模型退化性進行了討論，并借助計算機用逆矩陣單純形法完成了求解計算；戚國安和舒航[7]對應用線性規(guī)劃模型配礦中的隨機誤差進行了分析，通過計算期望產(chǎn)值，確定理想配礦品位，并指出配礦質(zhì)量控制對礦山經(jīng)濟效益有著重要影響.張立溥和胡清淮[8]分析了配礦模型中的目標函數(shù)系數(shù)靈敏度的重要性.劉文生應用模糊線性規(guī)劃的方法[9]，分析了礦山企業(yè)生產(chǎn)過程中包含許多非確定性的因素和模糊特征的主體網(wǎng)絡系統(tǒng).

以上線性規(guī)劃等配礦構模一般以經(jīng)濟效益為目標，對產(chǎn)能、有益有害組分、非負性等進行約束，建立模型求解.而在礦山實際配礦過程中，配礦目標往往不只一項，且很多情況下，各子目標可能是相互沖突的，非多目標規(guī)劃模型就顯得無能為力.眾多學者嘗試了多目標規(guī)劃模型[12-16]通過引入模糊方法等，對目標重要性處理開展了大量研究[17-19]，取得一定成果.

然而，常規(guī)的多目標解算方法不能有效地解決諸多配礦實際問題及要求[20]，模糊多目標等算法[17-19]較為復雜，現(xiàn)實生產(chǎn)中，多目標規(guī)劃仍未能成為配礦領域內(nèi)實用性及通用性更強的方法.目前仍以線性構模為主要手段，存在著不足之處.

筆者基于磷礦堆場實際生產(chǎn)工藝過程，建立堆場多目標配礦模型，較完整描述該工藝階段需要達到的配礦目標基礎上，應用Matlab優(yōu)化工具箱中多目標規(guī)劃工具，實現(xiàn)了堆場配礦多目標規(guī)劃模型簡便、有效求解，實際操作性強.

1 多目標優(yōu)化配礦模型

1.1 多目標優(yōu)化原理

多目標優(yōu)化問題(multi-objective optimization problem, MOP)又稱為多標準優(yōu)化問題.不失一般性，一個具有n個決策變量，m個目標變量的多目標優(yōu)化問題[21]可表述為

(1)

其中，x=(x1,…,xn) ∈X?Rn為n維的決策矢量，X為n維的決策空間，y=(yl,…,ym) ∈Y?Rm為m維的目標矢量，Y為m維的目標空間.目標函數(shù)F(x)定義了m個由決策空間向目標空間的映射函數(shù)；gi(x)≤0(i=1,2,…,q)定義了q個不等式約束；hj(x)=0(j=1,2,…,p)定義了p個等式約束.

對于多目標優(yōu)化問題有如下重要定義[22-23]：

定義1(可行解)：對于某個x∈X，如果x滿足(1)中的約束條件gi(x)≤0 (i=1,2,…,q)和hj(x)=0 (j=1,2,…,p)，則稱x為可行解.

定義2(可行解集合)：由X中的所有的可行解組成的集合稱為可行解集合，記為Xf，且Xf?X.

定義3(Pareto占優(yōu))：假設xA,xB∈Xf是式(1)所示多目標優(yōu)化問題的兩個可行解，則稱與xB相比xA是Pareto占優(yōu)的，當且僅當

?i=1,2,…,m,fi(xA)≤fi(xB)Λ?j=1,2,…,m,fj(xA)

(2)

記作xA?xB，也稱為xA支配xB.

定義4(Pareto最優(yōu)解)：一個解x*∈Xf被稱為Pareto最優(yōu)解(或非支配解)，當且僅當滿足如下條件:

?x∈Xf∶x?x*

(3)

定義5(Pareto最優(yōu)解集)：Pareto最優(yōu)解集是所有Pareto最優(yōu)解的集合，定義如下:

(4)

多目標優(yōu)化問題各子目標之間具有較強的耦合性及沖突性，多個子目標不可能同時達到最優(yōu)，只能在他們中間進行協(xié)調(diào)和折中處理，使各子目標函數(shù)盡可能達到最優(yōu).Pareto最優(yōu)解即是一個可以接受的“不壞”的解，通常一個多目標問題會具有多個Pareto 最優(yōu)解.在實際應用問題中，必須根據(jù)對問題的了解程度和決策人員的個人偏好，從 Pareto 最優(yōu)解集中挑選一個或一些解作為多目標優(yōu)化問題的最優(yōu)解.

1.2 磷礦堆場多目標優(yōu)化配礦模型

隨著磷礦逐年開采，富礦越來越少，磷礦石品質(zhì)逐漸變差，越來越多的礦石采出后不易直接進入浮選流程.通常運至堆場分堆堆放，根據(jù)入選原礦要求進行礦石混配后再進入破碎—磨浮流程.

入選原礦一般要求滿足各組分指標的同時，最大限度利用礦石.

假設有n堆原礦參與配礦，各堆礦量為Mi噸(i=1,…,n)，主要品質(zhì)指標為P2O5、MgO及倍半氧化物，目前考察礦山倍半氧化物均滿足礦石入選要求，該配礦模型暫不考慮倍半指標要求，故考慮品質(zhì)參數(shù)如下：

pi為第i堆原礦石P2O5的含量，%，(i=1,…,n)；

mgi為第i堆原礦石MgO的含量，%，(i=1,…,n)；

參照多目標規(guī)劃一般形式(1)可對配礦模型表示入下：

(5)

式(5)中：mi為決策變量，即第i堆礦石配礦量，噸.其中，目標函數(shù)具有理想目標值.

通常提高礦石P2O5的含量，MgO等雜質(zhì)的含量將會升高，兩目標相互沖突，即某一子目標的改善將引起其他子目標性能的降低.故模型為典型多目標規(guī)劃問題.

2 多目標優(yōu)化模型解算

處理多目標優(yōu)化的方法比較多，如約束法、評價函數(shù)法、功效系數(shù)法等[24].隨著計算機應用技術的發(fā)展，各種用于多目標優(yōu)化解算的軟件層出不窮.Matlab作為三大數(shù)學軟件之一，其強大的科學計算功能和覆蓋面廣、專業(yè)性強的工具箱發(fā)展成為適合多學科、跨平臺的大型實用科學計算軟件，也為最優(yōu)化問題的解決提供了有力工具.

2.1 基于Matlab多目標優(yōu)化模型解算技術

Matlab優(yōu)化工具箱功能涵蓋：無約束條件非線性極小值；約束條件下非線性極小值，包括目標逼近問題、極大-極小值問題和半無限極小值問題；二次規(guī)劃和線性規(guī)劃問題；非線性最小二乘逼近和曲線擬合；非線性系統(tǒng)的方程求解；約束條件下的線性最小二乘優(yōu)化；復雜結構的大規(guī)模優(yōu)化問題等.其中對于多目標規(guī)劃問題，Matlab可以利用不同函數(shù)進行求解.例如：在評價函數(shù)法中我們所得最后評價函數(shù)為一線性函數(shù)，且約束條件也為線性函數(shù)，則可直接利用工具箱提供的線性規(guī)劃函數(shù)linprog進行求解；若得到評價函數(shù)為非線性函數(shù)，則可利用fmincon函數(shù)求解；如果采用極大極小法求解，則可直接利用工具箱中fminimax函數(shù)求解.

對于式(5)表示的配礦模型，原礦石P2O5及MgO的含量均有一確定目標值，可直接調(diào)用fgoalattain函數(shù)求解.其一般調(diào)用格式如下：

[x,fval]=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)

其中，x、fval為函數(shù)返回的決策變量及目標函數(shù)向量值；fun為需要最小化的目標函數(shù)；x0為求解的初始值；goal為目標函數(shù)期望值；weight為目標權重，其他相關信息詳見Matlab優(yōu)化工具箱手冊.

選廠對入選原礦不同組分的品質(zhì)要求，可以通過對goal與weight參數(shù)的控制設置來實現(xiàn).輸入?yún)?shù)中的weight變量為權重向量，可控制低于或超過函數(shù)指定目標的相對程度；設置硬約束，以表示某一組分含量嚴格達到目標值.

2.2 解算實例

為了驗證該算法的有效性，計算文獻[25]實例如下:

目標規(guī)劃模型為：

(6)

f1(x)和f2(x)在同一優(yōu)先級下，f1(x)的上限值為20，f2(x)的下限值為800，采用本文解法及文獻[25]解法結果比較如表1.

表1 多目標規(guī)劃不同解算方法結果對比Table 1 Results comparison during different solving method for multi-objective optimization

從求解結果對比可以發(fā)現(xiàn)，單純型法得到的解不是決策者滿意解，而采用Matlab優(yōu)化工具箱fgoalattain函數(shù)得到的解及文獻[25]遺傳算法得到的三個解均為決策者滿意解.并且，針對該類具有目標值約束或確定期望值的特殊小型多目標規(guī)劃問題，fgoalattain函數(shù)具有參數(shù)設置方便，求解簡單的優(yōu)勢.

3 磷礦堆場多目標優(yōu)化配礦實現(xiàn)

針對某磷礦堆場多目標優(yōu)化配礦模型，應用Matlab優(yōu)化工具箱中多目標優(yōu)化函數(shù)求解實驗如下：

某礦浮選廠堆場一月份共堆存來自4處不同礦源的原礦待處理，各堆參數(shù)如表2所示：

表2 某礦堆場入選原礦庫存情況表Table 2 Inventory of raw ore in a stockyard

選廠入選原礦石主要指標要求如表3所示：

表3 某浮選廠入選原礦品質(zhì)要求Table 3 Ore quality requirements for mineral processing

假設A、B、C、D礦堆配礦量分別為：m1、m2、m3、m4噸，根據(jù)式(5)構建優(yōu)化模型如下：

(7)

設置目標函數(shù)期望值為60 613.91，23.05,4.2；嚴格控制P2O5含量不低于23.05%，MgO不超過4.2%.應用fgoalattain函數(shù)解算結果如下：

m1=18 174.1，m2=0，m3=4 014.0，m4=8 333.4即A∶C∶D≈9∶2∶4

對應目標函數(shù)結果為：30 521.5，23.05，4.2；計算結果顯示按照A∶C∶D=9∶2∶4混配后，可以得到P2O5含量23.05%，MgO含量4.2%的礦石30 521.5 t.實際配礦操作后，混配礦石30 290 t，實測P2O5含量23.05%，MgO含量4.19%.礦石主要指標均滿足入選礦石要求，充分利用了低磷(C)及高鎂(D)磷礦石，配礦效果明顯.

4 結 語

a. 通過分析磷礦堆場配礦過程，選取P2O5、MgO質(zhì)量指標及磷礦石最大限度利用為目標，以堆場資源量及決策變量非負為約束，構建了磷礦堆場多目標配礦模型.

b. 磷礦堆場多目標配礦模型簡單、直觀、較完整的描述了堆場配礦工藝過程及目的，很好體現(xiàn)了礦石充分利用的宗旨，符合資源節(jié)約型社會建設要求.

c. 應用Matlab優(yōu)化工具箱多目標規(guī)劃相關函數(shù)，實現(xiàn)了磷礦堆場多目標配礦模型簡便、有效求解，證明了Matlab優(yōu)化工具箱對類似堆場多目標配礦模型求解的有效性.

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