陳美霞，牟彬杰，魏建輝，張曉宇

（華中科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，武漢 430074）

雙層圓柱殼內(nèi)外殼振動與聲輻射相似性研究

陳美霞，牟彬杰，魏建輝，張曉宇

（華中科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，武漢 430074）

文章基于有限元/邊界元方法計算了雙層圓柱殼空氣中的固有模態(tài)以及在水下激勵力作用下的振動與聲輻射響應(yīng)，分析了內(nèi)外殼振型的相似性，提出用相似性系數(shù)來描述振型的相似程度。最后分析了不同軸向位置處的內(nèi)外殼響應(yīng)相似程度，得出了一些結(jié)論：雙層殼內(nèi)外殼具有很強(qiáng)的相似性；實肋板處的相似性更好。本文為潛艇實驗測點布置位置的研究提供了一定的理論根據(jù)，具有一定的實用價值。

雙層圓柱殼；模態(tài)；振動；聲輻射；相似性

牟彬杰（1987-），男，碩士研究生，Email：21381495@qq.com。

1 引 言

雙層圓柱殼是潛艇艙段結(jié)構(gòu)的主要結(jié)構(gòu)形式，研究其在水下激勵力作用下的振動與聲輻射特性具有重大意義。對于中、低頻范圍內(nèi)的圓柱殼振動與聲輻射問題，陳美霞、駱東平等[1-4]研究了敷設(shè)阻尼材料以及殼間連接形式對圓柱殼體的聲輻射性能的影響；商德江、何祚鏞[5]利用有限元軟件Ansys和邊界元軟件Sysnoise對雙層加肋圓柱殼的水下受激振動與聲輻射作了數(shù)值分析研究；張阿漫、姚熊亮[6]等用有限元結(jié)合邊界元的方法研究了結(jié)構(gòu)形式對圓柱殼振動與聲輻射特性的影響。陳美霞、金家坤[7]等用解析法研究了不同連接形式下雙層殼內(nèi)外殼的聲振響應(yīng)。在進(jìn)行潛艇實驗時，殼體的振動和噪聲信號主要是通過布置在殼體上的傳感器來獲得，如何確定傳感器的布置位置和數(shù)量是潛艇實驗中必須解決的關(guān)鍵問題之一。賀云南、何琳[8]對美法海軍提出的傳感器均勻布置方法進(jìn)行了理論分析，結(jié)果表明噪聲測量系統(tǒng)傳感器均勻布置能夠滿足有限元理論要求。

本文選用了一個典型的有限長雙層圓柱殼模型，采用有限元結(jié)合邊界元的方法計算了水下雙層圓柱殼在激勵力作用下的振動與聲輻射特性，分析了內(nèi)外殼的固有模態(tài)、聲振響應(yīng)的相似性，得出了一些結(jié)論，從而可指導(dǎo)潛艇實驗的傳感器布置，具有一定的工程使用價值。

2 基本理論

2.1 有限元理論

結(jié)構(gòu)振動的有限元方程為：

式中：M、C和K分別為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣，阻尼矩陣和剛度矩陣；u¨、u˙和u分別為結(jié)構(gòu)節(jié)點的加速度向量、速度向量和位移向量；F為作用在節(jié)點上的載荷向量。一旦有限元模型和邊界條件給定，則參數(shù)M、C和K就唯一確定，那么在給定外力F后，就可以求解出結(jié)構(gòu)各節(jié)點上的加速度向量，速度向量和位移向量。

2.2 邊界元理論

對于單頻聲場，Helmholtz積分方程為[9]：

將方程（2）在積分邊界上離散化，將場點定義在邊界上，其位置向量為rp，那么就可以建立起邊界條件與未知主要變量的關(guān)系，則可以得到直接邊界元法的聲學(xué)方程[10]：

式中：A（ω ），B（ω）為影響矩陣。

2.3 模態(tài)振型相似性理論

根據(jù)模態(tài)理論，結(jié)構(gòu)任意頻率下的響應(yīng)可用結(jié)構(gòu)模態(tài)和模態(tài)參與因子線性表示[11]：

其中，q為響應(yīng)值，φi為第i階模態(tài)振型，li為第i階模態(tài)的參與系數(shù)。

在中低頻段，由于兩層殼體之間的耦合作用，兩層殼體的運動是一致的、整體性的，如果將雙層圓柱殼內(nèi)外殼體的響應(yīng)分別記為q內(nèi)和q外，對應(yīng)地將各階模態(tài)振型按內(nèi)殼和外殼分開表示，則響應(yīng)可以表示為：

對于內(nèi)外殼體的響應(yīng)來說，同一模態(tài)的參與因子是一樣的，因此內(nèi)殼和外殼響應(yīng)間的關(guān)系主要由對響應(yīng)起主要貢獻(xiàn)的模態(tài)對應(yīng)的內(nèi)殼和外殼間的振型關(guān)系決定。

因此，如果對內(nèi)外殼響應(yīng)起控制作用的模態(tài)振型很相似，那么內(nèi)外殼的振動與聲輻射響應(yīng)也會很相似。為了量化內(nèi)外殼振型的相似程度，便于更好地說明問題，本文提出了振型相似性系數(shù)：

式中，φ內(nèi)是內(nèi)殼的振型向量，φ外是外殼的振型向量，φ內(nèi)和φ外都是一個3n*1的列向量，n是節(jié)點個數(shù)，φ內(nèi)和φ外做內(nèi)積的時候?qū)?yīng)的節(jié)點必須是軸向、周向相同位置的節(jié)點，對應(yīng)節(jié)點的位移向量按照x、y、z的順序進(jìn)行排列。

內(nèi)外殼振型相似性系數(shù)可以直觀地定量判斷內(nèi)外殼振型相似性，β越大，說明內(nèi)外殼振型的相似性越好。

為了說明相似性系數(shù)的可行性，下面將結(jié)合算例進(jìn)行說明。

圖1 雙層圓柱殼Fig.1 Double cylinder

3 算例分析

3.1 計算模型

計算模型為雙層圓柱殼，如圖1。

幾何參數(shù)為：R1=3.5 m，h1=0.028 m，l1=0.6 m，R2=4.3 m，h2=0.01 m，l2=1.2 m，L=9.6 m。

殼體、環(huán)肋和縱骨材料相同，其彈性模量為2.1e+11 N/m2，泊松比為 0.3，密度為 7 850 kg/m3，損耗因子為0.01。流體的密度為1 000 kg/m3，聲速度為1 500 m/s。

有限元模型如圖2所示（由于對稱性只取一半模型）

3.2 空氣中模態(tài)分析

首先在Ansys中對該模型進(jìn)行了空氣中的模態(tài)分析，計算了前1 000階固有頻率，列出前10階模態(tài)的固有頻率及振型如表1所示。

圖2 雙層圓柱殼有限元模型Fig.2 Finite element model of double cylinder

表1 空氣中前10階模態(tài)Tab.1 The first 10 modes in the air

圖3 內(nèi)外殼空氣中模態(tài)云圖Fig.3 Modal fringe of the inner and outer shells in the air

給出其中具有代表性意義的第1和第9階模態(tài)的內(nèi)外殼模態(tài)云圖如圖3所示。

從圖3中可以看到，第1階整體模態(tài)內(nèi)外殼振型具有良好的相似性，而第9階實肋板局部模態(tài)內(nèi)外殼振型相似性不好。初步判斷，整體模態(tài)的內(nèi)外殼振型相似性要比局部模態(tài)的相似性更好。

3.3 內(nèi)外殼振型相似性

從圖3（a）中可以看到，整體模態(tài)內(nèi)外殼振型十分相似，但是云圖只能定性地反映內(nèi)外殼的相似性，而相似性系數(shù)能定量地反映內(nèi)外殼的相似程度。編程計算了前100階模態(tài)內(nèi)外殼振型相似性系數(shù)如表2及圖4所示。

圖4 前100階模態(tài)相似性系數(shù)Fig.4 The similarity coefficients of the first 100 modes

表2 前20階模態(tài)相似性系數(shù)Tab.2 The similarity coefficients of the first 20 modes

從圖4可以看到，前100階模態(tài)除了前幾階整體模態(tài)的相似性系數(shù)很大而外，曲線在第72階模態(tài)處也出現(xiàn)峰值，相似性系數(shù)為β72=0.98。提取第72階模態(tài)的內(nèi)外殼振型云圖如圖5所示。

圖5 第72階模態(tài)云圖Fig.5 The 72nd modal fringe

由圖5可以看出，第72階模態(tài)內(nèi)外殼振型呈現(xiàn)整體振動的形式，說明內(nèi)外殼出現(xiàn)整體振動模態(tài)時，相似程度很高，相似性系數(shù)很大。而其余的模態(tài)相似性系數(shù)都很小甚至為負(fù)值，這是因為在這些模態(tài)內(nèi)外殼上出現(xiàn)局部振動，甚至有內(nèi)外殼振動位移方向相反的情況。

由此可知，相似性系數(shù)β可以很好地反映內(nèi)外殼振動的相似程度。相似性系數(shù)大的均為內(nèi)外殼的整體模態(tài)，相似性系數(shù)小的均為殼體的局部模態(tài)，相似性系數(shù)為正值說明內(nèi)外殼振動位移為同相；相似性系數(shù)為負(fù)值說明內(nèi)外殼振動位移為反相。

3.4 內(nèi)外殼響應(yīng)相似性

計算模型如3.1所示，在Sysnoise中建立結(jié)構(gòu)有限元與間接邊界元的耦合模型，將3.2計算得到的1 000階空氣中模態(tài)導(dǎo)入有限元模型中，將邊界元模型的流體屬性定義為水的屬性，在內(nèi)殼L/2處施加徑向點力，計算得到雙層殼的振動響應(yīng)，然后從有限元模型中提取出內(nèi)、外殼體的振動響應(yīng)，然后分別以內(nèi)殼體、外殼體作為輻射面建立直接邊界元模型，最后將提取得到的振動響應(yīng)作為輻射邊界條件，計算得到內(nèi)、外殼體水下的均方振速及輻射聲功率如圖6所示。

圖6 內(nèi)外殼振動聲輻射曲線Fig.6 The curve of vibration and sound radiation of the inner and outer shells

從均方振速曲線上可以看到，整個頻段，兩條曲線峰值出現(xiàn)的位置基本相同，但外殼振動比內(nèi)殼振動峰值更多。在40 Hz以下的頻段，內(nèi)外殼振動曲線基本一致。內(nèi)殼體振動比外殼體略大，這是因為激勵力作用點在內(nèi)殼。40 Hz以上的頻段，隨著頻率升高，兩均方振速曲線開始分離，差距變大。

而從輻射聲功率曲線上可以看到，整個頻段，兩條曲線峰值出現(xiàn)的位置基本相同，兩條曲線呈現(xiàn)相同的變化規(guī)律。在30 Hz以下的頻段，外殼的輻射聲功率略大30 Hz以上，內(nèi)殼的輻射聲功率略大。

分析一個典型頻率下內(nèi)外殼振動的相似性，由圖 6（a）可知，21 Hz時，兩條曲線幾乎在同一位置。

在Sysnoise中提取結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)在21 Hz時對應(yīng)的各階模態(tài)參與因子見圖7。由于后面模態(tài)影響很小，只顯示了前800階模態(tài)的模態(tài)參與因子。

從模態(tài)參與因子上可以看出，對21 Hz結(jié)構(gòu)響應(yīng)起主要控制作用的前5階模態(tài)及對應(yīng)的模態(tài)參與因子為：第 1 階（5.2E-7），第 692 階（8E-8），第 3 階（3.1E-8），第 5 階（2.3E-8），第7 階（2.1E-8）。

提取這5階模態(tài)振型，內(nèi)外殼都呈現(xiàn)整體振動的形態(tài)，計算得其相似性系數(shù)皆大于0.9。

再分析一個中高頻率，由圖6（a），兩條曲線在89 Hz處差5個dB，提取結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)在89 Hz時對應(yīng)的各階模態(tài)參與因子如圖8。

從模態(tài)參與因子上可以看出，對89 Hz結(jié)構(gòu)響應(yīng)起主要控制作用的前5階模態(tài)及對應(yīng)的模態(tài)參與因子為：第 592 階（9.4E-8），第 561 階（7.2E-8）， 第 635 階 （5.4E-8）， 第 65 階（5.1E-8），第 48 階（3.8E-8）。

提取這5階模態(tài)振型，內(nèi)外殼振型都呈現(xiàn)局部振動的形態(tài)，相似性系數(shù)都小于0.4。

說明低頻段的振動響應(yīng)主要由前幾階內(nèi)外殼相似性系數(shù)較高的整體模態(tài)來控制，所以低頻段內(nèi)外殼的響應(yīng)曲線很相似，而隨著頻率升高，參與主要控制的局部模態(tài)增多，因此兩條曲線就逐漸分離。

這表明，在低頻段用內(nèi)殼振動來代替外殼振動預(yù)報聲輻射是可行的。

圖7 21 Hz時各階模態(tài)參與因子Fig.7 Modal participation factor at 21 Hz

圖8 89 Hz時各階模態(tài)參與因子Fig.8 Participation factor of every mode at 89 Hz

4 實驗測點布置的研究

前面已經(jīng)說明了在進(jìn)行潛艇噪聲測量的實驗時測點布置在內(nèi)殼是可行的，并且提出了內(nèi)外殼振型相似性系數(shù)β。本章在此基礎(chǔ)上，研究測點布置在肋位，肋中等時的內(nèi)外殼振動響應(yīng)的相似性。

計算模型、工況及邊界條件與第3章相同，分別提取出內(nèi)外殼對應(yīng)位置處節(jié)點的振動響應(yīng)，編寫程序計算內(nèi)外殼不同軸向位置處振動響應(yīng)的相似性系數(shù)α：

式中：ψ內(nèi)是內(nèi)殼振動點的振動位移向量，ψ外是外殼振動點的振動位移向量，ψ內(nèi)和ψ外都是一個3n*1的列向量，n是節(jié)點個數(shù)，ψ內(nèi)和ψ外做內(nèi)積的時候?qū)?yīng)的節(jié)點必須是內(nèi)外殼軸向、周向相同位置的兩個節(jié)點，對應(yīng)節(jié)點的位移向量按照x，y，z的順序進(jìn)行排列。

本章計算了5圈（一圈表示一整個圓周上的點）不同軸向位置的節(jié)點振動響應(yīng)的相似性系數(shù)，節(jié)點位置如圖9所示，相似性系數(shù)如圖10所示。

圖9中ai為外殼上的一圈節(jié)點，bi為內(nèi)殼上的一圈節(jié)點，aibi為第i組對應(yīng)節(jié)點，其中i=1，2，3，4，5。第1組和第5組節(jié)點位于肋位處，激勵力加在內(nèi)殼b1處，第2、3、4組節(jié)點在兩個肋位之間等間距分布。

由圖10可知，第1組和第5組的相似性系數(shù)比第2、3、4組的相似性系數(shù)大很多。由此可以得出：肋位處內(nèi)外殼的振動相似性要比肋中好，肋位處實肋板的連接作用增強(qiáng)了內(nèi)外殼振動的相似性。

所以，在布置測點的時候，應(yīng)優(yōu)先考慮布置在肋位處。

圖9 不同軸向位置的節(jié)點Fig.9 The nodes at various axial positions

圖10 不同軸向位置處內(nèi)外殼振動響應(yīng)相似性系數(shù)Fig.10 The similarity coefficients of vibration of the inner and outer shells at various axial positions

5 結(jié) 論

本文通過對水下雙層圓柱殼內(nèi)外殼模態(tài)

振型以及振動聲輻射響應(yīng)相似性進(jìn)行了分析計算，提出用相似性系數(shù)來描述內(nèi)外殼相似的程度，并在此基礎(chǔ)上證明了用內(nèi)殼振動響應(yīng)來預(yù)報外場輻射聲的可行性，為潛艇實驗測點布置提供了一定的理論依據(jù)。本文得到的結(jié)論主要有以下幾點：

（1）雙層圓柱殼的內(nèi)外殼整體模態(tài)振型的相似性很好，相似性系數(shù)β在0.9以上，其余的局部模態(tài)的內(nèi)外殼相似性不好，β在0.4以下，β為負(fù)值的模態(tài)表示內(nèi)外殼振動方向相反。

（2）內(nèi)外殼體分別的振動和聲輻射響應(yīng)曲線在中低頻段很相似，隨著頻率升高，兩條曲線分離，但仍具有相似的變化規(guī)律。這是因為中低頻段的響應(yīng)主要由前幾階整體模態(tài)控制，而這些整體模態(tài)的相似性系數(shù)都在0.9以上，因此內(nèi)外殼的響應(yīng)也很接近。高頻部分的響應(yīng)主要由高階的局部模態(tài)控制，這些局部模態(tài)的相似性系數(shù)都在0.4以下，因此內(nèi)外殼的響應(yīng)曲線分離。

（3）在中低頻段，進(jìn)行潛艇噪聲測量時測點布置在內(nèi)殼是可行的。并且，測點應(yīng)優(yōu)先考慮布置在實肋板或托板所在肋位上。

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Analysis of the vibration and sound radiation similarity between inner and outer shells of double cylindrical shell

CHEN Mei-xia,MOU Bin-jie,WEI Jian-hui,ZHANG Xiao-yu

(College of Naval Architecture and Ocean Engineering,Huazhong University of Science and Technology,Wuhan 430074,China)

FEM/BEM is used to analyze intrinsic modes in air and vibration and sound radiation of the double cylindrical shell in water under force excited state.The similarity coefficient is proposed to describe the similarity between inner and outer shells of double cylindrical shell.Finally,the similarity coefficient between inner and outer shells of double cylindrical shell at various axial positions is analyzed and calculated,and some useful conclusions are drawn:there is a good similarity between inner and outer shells of double cylindrical shell,the similarity at the position of solid floors is better than others.This paper provides some theoretical basis for arranging measuring-point in submarine experiment,which has a certain practical value.

double cylindrical shell;mode;vibration;sound radiation;similarity

TB532

A

1007-7294（2012）11-1329-08

2012-02-01基金資助：國家自然科學(xué)基金資助項目（50805055）；華中科技大學(xué)自主創(chuàng)新研究基金資助項目（2012QN056）作者簡介：陳美霞（1975-），女，華中科技大學(xué)船舶與海洋工程學(xué)院副教授，Email：chenmx26@163.com；