耿立輝 ，田立國 ，段海龍 ，路光達(dá)

（1.天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院，天津 300222；2.天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)天津市信息傳感與智能控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300222）

變量帶誤差（EIV）系統(tǒng)是一種同時(shí)考慮輸入輸出噪聲的模型結(jié)構(gòu)，是對只考慮輸出噪聲的傳統(tǒng)模型結(jié)構(gòu)的推廣。該系統(tǒng)的應(yīng)用范圍相當(dāng)廣泛，可應(yīng)用到生物醫(yī)學(xué)、化學(xué)、化學(xué)工程、土壤科學(xué)、計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理、機(jī)械工程、金融、生態(tài)學(xué)、地球科學(xué)、圖像系統(tǒng)以及時(shí)間序列分析等領(lǐng)域[1]。根據(jù)EIV系統(tǒng)輸入輸出擾動(dòng)噪聲的不同描述形式，不同研究人員提出了具有各自特點(diǎn)的辨識(shí)方法。一般來說，這些辨識(shí)方法可分成2類：一類是精確模型的辨識(shí)[2-10]；另一類是模型集合的辨識(shí)[11-18]。精確模型的辨識(shí)方法辨識(shí)得到的系統(tǒng)模型和噪聲模型具有唯一性，因此需要對噪聲統(tǒng)計(jì)特性和模型結(jié)構(gòu)進(jìn)行多種假設(shè)以保證可辨識(shí)性。模型集合的辨識(shí)方法辨識(shí)得到的是模型集合，集合中的任何模型都不能由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)證偽。

在現(xiàn)代過程工業(yè)中，大多數(shù)系統(tǒng)是連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，因此要求辨識(shí)方法能辨識(shí)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)。據(jù)研究，大多數(shù)現(xiàn)有EIV系統(tǒng)的辨識(shí)方法只辨識(shí)離散時(shí)間系統(tǒng)，能辨識(shí)連續(xù)時(shí)間EIV系統(tǒng)的辨識(shí)方法比較少[8-10]。為了滿足過程工業(yè)系統(tǒng)的辨識(shí)需求，本文將在離散時(shí)間系統(tǒng)辨識(shí)方法研究的基礎(chǔ)上，探索能進(jìn)行連續(xù)時(shí)間EIV系統(tǒng)辨識(shí)的L2最優(yōu)辨識(shí)方法。為了應(yīng)用已有頻域L2最優(yōu)辨識(shí)方法[15-18]，首先需要將時(shí)域數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成頻域數(shù)據(jù)，然后再利用雙線性變換將辨識(shí)得到的離散時(shí)間L2最優(yōu)模型變換為相應(yīng)連續(xù)時(shí)間模型。

本文采用標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)符號(hào)[19-20]：R1×n代表n維實(shí)數(shù)行向量集合；C代表復(fù)數(shù)集合；L2、H∞、L2（D）、H2（D）和H∞（D）均代表Hardy空間上定義的特定函數(shù)子空間。

1 連續(xù)時(shí)間EIV系統(tǒng)

連續(xù)時(shí)間EIV系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 連續(xù)時(shí)間EIV系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

過程工業(yè)中的EIV系統(tǒng)大多是連續(xù)時(shí)間的，如圖1所示的SISO連續(xù)時(shí)間EIV系統(tǒng)。根據(jù)圖1中的信號(hào)關(guān)系，可得到如下方程：

式中：P0（s）∈H∞為SISO連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)；u0和y0分別為P0（s）輸入和輸出信號(hào)；um和ym分別受到輸入噪聲nu0和輸出噪聲ny0的污染。假設(shè)這些信號(hào)均為L2空間中的信號(hào)。為了應(yīng)用頻域L2最優(yōu)辨識(shí)方法估計(jì)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)P0（s）的名義模型P（s），需要以一定采樣周期T獲取um和ym的時(shí)間序列數(shù)據(jù)，然后再利用快速傅里葉變換（FFT）將時(shí)域數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成相應(yīng)頻域數(shù)據(jù)。

2 L2最優(yōu)辨識(shí)方法的應(yīng)用

2.1 L2最優(yōu)模型

L2最優(yōu)辨識(shí)方法是一種針對離散時(shí)間EIV系統(tǒng)的頻域辨識(shí)方法。假設(shè)圖1中的相應(yīng)信號(hào)和系統(tǒng)的λ變換具有圖2所示結(jié)構(gòu)[15-16，18]。

圖2 離散時(shí)間EIV系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

圖2 中，P0（λ）∈H∞（D）為SISO離散時(shí)間系統(tǒng)。根據(jù)圖2中的信號(hào)流動(dòng)關(guān)系，有如下關(guān)系式成立：

式中：ym、um、ny0和nu0均為L（2D）空間中的信號(hào)。L2最優(yōu)辨識(shí)方法直接在L（2D）空間下對離散時(shí)間信號(hào)進(jìn)行如下正交分解

式中：G（λ）=[N（λ），D（λ）]∈H∞（D）為P（λ）的正規(guī)右圖符號(hào)（NRGS）[15-16，18]，其中N（λ）和D（λ）分別為P（λ）的分子因子和分母因子；G⊥（λ）∈H∞（D）為噪聲模型，表征為G（λ）的補(bǔ)內(nèi)因子（CIF）[15，16，18]。因此，L2最優(yōu)模型是由系統(tǒng)模型G（λ）和噪聲模型G⊥（λ）構(gòu)成的模型對。

2.2 模型優(yōu)化準(zhǔn)則

為了辨識(shí)得到P（s），需要先利用采集到的頻域?qū)嶒?yàn)數(shù)據(jù)估計(jì)出其離散時(shí)間模型P（λ）。為此，首先采用L2最優(yōu)辨識(shí)方法優(yōu)化P（λ）的任意一因子模型H（λ）=[N（Hλ），D（Hλ）]T∈H∞（D），即有P（λ）=N（Hλ）DH-（1λ）。L2最優(yōu)辨識(shí)方法利用具有較少保守性的v-gap度量[20]作為優(yōu)化準(zhǔn)則估計(jì)系統(tǒng)模型參數(shù)。為此，采用如下形式的最小化準(zhǔn)則優(yōu)化因子模型[15]

式中：Gmk是由角頻率ωk（k=1，…，N）處的輸入輸出頻域數(shù)據(jù)根據(jù)下式構(gòu)造而成

Hk（xn，xd）是ωk處H（λ）的參數(shù)模型，具體形式如下：

式中：xn∈R1×n和xd∈R1×n分別為NH（λ）和DH（λ）的參數(shù)（D）（l=0，1，…，n-1）是根據(jù)待辨識(shí)EIV系統(tǒng)的先驗(yàn)主導(dǎo)極點(diǎn)生成的廣義正交基函數(shù)[21]。

2.3 參數(shù)尋優(yōu)算法

針對最小化準(zhǔn)則式（8）的參數(shù)尋優(yōu)而言，有2種優(yōu)化算法可以應(yīng)用：一種是序貫線性矩陣不等式（SLMI）算法[13-15]；另一種是序貫二次規(guī)劃（SQP）算法[16]。SLMI算法具有很好的參數(shù)收斂性，但其計(jì)算量較大；SQP算法具有較小的計(jì)算量，但由于是一種非線性優(yōu)化算法，因而可能出現(xiàn)局部最優(yōu)解。因此，最好的辦法是將這2種優(yōu)化方法進(jìn)行有機(jī)地組合，即在初始迭代中應(yīng)用SLMI算法確定具有全局收斂性的一組參數(shù)初值，然后再切換成SQP算法進(jìn)行后續(xù)迭代，直至參數(shù)收斂。記此時(shí)的模型為（λ）。

3 連續(xù)時(shí)間L2最優(yōu)辨識(shí)模型及辨識(shí)步驟

為了從直接測量得到的輸入輸出實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)獲取連續(xù)時(shí)間EIV系統(tǒng)的L2最優(yōu)模型，所提出的辨識(shí)方法可總結(jié)為如下辨識(shí)步驟[15-17]。

步驟1 對數(shù)據(jù)長度為N的時(shí)域采樣數(shù)據(jù)um（k）和分別進(jìn)行傅里葉變換，獲得相應(yīng)頻域?qū)嶒?yàn)數(shù)據(jù)。

步驟3 根據(jù)系統(tǒng)的先驗(yàn)主導(dǎo)極點(diǎn)生成一組廣義正交基V（λ），并利用式（10）構(gòu)造參數(shù)化因子模型的頻率響應(yīng)Hk（xn，xd）。

4 仿真驗(yàn)證

本節(jié)將利用一數(shù)值仿真例驗(yàn)證所提出的連續(xù)時(shí)間L2最優(yōu)辨識(shí)方法的有效性。為了得到EIV系統(tǒng)辨識(shí)的仿真數(shù)據(jù)，采用MATLAB/Simulink實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的搭建，如圖3所示。

根據(jù)圖中待辨識(shí)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)P0的過渡過程時(shí)間Ts=0.498 7 s和最高工作頻率fmax=100 Hz，設(shè)計(jì)如下最大長度PRBS為[22]：

式中：Δt為移位脈沖周期；Np為循環(huán)周期。以此PRBS作為P0的持續(xù)激勵(lì)輸入u0，其響應(yīng)輸出為y0。輸入測量噪聲nu0和輸出測量噪聲ny0分別是方差為0.001的零均值高斯白噪聲。以采樣周期T=0.002 5 s對um和ym進(jìn)行采樣，數(shù)據(jù)長度N=512，并分別存為數(shù)據(jù)文件用于L2最優(yōu)模型的辨識(shí)。參數(shù)化模型H（λ）中參數(shù)維數(shù)n取2，V0（λ）、V1（λ）分別取為1和λ。

根據(jù)圖4～6中相應(yīng)模型的Nyquist曲線擬合程度可知，辨識(shí)得到的模型具有令人滿意的辨識(shí)精度。

5 結(jié)束語

本文針對過程工業(yè)中的EIV系統(tǒng)的辨識(shí)問題，提出了進(jìn)行連續(xù)時(shí)間L2最優(yōu)模型辨識(shí)的辨識(shí)方法，從而改善了現(xiàn)有連續(xù)時(shí)間EIV系統(tǒng)辨識(shí)方法稀缺的現(xiàn)狀。L2最優(yōu)辨識(shí)模型由NRGS描述的系統(tǒng)模型和CIF描述的噪聲模型組成。該模型為模型預(yù)測控制器的設(shè)計(jì)提供了參考依據(jù)。通過數(shù)值仿真實(shí)例驗(yàn)證了所提出的L2最優(yōu)辨識(shí)方法的有效性和實(shí)效性。

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