王善鋒

（山東省鄒平縣第一中學(xué)，山東 鄒平 256200）

17世紀(jì)二十年代，開普勒這位身材瘦小、高度近視的科學(xué)巨人，面對模模糊糊、疊影重重的天象，聆聽到了天宇的和聲，揭示了約束行星運(yùn)動(dòng)的法則，給天庭立了法，把人們從盲目的對“天”的崇拜引向?qū)μ斓奶骄?開普勒第三定律揭開了天文學(xué)研究的新紀(jì)元，為人類的發(fā)展立下了不朽的功勛.本文歸類分析2011年全國及各省市高考試卷中應(yīng)用開普勒定律解題的問題，為今后復(fù)習(xí)這部分知識提供方便.應(yīng)用開普勒定律解決同一中心天體問題，簡潔有效，能夠使問題得以簡化，因而在復(fù)習(xí)中要引起重視.

1 開普勒第三定律的基本認(rèn)識

例1.（安徽卷第22題）（1）開普勒行星運(yùn)動(dòng)第三定律指出：行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的橢圓軌道的半長軸a的三次方與它的公轉(zhuǎn)周期T的二次方成正比，即是一個(gè)對所有行星都相同的常量.將行星繞太陽的運(yùn)動(dòng)按圓周運(yùn)動(dòng)處理，請你推導(dǎo)出太陽系中該常量k的表達(dá)式.已知引力常量為G，太陽的質(zhì)量為M太.

（2）開普勒定律不僅適用于太陽系，它對一切具有中心天體的引力系統(tǒng)（如地月系統(tǒng)）都成立.經(jīng)測定月地距離為3.84×108m，月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為2.36×106s，試計(jì)算地球的質(zhì) M地.（G＝6.67×10－11Nm2／kg2，結(jié)果保留一位有效數(shù)字）

解析：（1）因行星繞太陽作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，于是軌道的半長軸a即為軌道半徑r.根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律有

（2）在月地系統(tǒng)中，設(shè)月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R，周期為T，由（2）式可得

解得 M地＝6×1024kg（M地＝5×1024kg也算對）.

點(diǎn)評：開普勒第三定律是由太陽系總結(jié)得到的，但對于同一中心天體形成的系統(tǒng)都是成立的.應(yīng)用開普勒第三定律，要準(zhǔn)確找到中心天體，從而確定常量.將運(yùn)動(dòng)軌道簡化為圓軌道時(shí)，用軌道半徑代替半長軸，而后應(yīng)用開普勒第三定律，就能使問題得以解決.

2 開普勒第三定律認(rèn)識同“中”衛(wèi)（行）星問題

例2.（海南卷第12題）2011年4月10日，我國成功發(fā)射第8顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星，建成以后北斗導(dǎo)航衛(wèi)星系統(tǒng)將包含多個(gè)地球同步衛(wèi)星，這有助于減少我國對GPS導(dǎo)航系統(tǒng)的依賴，GPS由運(yùn)行周期為12小時(shí)的衛(wèi)星群組成，設(shè)北斗星的同步衛(wèi)星和GPS導(dǎo)航的軌道半徑分別為R1和R2，向心加速度分別為a1和a2，則R1∶R2＝________.a1：a2＝________（可用根式表示）.

點(diǎn)評：同“中”衛(wèi)星具有相同的中心天體，開普第三定律成立，將它們的軌道簡化為圓軌道后，由軌道半徑就可確定周期，或由周期就可確定軌道半徑，從而找到問題的突破口，使問題得以解決.

3 開普勒第三定律對衛(wèi)星追及問題的應(yīng)用

例3.（重慶卷第21題）某行星和地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道均可視為圓.每過N年，該行星會(huì)運(yùn)行到日地連線的延長線上，如圖1所示.該行星與地球的公轉(zhuǎn)半徑比為

圖1

解析：從行星運(yùn)行到日地連線的延長線上到下次再到日地連線延長線上，地球比該行星轉(zhuǎn)過的圓心角大2π，設(shè)行星的的周期為T，由此可知即，解得又地球與該行星都繞太陽轉(zhuǎn)，則根據(jù)開普勒第三定律得所以選項(xiàng)（B）正確.

點(diǎn)評：天體運(yùn)動(dòng)是天體在萬有引力的作用下做圓周運(yùn)動(dòng)，其角速度、線速度、加速度、周期在中心天體確定的情況下由軌道半徑?jīng)Q定.兩衛(wèi)星繞同一中心天體運(yùn)動(dòng)，軌道半徑與周期關(guān)系由開普勒第三定律找到聯(lián)系.不同軌道上衛(wèi)（行）星不可能直接追及相遇，但可以到達(dá)與中心天體的同一連線上，就可找到轉(zhuǎn)過的圓心角關(guān)系，進(jìn)而找周期關(guān)系，從而使問題找到突破口.

4 開普勒第三定律結(jié)合特殊天體特點(diǎn)認(rèn)知問題

例4.（全國新課標(biāo)第19題）衛(wèi)星電話信號需要通過地球同步衛(wèi)星傳送.如果你與同學(xué)在地面上用衛(wèi)星電話通話，則從你發(fā)出信號至對方接收到信號所需最短時(shí)間最接近于（可能用到的數(shù)據(jù)：月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑約為3.8×105km，運(yùn)行周期約為27天，地球半徑約為6400 km，無線電信號的傳播速度為3×108m／s）

（A）0.1s. （B）0.25s. （C）0.5s. （D）1s.

解析：由于同步衛(wèi)星與月球都是地球的衛(wèi)星，根據(jù)開普勒第三定律得即兩通話的最短距離為從地球到同步衛(wèi)星距離的2倍，即同步衛(wèi)星高度的2倍，即同步衛(wèi)星的軌道半徑減去地球半徑的2倍，所以有s＝2×（4.22×104－0.64×104）km＝7.16×104km，所需最短時(shí)間（B）選項(xiàng)對.

點(diǎn)評：月亮、同步衛(wèi)星都是地球的衛(wèi)星，它們的的周期已知，應(yīng)且開普勒第三定律，可以確定它們軌道半徑之間的聯(lián)系，從而使問題得以突破.

5 開普勒第三定律在變軌問題中的應(yīng)用

例5.（浙江卷第19題）為了探測X星球，載著登陸艙的探測飛船在該星球中心為圓心，半徑為r1的圓軌道上運(yùn)動(dòng)，周期為T1，總質(zhì)量為m1.隨后登陸艙脫離飛船，變軌到離星球更近的半徑為r2的圓軌道上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)登陸艙的質(zhì)量為m2則

（C）登陸艙在r1與r2軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度大小之比為

（D）登陸艙在半徑為r2軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為

點(diǎn)評：變軌就是通過變速，改變衛(wèi)星原軌道所需的向心力，從而使衛(wèi)星受到的引力與向心力不等而做離心或近心運(yùn)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)變軌.變軌過程中，由于衛(wèi)星始終繞同一天體運(yùn)動(dòng)，開普勒第三定律是認(rèn)知軌道半徑與周期聯(lián)系的有效關(guān)系.理解離心與近心運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)，撐握向心力與萬有引力的關(guān)系，知道穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)萬有引力提供衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向力，就能突破問題的障礙.