時標(biāo)上一類中立型動力方程的有界振動解

劉蘭初

（湖南工程學(xué)院 理學(xué)院，湘潭411104）

1 預(yù)備知識

自1998年Stefan Hilger［1］在他的博士論文中首次提出時標(biāo)上的微分方程理論以來，引起了人們廣泛的關(guān)注，取得了一些好結(jié)果，如 Aguwal［2－6］等人的工作.實數(shù)R的任意一個非空閉子集稱作一個時標(biāo)，本文以符號T 表示.例如，R、Z、N、［0，1］∪N，都是時標(biāo)。但有理數(shù)集，無理數(shù)集，開區(qū)間（0，1）等都不是時標(biāo)。關(guān)于時標(biāo)上一階中立型動力方程的定性理論的研究還很少，文獻［7］考慮了

的無界解，文獻［8］考慮了

的有界解.上兩方程都是在c＝1的情形.本文考慮測度鏈上中立型動力方程：

這里0＜c＜1，r＞0，θ＞δ≥0為常數(shù)，P，Q∈Crd［T，R＋）.本文采用如下記號：

2 主要結(jié)果

引理1 若H1－H3的假設(shè)成立，則方程

與

分別存在有界正解u1（t）和u（t），且

證明：方程（2）與 （3）的證明類似，我們只給出方程（2）的證明.考慮積分方程

選取t1充分大，使得

很明顯 H（t）∈Crd（［t1，∞），R＋］.定義

X的算子S，

這里m＝max｛θ，r｝顯然，

且

對任意x∈X，有：SX?X.

歸納證明得：

那么，可獲得：

定理1 假設(shè)H1－H3成立，則方程（1）存在一個有界正解.且對任意連續(xù)的以r為周期的振動函數(shù)ω（t），存在一個有界振動解x（t），使得

這里R（t）為rd－連續(xù)的實值函數(shù)，且

證明：設(shè)

這里u（t），u1（t）由引理2.1定義.由引理2.1知U（t）與U1（t）均為方程（1）的有界正解.由于方程（1）是線性的，故

也為方程（1）的解，且x（t）是（1）的有界振動解，且滿足（1）.證畢.

推論1 假設(shè)H1，H2，H4成立，則定理（2.1）成立.

證明：只須證明H4?H3即可.

則

［1］ S.Hilger.Analysis on Measure Chains A Unified Approach to Continuous and Discrete Calculus［J］.Re－sults in Matematics 1990（18）：18－56.

［2］ S.Hilger.Differential and Difference Calculus－Unified［J］.Nonlinear Analysis，1997，30（5）：2683－2694.

［3］ M.Bohner，A.Peterson.Dynamic Equations on time scales［M］.Boston：Birkhauser，2001.

［4］ R.P.Agarwal，M.Bohner.Basic Calculus on Time scales and Some of its Applications［J］.Results Math.，1999，35：3－22.

［5］ M.Bohner，J.E.Castillo，Mimetic Methods on Measure Chains［J］.Comput.Math.Appl.，2001，42：705－710.

［6］ L.Erbe and A.Peterson，Riccati Equations on a Measure chain，In Proc［M］.Dynamic Systems Appl.，Volume 3，Dynamic Publishers，2001：193－199.

［7］ 劉蘭初，龍玉花.測度鏈上一階中立型動力方程的無界解［J］.湖南工程學(xué)院學(xué)報（自科版），2006（4）.

［8］ 劉蘭初，劉光輝 .測度鏈上具有正負(fù)系數(shù)的中立型動力方程的有界解［J］.江西師范大學(xué)學(xué)報，2006（4）.