基于Pisarenko 譜估計(jì)的GPS 多普勒頻偏快速捕獲

楊曉波

（石家莊職業(yè)技術(shù)學(xué)院電子工程系 河北 石家莊 050081）

0 引言

提高GPS 接收機(jī)多普勒頻移的捕獲時(shí)間指標(biāo)具有重要的實(shí)際意義[1].GPS 接收機(jī)偽碼的捕獲是載波多普勒和碼相位的二維搜索,如圖1 所示.

圖1 偽碼相位和載波多普勒二維搜索

多普勒搜索步長(zhǎng)一般取2／3T[2],T 為積分時(shí)間,所以一般多普勒頻偏得估計(jì)精度為幾百赫茲, 這對(duì)于PLL 來(lái)講過(guò)于粗糙,并且PLL 對(duì)動(dòng)態(tài)非常敏感,所以一般接收機(jī)先由FLL 將多普勒頻差估計(jì)到一個(gè)比較小的范圍, 然后再切換到PLL 進(jìn)入跟蹤狀態(tài), 這樣就在多普勒的捕獲時(shí)間中增加了FLL 的收斂時(shí)間,同時(shí)捕獲虛警后的滯留時(shí)間也會(huì)加大,對(duì)此文獻(xiàn)[3]提出對(duì)解擴(kuò)后的信號(hào)利用FFT 來(lái)估計(jì)載波多普勒,由于FFT 頻率分辨率受到信號(hào)長(zhǎng)度的限制,該方法也不能取得很好的效果.例如, 在5MHz 的采樣率下要達(dá)到100Hz 的分辨率就需要10ms 數(shù)據(jù),50000 個(gè)采樣點(diǎn),這樣不但增加了捕獲時(shí)間同時(shí)還增大了計(jì)算量和存儲(chǔ)空間.文獻(xiàn)[4]提出了將多普勒搜索單元設(shè)窄一些,如250Hz、125Hz 提高多普勒頻率估計(jì)的分辨率.但該方法會(huì)加大搜索空間,非常耗時(shí).本文在研究解擴(kuò)后GPS 信號(hào)特點(diǎn)的基礎(chǔ)上提出利用Pisarenko 譜估計(jì)的方法利用很少的數(shù)據(jù)來(lái)精確估計(jì)多普勒以減少載波多普勒的平均捕獲時(shí)間.

1 FFT 快速捕獲原理與多普勒平均捕獲時(shí)間

1.1 多普勒FFT 快速捕獲原理

圖1 為PN 碼FFT 快捕的中頻數(shù)字化結(jié)構(gòu), 由數(shù)字下變頻、FFT 相關(guān)、檢測(cè)判決、解調(diào)、FLL 環(huán)路、符號(hào)時(shí)鐘恢復(fù)與保護(hù)等幾部分組成. 其中FLL 環(huán)路的工作流程是從接收數(shù)據(jù)流中提取頻偏估計(jì)值, 經(jīng)環(huán)路濾波后去控制本地NCO 的頻率,使其跟蹤輸入中頻信號(hào)的頻率變化, 從而使下變頻的輸出始終為零中頻數(shù)字基帶信號(hào).

接收機(jī)接收到的信號(hào)模型為：

其中M：可見(jiàn)衛(wèi)星個(gè)數(shù)；Di：電文；Pi：偽隨機(jī)碼；ωi：GPS 信號(hào)載波頻率加多普勒頻率；τi：信號(hào)延遲；φi：載波初始相位；n（t）：雙邊功率譜密度為N0／2 加性高斯白噪聲.

圖2 多普勒頻偏FFT 快捕的中頻數(shù)字化結(jié)構(gòu)

FFT 相關(guān)器同相、正交輸出：

其中,ε 為接收的偽隨機(jī)碼與本地偽隨機(jī)碼未完全對(duì)齊的基碼數(shù),ωd為載波的多普勒頻移,T 為相關(guān)積分時(shí)間,φ 為相位差,nI和nQ是相互獨(dú)立的基帶高斯白噪聲,相關(guān)輸出后計(jì)算同相、正交包絡(luò)：

一個(gè)頻點(diǎn)上包絡(luò)的最大值與恒虛警門(mén)限比較如果包絡(luò)大于門(mén)限,認(rèn)為捕獲成功,在沒(méi)有信號(hào)時(shí),包絡(luò)是服從瑞利分布的隨機(jī)過(guò)程[2],經(jīng)本文研究FFT 快捕恒虛警門(mén)限為：

其中,n 為FFT 點(diǎn)數(shù),σ 為1-sigma 噪聲功率, 但對(duì)于多普勒來(lái)講這只是實(shí)現(xiàn)了粗捕, 然后將粗捕后的多普勒傳遞給FLL, 經(jīng)過(guò)一定時(shí)間后環(huán)路鎖定則系統(tǒng)轉(zhuǎn)入頻率跟蹤狀態(tài),即捕獲成功,否則將重新回到粗略估計(jì)狀態(tài).

1.2 多普勒頻偏平均捕獲時(shí)間

圖3 多普勒頻偏捕獲狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖

根據(jù)以上分析可知,多普勒頻移捕獲算法分為兩個(gè)步驟：粗略估計(jì)和捕獲驗(yàn)證.首先,把接收機(jī)的頻域搜索范圍劃分為若干相等的頻率區(qū)間,各區(qū)間的中心頻率點(diǎn)設(shè)為fn.粗略估計(jì)就是對(duì)頻點(diǎn)fn上的最大相關(guān)值與門(mén)限比較, 如果大于門(mén)限則將NCO 固定在此頻率點(diǎn)上.系統(tǒng)隨即進(jìn)入捕獲驗(yàn)證狀態(tài),FLL環(huán)路對(duì)殘留頻偏進(jìn)行捕獲,若經(jīng)過(guò)時(shí)間Ts（FLL 收斂時(shí)間）后環(huán)路鎖定（殘留頻偏小于某個(gè)規(guī)定值）,則系統(tǒng)轉(zhuǎn)入頻率跟蹤狀態(tài)（即捕獲成功）,否則將重新回到粗略估計(jì)狀態(tài).

所以多普勒頻移的捕獲過(guò)程具有馬爾科夫性, 圖3 中狀態(tài)n（1,2,3,…）對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的粗略估計(jì)狀態(tài),另外兩種情況分別是捕獲狀態(tài)和虛警狀態(tài),捕獲狀態(tài)是馬爾科夫過(guò)程的穩(wěn)態(tài),設(shè)系統(tǒng)初始時(shí)刻處于狀態(tài)1, 經(jīng)FFT 快捕后判斷進(jìn)入其它狀態(tài)的轉(zhuǎn)移路徑：a.進(jìn)入捕獲狀態(tài)；b.進(jìn)入狀態(tài)2,即系統(tǒng)沒(méi)有滿(mǎn)足判決條件仍處于粗捕狀態(tài)；c.進(jìn)入虛警狀態(tài),經(jīng)驗(yàn)證后再回到粗捕狀態(tài)如此循環(huán),直到系統(tǒng)進(jìn)入捕獲狀態(tài),該過(guò)程轉(zhuǎn)移圖中各支路的增益表達(dá)式：

其中G 是頻率單元數(shù),Tc是一個(gè)頻點(diǎn)的駐留時(shí)間,Ts是虛警滯留時(shí)間,于是得到多普勒平均捕獲時(shí)間的生成函數(shù)：

式中PD,PFA,PM分別表示多普勒頻移捕獲的檢測(cè)概率、虛警概率和漏檢概率,由于PD＋PFA＋PM＝1，H1（1）＝PD，H2（1）＝PFA，H3（1）＝PM，H4（1）＝1 平均捕獲時(shí)間計(jì)算得：

其中G 為頻點(diǎn)的個(gè)數(shù),Ts是虛警滯留時(shí)間,也是多普勒虛警驗(yàn)證時(shí)間,對(duì)于有FLL 輔助的環(huán)路,就是FLL 的收斂時(shí)間,如果能夠?qū)⑦@個(gè)時(shí)間縮短,將縮短多普勒的平均捕獲時(shí)間.

2 Pisarenko 估計(jì)多普勒頻偏具體算法

由式（1）如果第j 個(gè)信號(hào)被捕獲,則解擴(kuò)后的信號(hào)模型為：

dsj（t）＝Dj（t－τj）sin（ωjt＋φj）

式（9）等號(hào)右邊第二項(xiàng)中Rij為第j 個(gè)偽隨機(jī)碼和第i 個(gè)偽隨機(jī)碼的互相關(guān), 研究表明互相關(guān)部分最大可能功率為－21dB[5],第三項(xiàng)為偽隨機(jī)碼和加性白噪聲的相關(guān).這兩部分可以看作高斯白噪聲, 第一項(xiàng)為載波部分, 其中載波相位φj是[-π，π ]之間均勻分布的隨機(jī)數(shù).所以,解擴(kuò)后的信號(hào)可以認(rèn)為是平穩(wěn)諧波過(guò)程與高斯白噪聲的和,這樣的觀測(cè)信號(hào),可以利用Pisarenko 譜估計(jì)對(duì)載波的多普勒頻率進(jìn)行高分辨率的估計(jì)[6]. Pisarenko 譜估計(jì)由于使用了奇異值分解和總體最小二乘方法,整個(gè)計(jì)算具有好的數(shù)值穩(wěn)定性,而且AR 階數(shù)和參數(shù)估計(jì)具有非常高的精確度[7].所以本文采用這種方法估計(jì)載波多普勒.

當(dāng)諧波信號(hào)在加性白噪聲中被觀測(cè)時(shí), 它的AR 參數(shù)和MA 參數(shù)完全相同一個(gè)特殊的隨機(jī)過(guò)程, 這一特殊的ARMA過(guò)程所服從的法方程為：

與修正的Yule-Walker 方程類(lèi)似, 該方程可以構(gòu)造超定的方程組,并使用SVD-TLS[6]算法求解.

具體算法：

步驟1 利用觀測(cè)數(shù)據(jù)的樣本自相關(guān)函數(shù)估計(jì)R?y（k）構(gòu)造法方程的擴(kuò)展階自相關(guān)矩陣

式中pe＞2p,并且M＞p；

步驟2 將矩陣Re當(dāng)作增廣矩陣,利用算法SVD-TLS 確定AR 的階數(shù)2p 和系數(shù)向量a 的總體最小二乘估計(jì)；

步驟3 計(jì)算特征多項(xiàng)式

步驟4 利用

計(jì)算載波的頻率.

3 計(jì)算機(jī)仿真及分析

3.1 載波多普勒估計(jì)精度

載波頻率為1.25MHz,多普勒頻率設(shè)為300Hz,采樣頻率5MHz,若多普勒搜索步長(zhǎng)為500Hz 則粗捕后多普勒最大誤差250Hz,通過(guò)一個(gè)以捕獲頻率為中心頻率帶寬1K 的帶通濾波器,此時(shí)擴(kuò)頻增益為33dB,考慮實(shí)際的較弱GPS 信號(hào)信噪比-20dB,解擴(kuò)后信噪比為13dB,仿真利用1ms 數(shù)據(jù).

由于估計(jì)的諧波頻率只有1 個(gè),所以式（10）中p=1,取M=12,pe=10,當(dāng)然也可以取其它值,只要滿(mǎn)足擴(kuò)展階自相關(guān)矩陣的要求即可.圖5 為信噪比13dB 時(shí)20 次仿真的譜估計(jì)圖,圖中實(shí)線為估計(jì)諧波功率譜密度,虛線所示為真實(shí)頻率,可以看出每次的估計(jì)結(jié)果非常穩(wěn)定.

圖4 本文方法估計(jì)載波多普勒

同時(shí)本文應(yīng)用三級(jí)最小二乘ARMA 參數(shù)模型法和FFT估計(jì)載波多普勒, 數(shù)據(jù)長(zhǎng)度1ms, 其它條件相同, 下表是Pisarenko、ARMA 參數(shù)模型法及FFT 三種估計(jì)方法的對(duì)比,表1 為仿真進(jìn)行50 次的頻率均方誤差（RMS）,由于FFT 的頻率分辨率對(duì)于1ms 的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為1kHz, 其輸出頻率為1kHz 的整數(shù)倍,所以其誤差不隨信噪比變化.

表1 1ms 數(shù)據(jù)頻率估計(jì)RMS（Hz）

考慮偽碼未對(duì)齊情況. 碼片誤差最差情況0.5 個(gè)碼片,如圖5 所示,圖中實(shí)線表示本地碼和接收信號(hào)偽碼對(duì)其情況,虛線為差0.5 碼片的相關(guān)輸出,輸出功率降低6dB,所以會(huì)造成估計(jì)精度降低.表2 為仿真進(jìn)行50 次的頻率均方誤差（RMS）.

圖5 本地碼和接收碼未對(duì)齊對(duì)相關(guān)輸出峰值功率的影響

從表1, 表2 可以看出Pisarenko 的多普勒估計(jì)精度比ARMA 及FFT 高,雖然其估計(jì)誤差受信噪比的影響,但是在考慮低信噪比GPS 信號(hào)情況下,其估計(jì)誤差完全能夠滿(mǎn)足實(shí)際情況.

表2 1ms 數(shù)據(jù)考慮碼片未對(duì)齊情況頻率估計(jì)RMS（Hz）

3.2 運(yùn)算量的研究及對(duì)平均多普勒捕獲時(shí)間的對(duì)比

仿真條件： 估計(jì)的多普勒范圍為±10kHz, 多普勒步長(zhǎng)500Hz,多普勒粗捕誤差250 為Hz,則頻率單元為21 個(gè),積分時(shí)間為1ms,在MATLAB 仿真環(huán)境下,進(jìn)行100 次仿真,FLL 平均需50ms 達(dá)到穩(wěn)定（頻率誤差達(dá)到20Hz 內(nèi)）,每次需要40 e6次浮點(diǎn)運(yùn)算, 而本文采用的頻譜估計(jì)方法要20 e6 次浮點(diǎn)運(yùn)算,是FLL 收斂時(shí)間的一半.

由式（8）,若Gc=21,PFA＝0.01,PD＝0.95,Tc=0.001 情況下,若Ts=0.05 得平均捕獲時(shí)間0.0616s, 若Ts=0.025 得平均捕獲時(shí)間0.0363s,可以減少42%的時(shí)間,可見(jiàn),采用高分辨率的載波多普勒估計(jì)替代FLL 對(duì)多普勒剩余殘差估計(jì)可以大大減少?gòu)牟东@到跟蹤的時(shí)間.

4 結(jié)論

以上研究表明,對(duì)于解擴(kuò)后的GPS 信號(hào),視為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程和高斯白噪聲的和, 通過(guò)諧波恢復(fù)Pisarenko 譜估計(jì)法,對(duì)GPS 多普勒進(jìn)行高分辨率估計(jì)是完全可行的, 可以取得非常好的的精度,以及穩(wěn)定的結(jié)果,而且計(jì)算量也相對(duì)FLL 對(duì)多普勒剩余殘差估計(jì)小得多,可以減少40%左右的GPS 接收機(jī)從捕獲到跟蹤的時(shí)間。S

［1］黃振，陸建華，楊士中.衛(wèi)星通信中多普勒頻移的快速捕獲[J].電子學(xué)報(bào)，2003,31（7）1052-1056.

［2］Kaplan,E.,Understanding GPS：Principles and Applications,Artech House,1996.

［3］Tsui,J.,Fundamentals of Global Positioning System Receivers： A Software Approach, Wiley Inter-Science,2000.

［4］Lin,D.,Tsui,J.,”Comparison of Acquisition Methods for Software GPS Receiver”. Proceedings of ION, pp.2385-2391, September 2000.

［5］Parkinson,B., et al.（editors）,Global Positioning System. Volume 1.American Institute of Astronautics and Aeronautics, 1996.

［6］張賢達(dá).現(xiàn)代信號(hào)處理[M].2 版.北京：清華大學(xué)出版社,2003.

［7］Zhang X D .Estimation of frequencies of sinusoids in colored ARMA noise via singular value decomposition.Proc.IEEE ISCAS’89,Portland,OH.1989：1315-1318.