林 彥

(中國航天科工衛(wèi)星技術(shù)有限公司，北京100071)

一種計(jì)算碰撞概率的分析解

林 彥

(中國航天科工衛(wèi)星技術(shù)有限公司，北京100071)

碰撞概率的大小表征航天器相遇過程的危險(xiǎn)程度，碰撞概率是航天器規(guī)避機(jī)動(dòng)策略制定的參考依據(jù).如果兩個(gè)飛行器的相對(duì)速度很大且相遇過程很短，相對(duì)運(yùn)動(dòng)可近似為線性運(yùn)動(dòng)，這樣就可以將三維概率求解問題轉(zhuǎn)化為二維概率問題.這類的碰撞概率求解通常應(yīng)用數(shù)值計(jì)算方法.基于概率積分推導(dǎo)一種碰撞概率計(jì)算的分析解，能有效降低計(jì)算量并不損失太多精度.最終給出模擬算例驗(yàn)證分析解的準(zhǔn)確性.

碰撞概率;航天器;概率積分

碰撞概率的大小表征了航天器相遇過程的危險(xiǎn)程度，是航天器規(guī)避機(jī)動(dòng)策略制定的參考依據(jù).如果飛行器與空間碎片的相對(duì)速度很大、相遇過程很短，相對(duì)運(yùn)動(dòng)可近似為線性運(yùn)動(dòng)，這樣就可以將三維概率求解問題轉(zhuǎn)化為二維概率問題.這種情況下的碰撞概率求解即為計(jì)算兩個(gè)航天器(或空間碎片)相遇過程中最小距離進(jìn)入等效組合包絡(luò)體的概率.對(duì)于二維相遇過程的碰撞概率計(jì)算方法研究，Patera[1]使用一維路徑積分方法替代二維面積積分，從而提高計(jì)算速度，還把相遇航天器的類型從對(duì)稱體推廣到非對(duì)稱體;Patera[2]通過把一維路徑積分坐標(biāo)系的原點(diǎn)從組合包絡(luò)體的中心轉(zhuǎn)換為概率密度圓的中心，從而簡化積分表達(dá)式.如果相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度很慢且運(yùn)動(dòng)軌跡較為復(fù)雜，線性相對(duì)運(yùn)動(dòng)方法不再適用，Patera[3]開發(fā)了非線性運(yùn)動(dòng)情況下的三維碰撞概率計(jì)算方法，把碰撞概率計(jì)算從高速相遇過程推廣到低速相對(duì)運(yùn)動(dòng);McKinley[4]對(duì)三維碰撞概率計(jì)算方法給出詳細(xì)的數(shù)值積分過程，并獲得了與文獻(xiàn)[3]類似的求解精度，白顯宗等[5]使用無窮級(jí)數(shù)方法來提高碰撞概率計(jì)算的快速性.上述方法通常需要的求解精度都以大量的數(shù)值積分為代價(jià)，不可避免地耗費(fèi)大量的求解時(shí)間，為此本文基于概率積分的計(jì)算推導(dǎo)了一種碰撞概率的分析解，能有效降低計(jì)算量并不損失太多精度.本文首先描述線性相遇運(yùn)動(dòng)下的碰撞概率計(jì)算問題，然后闡述基于概率積分的碰撞概率計(jì)算方法并推導(dǎo)計(jì)算公式，最終給出模擬算例來驗(yàn)證方法的準(zhǔn)確性.這里定義被預(yù)測航天器為目標(biāo)航天器，具備預(yù)警能力的航天器為參考航天器.

1 線性碰撞概率計(jì)算方法

1.1 假設(shè)條件

碰撞概率計(jì)算方法通?；谝韵录僭O(shè)[1-5]:(1)能夠獲得兩個(gè)航天器最接近時(shí)刻在慣性系中的位置、速度和位置誤差矩陣;(2)兩個(gè)航天器的外形建模為包絡(luò)球或其它簡單幾何體的組合;(3)通常把空間兩個(gè)航天器的相對(duì)位置誤差分布視為三維高斯分布，如果兩個(gè)航天器的絕對(duì)狀態(tài)協(xié)方差矩陣不相關(guān)，則其和就是相對(duì)狀態(tài)的協(xié)方差矩陣.如果航天器的外形建模為包絡(luò)球，則兩個(gè)航天器的包絡(luò)球合并為一個(gè)總包絡(luò)球，其半徑大小等于兩個(gè)單獨(dú)的包絡(luò)球之和.(4)把所有隨機(jī)因素賦予參考航天器.相對(duì)狀態(tài)誤差分布的中心設(shè)置在參考航天器.

1.2 坐標(biāo)系定義

當(dāng)兩個(gè)航天器在三維空間內(nèi)的距離達(dá)到最小時(shí)，它們的相對(duì)位置矢量和相對(duì)速度矢量互相垂直.或者說，當(dāng)兩目標(biāo)間的距離最近時(shí)，它們處在與相對(duì)速度矢量垂直的平面內(nèi).為了便于描述問題，這個(gè)平面通常定義為相遇平面.把兩物體的位置不確定性包絡(luò)球投影到相遇平面上，求解碰撞概率的3維積分從而簡化為二維積分.參見圖1所示.據(jù)此定義相遇坐標(biāo)系:原點(diǎn)O在參考航天器的分布中心，z軸指向相對(duì)速度方向，χ軸和y軸在相遇平面內(nèi)，χ軸指向的目標(biāo)航天器的分布中心在相遇平面內(nèi)的投影點(diǎn)，y軸在相遇平面內(nèi)與χ軸垂直.

圖1 相遇平面和積分區(qū)域Fig.1 Encountering plane and integral region

1.3 求解方法

三維空間內(nèi)等方差概率密度函數(shù)的碰撞概率定義為[2]

如果相對(duì)運(yùn)動(dòng)可視為線性運(yùn)動(dòng)，則僅需對(duì)二維等方差概率密度函數(shù)進(jìn)行積分.碰撞概率簡化為

式中，S描述了總包絡(luò)體幾何位置和尺寸.

對(duì)于一般性的線性運(yùn)動(dòng)碰撞概率問題，若要應(yīng)用式(1)～(2)，如果被積分函數(shù)是不等方差概率密度函數(shù)，即 σχ≠σy，通常還需要應(yīng)用變量代換[2，5]的方法;如果概率密度橢圓的對(duì)稱軸與坐標(biāo)系不重合，需要通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法[1-2]來對(duì)齊.

2 分析解

為導(dǎo)出分析解，在圖1所示部分上構(gòu)造圖2所示的4個(gè)積分區(qū)域.設(shè)總包絡(luò)體投影為圓形，則有: S1:χ2+y2≤ (b-r)2，S2:χ2+y2≤ (b+r)2，S3:(χ-b)2+y2≤ r2，S4為部分圓環(huán)，即圖 2中角∠AOB定義為β，即β=2arcsin(r/b).

圖2 積分區(qū)域與圓環(huán)關(guān)系Fig.2 Relation between the integral region and the ring

根據(jù)概率積分的一般理論可知，對(duì)圓心在原點(diǎn)的圓域的概率積分有以下分析解[6]:

由式(3)可知，容易計(jì)算 S1、S2區(qū)域的碰撞概率.S4區(qū)域?qū)儆赟1、S2之間圓環(huán)的部分區(qū)域，根據(jù)對(duì)稱性可知對(duì)于S4區(qū)域的碰撞概率為:

由于被積分函數(shù)都為正值，且 S4的面積包含S3，所以顯然S4的碰撞概率大于S3的值.為了提高近似程度，需進(jìn)行修正.假設(shè)S4、S3的概率密度均勻且相等，則修正系數(shù)取兩者面積比值的倒數(shù):

對(duì)式(4)應(yīng)用修正系數(shù)可得S3圓域的碰撞概率近似值的分析解:

3 模擬計(jì)算

計(jì)算條件:

1)兩個(gè)航天器的最小距離取:b=10km;

2)總包絡(luò)球的半徑尺寸(RCS)取值范圍: 10m≤r≤100m;

3)概率密度函數(shù)的方差取值:σ=3km，5km，9km;

4)數(shù)值解法取文獻(xiàn)[2]的式(10)，解記為Q.

圖3 不同尺寸的碰撞概率對(duì)比(σ=3km)Fig.3 Comparison of the collision probability of the rigid bodies with different size(σ=3km)

4 結(jié) 論

碰撞概率的計(jì)算方法通常都對(duì)積分方法有較高的要求，以大量的數(shù)值積分為代價(jià)來保證求解精度.數(shù)值計(jì)算不可避免的要耗費(fèi)大量的求解時(shí)間和降低可使用性.按照本文基于概率積分提出的碰撞概率的分析解，能有效降低計(jì)算量并不損失太多精度.本文描述的求解方法對(duì)總包絡(luò)體的外形沒有過高的要求，容易把本方法推廣到任意外形的情況.

圖4 不同尺寸的碰撞概率對(duì)比(σ=5km)Fig.4 Comparison of the collision probability of the rigid bodies with different size(σ=5km)

圖5 不同尺寸的碰撞概率對(duì)比(σ=9km)Fig.5 Comparison of the collision probability of the rigid bodies with different size(σ=9km)

圖6 兩種計(jì)算方法的碰撞概率對(duì)比(σ=9km) Fig.6 Comparison of two algorithms

[1] Patera R P.Generalmethod for calculating satellite collision probability[J].Journal of Guidance，Control，and Dynam ics，2001，24(4):716-722

[2] Patera R P.Calculating collision probability for arbitrary space-vehicle shapes via numerical quadrature[J]. Journal of Guidance，Control，and Dynam ics，2005，28 (6):1326-1328

[3] Patera R P.Satellite collision probability for nonlinear relativemotion[J].Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2003，26(5):728-733

[4] McKinley D P.Development of a nonlinear probability of collision tool for the Earth observing system[R]. AIAA，2006-6295

[5] 白顯宗，陳磊.基于空間壓縮和無窮級(jí)數(shù)的空間碎片碰撞概率快速算法[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2009，32 (2):336-353 Bai X Z，Chen L.A rapid algorithm of space debris collision probability based on space compression and infinite series[J].Acta Mathematicae Applicate Sinica，2009，32(2):336-353

[6] 李銀奎.概率積分的幾種計(jì)算方法[J].青海師專學(xué)報(bào)，2002，22(5):22-23 Li Y K.Several calculated methods of the probability integral[J].Journal of Qinghai Junior Teachers'College(Natural Science Edition)，2002，22(5):22-23

Analytical Solution for Collision Probability Calculation

LIN Yan
(CASIC Satellite Technology Ltd.，Beijing 100071，China)

Collision probability represents the risk of collision between two spacecrafts during the encountering phase.Collision probability calculation is the basis of designing the collision avoidance maneuver strategy.If the relative velocity between two spacecrafts is large and the encountering time is short，the relative motion is approximately linear.Under this assumption，the problem of solving the three-dimensional probability density is reduced to a two-dimensional problem.Numerical integralmethods are usually used to calculate the collision probability.An analytical solution based on probability integral is derived，which can reduce the amount of computation while the decreased accuracy is not so much.A case study is presented to validate the given method.

collision probability;spacecraft;probability integral

V448

A

1674-1579(2012)06-0041-04

10.3969/j.issn.1674-1579.2012.06.009

林 彥(1976—)，男，高級(jí)工程師，研究方向?yàn)楹教炱骺傮w設(shè)計(jì).

2012-10-15