基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的鄰近階比分離研究

梅檢民，肖云魁，楊萬成，陳祥龍，喬 龍

(1.軍械工程學(xué)院 火炮工程系，石家莊 050003;2.軍事交通學(xué)院 汽車工程系，天津 300161;3.軍事交通學(xué)院 研究生管理大隊(duì)，天津 300161)

變速器的早期故障特征十分微弱，而變速器的變速過程使微弱故障信息反映更明顯［1］，采用變速過程分析機(jī)械設(shè)備早期故障已為許多研究者所關(guān)注。階比分析是處理機(jī)械設(shè)備變速過程非穩(wěn)態(tài)信號(hào)的有效方法［2－4］，近年來被廣泛應(yīng)用于機(jī)器變速過程振動(dòng)分析［5－8］，但鄰近階比分量在階比譜中會(huì)產(chǎn)生譜峰膠合，使得根據(jù)某一階次的幅值能量判斷分析對(duì)象的技術(shù)狀態(tài)變得困難。而鄰近階比分量是不可避免的，如何準(zhǔn)確、快速分離鄰近階比分量成為階比分析中的重點(diǎn)、難點(diǎn)問題。文獻(xiàn)［9－11］分析了復(fù)雜機(jī)械振動(dòng)信號(hào)產(chǎn)生的鄰近階比和交叉階比分量，取得了一定效果。

變速器變速過程信號(hào)是與輸入軸轉(zhuǎn)頻密切相關(guān)的多分量線性調(diào)頻信號(hào)(LFM信號(hào)或稱chirp信號(hào))，而且各個(gè)分量時(shí)頻混疊，單獨(dú)從時(shí)域或頻域都不能實(shí)現(xiàn)多分量的分離。分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(Fractional Fourier Transform，F(xiàn)RFT)可以理解為chirp基分解，特別適合于處理chirp類信號(hào)。利用chirp信號(hào)在不同階次的分?jǐn)?shù)階傅里葉域呈現(xiàn)出不同的能量聚集性的特點(diǎn)，通過選擇合適的FRFT變換階次，能提取到感興趣的chirp分量［12－13］。因此，對(duì)于變速器變速過程振動(dòng)信號(hào)，只要選擇最佳的FRFT變換階次，就能將鄰近的階比分量分離開。

本文提出了一種基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的鄰近階比分量分離方法，根據(jù)輸入軸轉(zhuǎn)速信號(hào)確定目標(biāo)分量的FRFT變換最佳階次，在最佳階次分?jǐn)?shù)階域分離鄰近階比分量，對(duì)分離出的各單分量信號(hào)進(jìn)行單獨(dú)階比分析，有效解決了鄰近階比膠合問題，并且該方法計(jì)算速度快、精度高。

1 FRFT及其提取chirp分量的原理

1.1 FRFT 定義及性質(zhì)［14］

信號(hào)x(t)的FRFT的定義式為:

式中，F(xiàn)RFT的變換核Kp(t，u)為:

由式(3)可以看出，信號(hào)x(t)由一組權(quán)系數(shù)為Xp(u)的正交基函數(shù)K－p(t，u)所表征，這些基函數(shù)是chirp的復(fù)指數(shù)函數(shù)。

1.2 FRFT提取chirp信號(hào)分量的原理

chirp信號(hào)由于其非平穩(wěn)性，在時(shí)、頻域都具有較大的展寬，單獨(dú)的時(shí)域或頻域?yàn)V波都不能得到很好的效果。為了方便說明，畫出兩個(gè)分量的chirp信號(hào)的時(shí)頻分布如圖1所示，其中一個(gè)分量的時(shí)頻分布與時(shí)間軸的夾角為β。

分?jǐn)?shù)階傅里葉變換可以解釋為信號(hào)在時(shí)頻平面內(nèi)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度后所構(gòu)成的分?jǐn)?shù)階域上的表示，與Wigner-Ville分布、短時(shí)傅里葉變換之間只是存在一個(gè)坐標(biāo)變換關(guān)系，并不影響信號(hào)的時(shí)頻分布特性。只要分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的旋轉(zhuǎn)角度α與β正交，則該chirp信號(hào)在分?jǐn)?shù)階傅里葉域上的投影就應(yīng)該聚集在u0一點(diǎn)上，以u(píng)0為中心做窄帶濾波，將chirp信號(hào)從強(qiáng)噪聲背景下濾出或從多分量chirp信號(hào)中分離，再做－α角度旋轉(zhuǎn)，就實(shí)現(xiàn)了chirp信號(hào)分量分離與提取。

FRFT提取chirp分量的關(guān)鍵在于能找到合適的旋轉(zhuǎn)角度，得到最佳的FRFT變換階次。從圖1可以看出，最佳角度α、FRFT變換階次p與調(diào)頻率fm有如下關(guān)系:

圖1 FRFT提取chirp信號(hào)Fig.1 Extraction of chirp signal by FRFT

1.3 基于轉(zhuǎn)速信號(hào)確定FRFT變換最佳階次

根據(jù)FRFT分離提取chirp信號(hào)分量的原理可知，當(dāng)兩個(gè)chirp分量很鄰近時(shí)，能否將鄰近分量彼此分開，關(guān)鍵取決于FRFT變換的最佳階次是否精確。目前，常用的基于搜索思想的確定階次方法都是通過對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行峰值搜索確定階次［15－17］，但在多分量信號(hào)檢測(cè)中，分量之間的互相干擾和強(qiáng)分量信號(hào)對(duì)弱分量信號(hào)的淹沒會(huì)導(dǎo)致峰值眾多雜亂，從而難于根據(jù)峰值得到精確的FRFT階次，并且搜索越精細(xì)計(jì)算量越大;文獻(xiàn)［17］提出了一種抑制強(qiáng)信號(hào)分量的方法，但由于搜索法確定階次的基礎(chǔ)是復(fù)雜的振動(dòng)信號(hào)，其他分量和噪聲對(duì)確定階次的影響不可避免，抑制效果也是相對(duì)的。

變速器以輸入軸的轉(zhuǎn)速為基準(zhǔn)，各檔位嚙合齒輪按照不同的傳動(dòng)比運(yùn)轉(zhuǎn)。當(dāng)變速器變速運(yùn)行時(shí)，轉(zhuǎn)頻及各檔位的嚙合頻率分量按照不同的階比隨輸入軸轉(zhuǎn)速變化，構(gòu)成不同的階比分量，測(cè)得的變速器振動(dòng)信號(hào)是多分量的chirp信號(hào)。分析現(xiàn)有FRFT階次確定方法存在的不足，結(jié)合變速器傳動(dòng)原理，本文提出了一種根據(jù)輸入軸轉(zhuǎn)速信號(hào)精確、快速、自適應(yīng)確定FRFT變換最佳階次的方法，其具體步驟如下:

(1)根據(jù)輸入軸轉(zhuǎn)速信號(hào)計(jì)算出轉(zhuǎn)頻及各檔位的嚙合頻率分量fi，某型變速器5個(gè)分量的時(shí)頻曲線如圖2所示;

(2)對(duì)轉(zhuǎn)頻和各檔位的嚙合頻率分量fi進(jìn)行最小二乘擬合，計(jì)算出各分量的調(diào)頻率fmi，圖2示意了對(duì)分量f3的最小二乘擬合;

圖2 根據(jù)輸入軸轉(zhuǎn)速信號(hào)確定FRFT變換最佳階次Fig.2 Calculate the best FRFT order according to the rotate signal of gearbox’s input shaft

由于轉(zhuǎn)速信號(hào)不受任何振源和噪聲干擾，變速器的傳動(dòng)比又是固定的，因此根據(jù)轉(zhuǎn)頻得到各檔位齒輪嚙合頻率分量很準(zhǔn)確，據(jù)此計(jì)算得到的各分量的調(diào)頻率和階次精度高、速度快、魯棒性好，而且根據(jù)不同的轉(zhuǎn)速信號(hào)，能自動(dòng)得到對(duì)應(yīng)的最佳階次，是一種自適應(yīng)的FRFT最佳階次確定方法。

2 基于FRFT分離鄰近階比分量

2.1 變速器升速過程信號(hào)采集

試驗(yàn)對(duì)象為BJ2020S四檔變速器，其傳動(dòng)示意圖如圖3所示。采樣頻率為20 kHz，采樣點(diǎn)數(shù)為40 k，調(diào)節(jié)負(fù)載勵(lì)磁電壓為200 V來模擬負(fù)載工況，升速過程變速器從0開始加速至1 500 r/min，以輸入軸為基準(zhǔn)，各檔位齒輪嚙合頻率對(duì)應(yīng)階次如表1。

圖3 BJ2020S變速器傳動(dòng)示意圖Fig.3 Drive sketch map of BJ2020S gear box

表1 BJ2020S變速器各檔位齒輪嚙合頻率對(duì)應(yīng)階次Tab.1 Mesh order of different ranges of BJ2020S gearbox

2.2 鄰近階比膠合問題

變速器置某檔時(shí)，常嚙合齒輪和該檔齒輪都參與傳動(dòng)，振動(dòng)能量比其他齒輪突出，檢測(cè)變速器該檔技術(shù)狀態(tài)時(shí)，應(yīng)聯(lián)合考慮常嚙合階次和該檔階次的幅值能量變化。變速器置三檔時(shí)的原始信號(hào)時(shí)頻圖如圖4，對(duì)該信號(hào)進(jìn)行階比分析，階比譜如圖5所示。階比譜只能分辨出三檔階比分量的階次17(16.47)，而對(duì)于同時(shí)參與傳動(dòng)的常嚙合齒輪階比分量的階次19基本沒有反應(yīng)出來，這是因?yàn)槿龣n和常嚙合齒輪結(jié)構(gòu)位置鄰近，又同時(shí)參與傳動(dòng)，兩個(gè)階比分量互相耦合，產(chǎn)生了階比膠合，從而使得根據(jù)三檔或常嚙合階比分量的階次對(duì)應(yīng)的幅值判斷變速器技術(shù)狀態(tài)變得困難。

圖4 3檔信號(hào)的時(shí)頻分布(低頻段)Fig.4 Time-Frequency distribution of 3 range’s signal(low frequency part)

圖5 3檔信號(hào)的階比譜Fig.5 Order spectrum of 3 range’s signal

2.3 FRFT分離鄰近階比分量

(1)根據(jù)轉(zhuǎn)速信號(hào)確定FRFT變換最佳階次

根據(jù)轉(zhuǎn)速信號(hào)計(jì)算得到轉(zhuǎn)頻及各檔位嚙合頻率分量，并按照上述最佳階次確定方法求得各分量的FRFT變換最佳階次，如圖2中左上角所示，3檔分量最佳FRFT階次p3=1.005 5，常嚙合分量最佳 FRFT階次p4=1.006 4。對(duì)比圖2，圖4發(fā)現(xiàn)，圖2中根據(jù)轉(zhuǎn)頻計(jì)算得到的各分量的時(shí)頻分布起止位置清晰，各分量明顯分開;由于分量之間的耦合及噪聲的干擾，圖4中振動(dòng)信號(hào)的時(shí)頻分布與圖2中各分量分布大致對(duì)應(yīng)，沒能精確顯示各分量的具體時(shí)頻分布信息。

(2)提取3檔階比分量

3檔階比分量的FRFT最佳階次為p3=1.005 5，做p3階FRFT變換，如圖6所示。從圖6(a)可以清楚看出信號(hào)在p3階分?jǐn)?shù)階域u0=12 043點(diǎn)位置出現(xiàn)明顯峰值，進(jìn)行帶寬為12 020－12 090的帶通遮隔，如圖6(b)，再做p3階逆FRFT變換提取出3檔階比分量，時(shí)域信號(hào)如圖6(d)，對(duì)提取到的3檔階比分量進(jìn)行時(shí)頻分析，如圖7所示。

(3)提取常嚙合齒輪階比分量

圖6 FRFT提取3檔階比分量Fig.6 Order component extraction of 3 range by FRFT

圖7 FRFT提取的3檔階比分量時(shí)頻圖Fig.7 The time-frequency distribution of 3 range’s order component extracted by FRFT

由于3檔階比分量和常嚙合齒輪階比分量鄰近，為了避免3檔階比分量對(duì)常嚙合齒輪階比分量的影響，對(duì)3檔階比分量在其最佳FRFT階域進(jìn)行濾除，然后再提取常嚙合齒輪階比分量。常嚙合齒輪階比分量的FRFT最佳階次為p4=1.006 4，做p4階FRFT變換，如圖8所示。從圖8(a)可以清楚看出信號(hào)在p4階分?jǐn)?shù)階域u0=12 010點(diǎn)位置出現(xiàn)明顯峰值，進(jìn)行帶寬為11 970－12 040的帶通遮隔，如圖8(b)，再做p4階逆FRFT變換，得到提取后的常嚙合齒輪階比分量時(shí)域信號(hào)，如圖8(d)，對(duì)提取到的常嚙合齒輪階比分量做時(shí)頻分析，如圖9所示。

圖8 FRFT提取常嚙合齒輪階比分量Fig.8 Order component extraction of always mesh range by FRFT

圖9 FRFT提取的常嚙合齒輪階比分量時(shí)頻圖Fig.9 The time-frequency distribution of always mesh range’s order component extracted of by FRFT

比較圖4，圖7，圖9可以看出，圖4中不容易看出3檔和常嚙合齒輪階比分量的時(shí)頻分布位置及趨勢(shì)，而圖7、圖9更細(xì)致、全面地反應(yīng)了3檔階比分量、常嚙合齒輪階比分量的具體時(shí)頻分布信息，說明原始信號(hào)中各階比分量之間存在相互耦合和干擾，而對(duì)FRFT分離提取的單分量信號(hào)進(jìn)行單獨(dú)分析，能有效抑制其他分量的影響，突出了目標(biāo)階比分量的細(xì)致信息，對(duì)深入分析目標(biāo)階比分量很有意義。

(4)鄰近階比分量的單分量階比分析

對(duì)FRFT分離后的3檔階比分量、常嚙合齒輪階比分量信號(hào)分別進(jìn)行階比分析，將階比分析結(jié)果合并如圖10所示。

圖10 FRFT分離鄰近階比后的階比譜Fig.10 The order spectrum of adjacent order component separated by FRFT

從圖10可以清楚看出，通過FRFT分離鄰近階比分量，并對(duì)分離出的單分量信號(hào)進(jìn)行單獨(dú)階比分析，階比譜能清晰反應(yīng)3檔階比分量階次17(16.47)和常嚙合齒輪階比分量階次19，很好的解決了鄰近階比膠合問題。

3 結(jié)論

(1)基于轉(zhuǎn)速信號(hào)確定FRFT變換最佳階次精度高、速度快、魯棒性好，能根據(jù)不同的轉(zhuǎn)速信號(hào)自動(dòng)得到對(duì)應(yīng)的最佳階次;

(2)最佳階次FRFT能準(zhǔn)確、快速分離鄰近階比分量，能有效解決鄰近階比膠合問題。

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