基于CVaR度量的投資組合優(yōu)化研究

王 波，高岳林

(北方民族大學(xué)信息與系統(tǒng)科學(xué)研究所，寧夏銀川 750021)

風(fēng)險度量有多種方法，1952年由MARKOWITZ提出的收益率方差評價指標(biāo)對后來的研究產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響［1-2］。

風(fēng)險價值VaR反映一項(xiàng)資產(chǎn)或資產(chǎn)組合在一定的持有期內(nèi)、給定的置信水平下潛在的最大損失。關(guān)于對 VaR 的改進(jìn)，ROCKAFELLAR［3］等提出了條件風(fēng)險價值CVaR的優(yōu)化投資組合模型，并得出CVaR最優(yōu)化投資組合與VaR最優(yōu)化投資組合近似一致的結(jié)論。CVaR作為一致性的風(fēng)險度量，已成為金融風(fēng)險度量的有力工具。

近年來，國內(nèi)在關(guān)于風(fēng)險價值度量方面的研究相對較熱。劉小茂等研究了均值-CVaR有效前沿［4］;何潔琳等研究了一致性風(fēng)險度量意義下的投資組合［5］，并給出了相關(guān)的實(shí)證;高岳琳等研究了基于CVaR約束的單位風(fēng)險收益最大投資組合模型［6］;周世昊等利用改進(jìn)的粒子群算法求解CVaR投資組合優(yōu)化模型［7］，并給出了相應(yīng)的實(shí)證分析;蘇克平等基于CWAA算子，提出了CVaR度量下的組合投資模型，并給出了案例分析［8］。

1 條件風(fēng)險價值CVaR簡述

設(shè)f(x，y)是在決策向量x下的損失函數(shù)，其中，向量x可以看成是組合中各資產(chǎn)的頭寸或者權(quán)重，x∈X?Rn，X為可行集。向量y為影響損失的市場因子，如市場價格或收益率。對每一個x，由y引起的損失f(x，y)是R上服從某一分布的隨機(jī)變量。為方便起見，假設(shè)y的概率密度函數(shù)為p(y)，則損失f(x，y)不超過某一閾值β的概率為:

作為在x固定時β的函數(shù)，ψ(x，β)是與x對應(yīng)的損失的累積分布函數(shù)，關(guān)于β非減右連續(xù)，與給定置信水平α下的損失對應(yīng)的α-VaR與α-CVaR值分別為:

2 CVaR計算公式及相關(guān)定理證明

記rx=xTy為投資組合的收益，f(x，y)=-xTy為投資組合的損失。設(shè)E(y)=μ，Cov(y)=V，則可得到收益的均值和方差分別為:

考慮風(fēng)險資產(chǎn)的收益率服從正態(tài)分布的情況，假設(shè)市場因子 y～N(μ，V)，則損失 f(x，y)=-xTμ ～N(-xTμ，xTVx)，由 VaR、CVaR 的定義，在置信水平α下，VaR和CVaR的具體計算公式為:

引理:設(shè)y是一服從聯(lián)合正態(tài)分布的隨機(jī)變量，則對每一個投資決策變量x，x∈X，xTy服從正態(tài)分布。如果α≥0.5，則存在同一優(yōu)化組合x，使得投資組合的方差σ2(x)、風(fēng)險價值VaRα(x)和條件風(fēng)險價值CVaRα(x)同時達(dá)到極小。

定理:設(shè) α1＞ α2＞ α3≥0.5，對投資決策變量x，x∈X，有xTy服從正態(tài)分布，則存在同一優(yōu)化組合 x，使得 VaRα1(x) ＞ VaRα2(x) ＞ VaRα3(x)，CVaRα1(x) ＞ CVaRα2(x) ＞ CVaRα3(x)。

證明:因?yàn)?α1＞ α2＞ α3≥0.5，則 c1(α1) ＞c2(α2)＞c3(α3)，由引理和式(1)可知，最小化不同置信水平 α1，α2，α3下的 VaRα等價于最小化ci(αi)σ(x)- μ(x)，其中 i=1，2，3，又因?yàn)閏1(α1) ＞c2(α2) ＞ c3(α3)，因此，VaRα1(x) ＞VaRα2(x) ＞ VaRα3(x)。由于 CVaRα(x)是超過VaRα(x)的條件期望，因而有CVaRα1(x) ＞CVaRα2(x) ＞CVaRα3(x)。

3 投資組合優(yōu)化模型建立

3.1 約束條件

收益率約束可以表述為:期望收益E(rx)=xTμ≥s，其中s為投資者的期望收益閾值。收益約束可以將投資的收益控制在閾值s以上，在預(yù)先滿足投資者投資預(yù)期收益的情況下，計算目標(biāo)函數(shù)風(fēng)險值的大小。投資比例約束為:x1+x2+… +xn+1=1。不允許賣空約束為 xi≥0，i=1，2，…，n+1。其中，xi(i=1，2，…，n)為對第 i個資產(chǎn)的投資比例，xn+1為無風(fēng)險資產(chǎn)的投資比例。

3.2 基于CVaR度量的投資組合優(yōu)化模型

由以上分析，考慮條件風(fēng)險度量下的投資組合優(yōu)化模型為:

4 模型求解

4.1 差分進(jìn)化算法

差分進(jìn)化(differential evolution，DE)算法［9］是STON和PRICE為求解切比雪夫多項(xiàng)式而于1995年共同提出的一種浮點(diǎn)矢量編碼在連續(xù)空間進(jìn)行隨機(jī)搜索的優(yōu)化算法。DE的原理簡單，受控參數(shù)少，易于理解和實(shí)現(xiàn)。

4.1.1 變異操作

其中，F(xiàn)∈［0，2］為縮放因子。

4.1.2 交叉操作

其中，rand(0，1)為(0，1)間均勻分布的隨機(jī)數(shù)。

4.1.3 選擇操作

其中，φ(x)代表適應(yīng)度函數(shù)。

4.2 模型求解

首先利用罰函數(shù)方法［10］將式(3)轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題，然后利用差分進(jìn)化算法進(jìn)行求解，算法參數(shù)為:種群規(guī)模N=80，迭代代數(shù)gen=500，縮放因子F=0.5，變異概率CR=0.6，懲罰因子sigma=106，算法的具體步驟如下:

(3)對種群中的每個個體執(zhí)行以下操作:①隨機(jī)選取權(quán)重矩陣中的3個權(quán)重進(jìn)行變異交叉操作，產(chǎn)生一個新的試驗(yàn)權(quán)重trial，如果試驗(yàn)個體trial某一維的值不在區(qū)間(0，1)內(nèi)，將其賦值為rand(0，1)。②根據(jù)目標(biāo)函數(shù)F(x)計算trial的適應(yīng)值F(trial)，進(jìn)行選擇操作，進(jìn)行最優(yōu)值的更新，產(chǎn)生下一代權(quán)重。③找出當(dāng)前代的最優(yōu)適應(yīng)值F(gbest)和最優(yōu)權(quán)重gbest。

(4)若滿足終止條件(達(dá)到最大迭代代數(shù))，輸出最優(yōu)適應(yīng)值F(gbest)和最優(yōu)投資權(quán)重gbest，否則返回到步驟(3)繼續(xù)搜索。

5 實(shí)證分析

5.1 資產(chǎn)選取及數(shù)據(jù)預(yù)處理

為了分散風(fēng)險，挑選不同行業(yè)、不同流通盤的股票進(jìn)行投資，選取了滬深股票市場8支股票2009年3月20日至2009年7月31日20周的收盤價作為計算數(shù)據(jù)。同時考慮了一種無風(fēng)險的銀行存款，銀行利率選取中國人民銀行現(xiàn)行活期存款利率0.36%，5天為一個交易周，則周活期存款利率可近似為6.9231×10-5。8支股票分別為:長春高新(000661)、新大陸(000997)、飛亞達(dá) A(000026)、S上石化 (600688)、東方電氣(600875)、雙錢股份(600623)、民生銀行(600016)和長春經(jīng)開(600215)。用表達(dá)式 ri，t=ln(pi，t/pi，t-1) 計算股票的周收益率，其中 pi，t和pi，t-1分別為第 i(i=1，2，…，8)支股票 t和 t-1 時刻的周收盤價，可得到8支股票的期望周收益率如表1所示。

5.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

(1)數(shù)值試驗(yàn)中，首先將周收益率閾值設(shè)定為s=0.02，在不同的置信水平下，各個資產(chǎn)的投資比例和CVaR條件風(fēng)險價值如表2所示。隨著置信水平的增加，CVaR值也增加，因此，對于保守的投資者而言，應(yīng)選擇較大的置信度，避免因低估投資風(fēng)險而帶來的損失。

表1 股票期望收益

表2 s=0.02時不同置信水平下的風(fēng)險與投資比例

(2)由表2可知，不同置信水平下的投資比例基本一致，這符合前文定理的證明。從圖1可知，在 alpha=0.90，alpha=0.95，alpha=0.99 水平下，算法在運(yùn)行200次之后最優(yōu)值不再變化趨于平穩(wěn)。結(jié)合所得的投資比例和圖1，驗(yàn)證理論證明的同時，也說明差分進(jìn)化算法對求解式(3)是穩(wěn)定的，結(jié)果可供參考。

(3)由表3可知，在alpha=0.95水平下，收益率閾值s從0.022增大到0.030時，得到對應(yīng)的CVaR值和個股對應(yīng)的投資比例，隨著閾值s的不斷增大，投資在期望周收益率較高的股票(600016)上的比例不斷增加，投資在期望周收益率較低的股票上的比例趨近于0。投資的股票收益越大，相應(yīng)的風(fēng)險也在增加。這表明，投資過程中，在選擇較高收益股票的同時，投資者應(yīng)進(jìn)行分散投資，避免因投資集中而導(dǎo)致投資風(fēng)險過高。

圖1 不同置信水平下算法求解性能示意圖

(4)表4給出了alpha=0.90、alpha=0.95和alpha=0.99水平下，收益率閾值s從0.022增加到0.030時，對應(yīng)的CVaR風(fēng)險值。根據(jù)表4數(shù)據(jù)繪制出收益風(fēng)險的有效邊緣如圖2所示，置信水平越低，投資組合有效前沿越靠近圖形的左上方，這是因?yàn)橹眯潘皆礁撸顿Y者厭惡風(fēng)險的程度越高，在相同的期望收益下，置信水平較低對應(yīng)的風(fēng)險也相應(yīng)較小，這也符合理論研究結(jié)果，結(jié)合圖表，投資者可以根據(jù)自身的風(fēng)險偏好，選擇適合自己的投資決策。

表3 alpha=0.95時不同收益閾值下的風(fēng)險與投資比例

表4 不同置信水平、收益閾值下的CVaR風(fēng)險值

圖2 不同置信水平下的風(fēng)險有效邊緣

6 結(jié)論

條件風(fēng)險價值CVaR是VaR的修正，它比VaR具有更好的性質(zhì)。考慮我國證券市場不允許賣空的條件，用CVaR來度量投資組合的風(fēng)險，建立以最小化風(fēng)險為目標(biāo)，期望凈收益高于一定閾值的投資組合優(yōu)化模型。針對該模型，利用罰函數(shù)處理約束收益，運(yùn)用差分進(jìn)化進(jìn)行求解，并采用滬市和深市的8支股票以及銀行存款利率進(jìn)行實(shí)證分析，計算出了不同收益閾值下的最優(yōu)投資比例和對應(yīng)的風(fēng)險，為投資者提供了決策參考，結(jié)果表明了模型的合理性和算法的有效性。

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