一維非齊次波動(dòng)方程的求解方法

張子珍，林 海

（山西大同大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009）

一維非齊次波動(dòng)方程的求解方法

張子珍，林 海

（山西大同大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009）

非齊次偏微分方程是數(shù)學(xué)物理方程教學(xué)中的難點(diǎn)，本文以一維非齊次波動(dòng)方程為例，提出各種不同的解法，以便對(duì)教學(xué)起到促進(jìn)作用。

偏微分方程；分離變量法；沖量法；拉普拉斯變換法；付立葉變換法；格林函數(shù)法

在偏微分方程的教學(xué)中，非齊次方程的求解是教學(xué)中的難點(diǎn)，尤其是邊界條件不同，如混合問(wèn)題或哥西問(wèn)題［1］處理方法則靈活多樣，這給學(xué)生造成一定的困難。為此，本文對(duì)一維非齊次方程的求解方法進(jìn)行歸類(lèi)，以便對(duì)該問(wèn)題有一個(gè)總體的認(rèn)識(shí)。

1 混合問(wèn)題的求解

混合問(wèn)題，是指既有初始條件又有邊界條件?，F(xiàn)以非齊次波動(dòng)方程為例，來(lái)討論混合問(wèn)題的求解方法。假設(shè)邊界條件是齊次的，因?yàn)槿绻吔鐥l件是非齊次的，可以先將邊界條件齊次化后，再進(jìn)行求解。

1.1 分離變量法

分離變量法的基本思想是，令u（x，t）＝X（x）T（x），將一個(gè)偏微分方程化為兩個(gè)常微分方程，其中的一個(gè)常微分方程可以構(gòu)成本征值問(wèn)題，從而求出本征值和本征函數(shù)，然后代入另一個(gè)常微分方程去求解。以下面的方程為例加以說(shuō)明。

同時(shí)將f（x，t）按本征函數(shù)展開(kāi)，代入方程中得：

代入初始條件，可求得系數(shù)，

1.2 沖量法［2］

應(yīng)用沖量法的前提是初始條件均取零值。仍以兩端固定的弦振動(dòng)為例，利用線性方程的疊加原理，方程（1）可分解為

u（x，t）＝uⅠ（x，t）+uⅡ（x，t）。

城市平均投資回報(bào)率是指投資到除港口外的其他產(chǎn)業(yè)平均得到的收益，先把城市內(nèi)上市公司作為樣本，篩選出對(duì)經(jīng)濟(jì)有貢獻(xiàn)的指標(biāo)(如：應(yīng)付職工薪酬、固定資產(chǎn)折舊額、營(yíng)業(yè)利潤(rùn)和稅收等)，得到其經(jīng)濟(jì)的貢獻(xiàn)量，再計(jì)算其資產(chǎn)總額的貢獻(xiàn)率。

令uⅠ和uⅡ分別滿足

和

這樣，方程（1）的解可轉(zhuǎn)化為求解uⅠ和uⅡ。uⅠ是齊次方程齊次邊界條件，它的解是

uⅡ是非齊次方程，但初始條件已化為零，可以用沖量法來(lái)求解。

沖量法的基本思想是，將持續(xù)作用的力看作是許許多多前后相繼的瞬時(shí)力，持續(xù)作用力引起的振動(dòng)看作所有瞬時(shí)力引起的振動(dòng)的疊加，即

（fx，τ）δ（t-τ）可看作是作用在τ時(shí)刻的瞬時(shí)力，把該瞬時(shí)力引起的振動(dòng)記為ν（x，t，τ），則ν（x，t，τ）滿足定解問(wèn)題

f（x，τ）δ（t-τ）這個(gè)力只作用在τ時(shí)刻，在τ-0它尚未起作用，弦仍是靜止的，它的速度也為0，到τ+0時(shí)刻，這個(gè)力已作用結(jié)束，時(shí)間非常短，故弦上各點(diǎn)位移根本來(lái)不及變化，變化的只是速度，相當(dāng)于將ν的方程兩邊對(duì)t進(jìn)行積分得

νt|τ+0＝（fx，τ）。如果取τ+0作為初始時(shí)刻，由于該瞬時(shí)力已經(jīng)作用過(guò)了，弦上不受外力，故ν（x，t，τ）滿足的方程應(yīng)為齊次方程，其定解問(wèn)題為

這是齊次方程齊次邊界條件，只是計(jì)時(shí)起點(diǎn)變成了τ，所以只要將其解中的t換成t-τ就可以了。

1.3 拉普拉斯變換法

方程及其邊界條件兩邊對(duì)變量t進(jìn)行拉氏變換得

求解得：

通過(guò)邊界條件求出系數(shù)A和B，再通過(guò)逆變換解出u（x，t）。

2 哥西問(wèn)題的求解

哥西問(wèn)題，是指兩端無(wú)界，即-∞＜x＜∞，因?yàn)闆](méi)有邊界條件的限制，所以不能構(gòu)成本征值問(wèn)題。哥西問(wèn)題可用付立葉變換法和格林函數(shù)法求解。

2.1 付立葉變換法［3］

付立葉變換法（簡(jiǎn)稱(chēng)付氏變換）的思想是通過(guò)積分，如

使原變量x變成新變量λ，而且通過(guò)變換原來(lái)的偏微分方程可變?yōu)槌Ｎ⒎址匠蹋瑥亩骨蠼庾兊孟喈?dāng)簡(jiǎn)單，仍以一維波動(dòng)方程為例進(jìn)行求解。

利用線性方程的疊加原理，方程（2）可分解為

則定解問(wèn)題（3）變成

解uⅡ時(shí)仍用沖量法，使

滿足的方程應(yīng)為齊次方程，其定解問(wèn)題為

對(duì)以上方程再應(yīng)用付氏變換法，求得

2.2 格林函數(shù)法

由于線性方程滿足疊加性，格林函數(shù)法的思想是，先求出點(diǎn)源的解，把任意源看作是點(diǎn)源的疊加，任意源引起的振動(dòng)看作是點(diǎn)源引起的振動(dòng)的疊加。仍以一維波動(dòng)方程為例，進(jìn)行求解。

u對(duì)應(yīng)的格林函數(shù)滿足的方程為

用付氏變換法求得G的像為

3 總結(jié)

從以上的分析可見(jiàn)，偏微分方程的求解方法多種多樣，應(yīng)根據(jù)不同的類(lèi)型，不同的邊界選取不同的方法。有時(shí)，同一個(gè)定解問(wèn)題有多種不同的方法，應(yīng)從中選取最簡(jiǎn)單而有效的方法去求解。

［1］四川大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)第四冊(cè)（數(shù)學(xué)物理方法）［M］.北京：高等教育出版社，2005：147-150.

［2］梁昆淼.數(shù)學(xué)物理方法［M］.北京：高等教育出版社，2000：206-210.

［3］陳義成.數(shù)學(xué)物理方法難點(diǎn)淺析［J］.高等函授學(xué)報(bào)，1994（5）：5-10.

〔責(zé)任編輯 李?！?/p>

The Methods of Solving One Dimension Non-Homogeneous Wave Equation

ZHANG Zi-zhen，LIN Hai
（School of Physical Science and Electronics，Shanxi Datong University，Datong Shanxi，037009）

It is very difficult solving Non-homogeneous partial differential equation.We take up various methods of solving Non-homogeneous Wave Equation so that we promote teaching and learning.

partial differential equation；separation of variable；theorem of impulse；Laplace transform；Fourier transform；Creen function

O411.1

A

1674-0874（2012）05-0026-03

2012-08-06

張子珍（1965-），女，山西陽(yáng)高人，碩士，教授，研究方向：理論物理。