卓澤朋，崇金鳳

(淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000)

“近世代數(shù)”課程的教學(xué)探討

卓澤朋，崇金鳳

(淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北 235000)

近世代數(shù)是本科數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的一門重要的專業(yè)必修課，如何提高該課程的教學(xué)效果和教學(xué)水平，結(jié)合自身的教學(xué)實際，從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法和教學(xué)手段等3個方面進行了論述.

近世代數(shù);教學(xué)內(nèi)容;群;環(huán);域

近世代數(shù)(或抽象代數(shù))是師范院校數(shù)學(xué)專業(yè)本科學(xué)生的一門專業(yè)必修課，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要分支，主要介紹群、環(huán)和域3個代數(shù)系統(tǒng).通過這門課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅將受到本門課程的基本訓(xùn)練，而且還可以培養(yǎng)科學(xué)的思維方式，并為他們進一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)打下扎實的代數(shù)基礎(chǔ).從師范教育的角度看，中學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容絕大部分都是屬于代數(shù)方面的，其中一些最基本的數(shù)學(xué)概念以及一些初等數(shù)學(xué)難題，如果沒有近世代數(shù)的知識是不可能徹底搞清楚的.

我們知道，數(shù)、多項式和矩陣的出現(xiàn)是為了刻畫一些物理量和幾何量，它們具有很強的表現(xiàn)力，使用數(shù)、多項式和矩陣足以刻畫我們遇到的物理量和幾何量.然而，當(dāng)人們企圖刻畫對稱性—— 無論是物理現(xiàn)象中，還是數(shù)學(xué)世界中(尤其是在幾何圖形中)的對稱性時，都無法用單個的數(shù)、多項式或矩陣去刻畫.為了刻畫“對稱”這一概念，人們發(fā)現(xiàn)了群，群是研究對稱性的有力工具.由于物理、幾何、數(shù)學(xué)中對稱這一概念的特殊重要性，群成為近代數(shù)學(xué)極其深刻和重要的概念之一.近世代數(shù)為現(xiàn)代數(shù)學(xué)、現(xiàn)代物理學(xué)、通信和密碼學(xué)等提供了重要的結(jié)論和研究方法.當(dāng)今信息時代，近世代數(shù)有了越來越多的重要應(yīng)用，如有限域在編碼理論、環(huán)和域在對稱密碼體制中的應(yīng)用等.該門課程具有高度抽象性和概念特別多等特點，如何教好這門課程？文章結(jié)合我校數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)(師范類)的近世代數(shù)課程的教學(xué)實際，以文獻[1]為例，從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法和教學(xué)手段3個方面，闡述筆者在具體的授課過程中總結(jié)出的一些經(jīng)驗，以供讀者參考.

1 教學(xué)內(nèi)容

1.1 注重主線,選內(nèi)容

在我校，近世代數(shù)課程一直是數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)(師范類)的一門專業(yè)必修課，安排在第六學(xué)期開設(shè)，共72學(xué)時.隨著我國高等教育改革的不斷深入，為了適應(yīng)當(dāng)前本科通才教育的辦學(xué)理念——“寬口徑”，必須在大學(xué)中增設(shè)課程，為此，學(xué)院對該專業(yè)的教學(xué)計劃作了一定調(diào)整，壓縮了一些學(xué)時，這樣要在72個學(xué)時內(nèi)，詳細(xì)講完文獻[1]中安排的所有內(nèi)容是不可能的.因此，根據(jù)實際需要和后繼課的安排，在不減少授課內(nèi)容、不降低教學(xué)要求的情況下，合理安排教學(xué)進度、調(diào)整教學(xué)內(nèi)容、靈活安排習(xí)題課，充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，提高課堂教學(xué)效果和教學(xué)水平.根據(jù)這一情況，對近世代數(shù)課程的學(xué)時進行如下分配，見表1.

教材共分為5章，主要包括群、環(huán)和域3部分，當(dāng)然這3部分也是近世代數(shù)最基本的內(nèi)容，3部分在具體的授課過程中要抓住主線，圍繞主線進行教學(xué).群的主線是群同態(tài)，同態(tài)或同構(gòu)在比較兩個集合時是非常有效的工具;環(huán)的主線是理想;域的主線是域擴張.

表1 近世代數(shù)學(xué)時分配表

1.2 注重與高等代數(shù)相關(guān)知識的聯(lián)系

分析數(shù)學(xué)、代數(shù)學(xué)和幾何學(xué)是數(shù)學(xué)的3大基礎(chǔ)學(xué)科，在代數(shù)學(xué)這條線中，高等代數(shù)課程起基礎(chǔ)作用，近世代數(shù)課程起承上啟下作用.近世代數(shù)中有許多定義或定理可以看作是高等代數(shù)中相關(guān)定義或相關(guān)定理的推廣，所以在講授近世代數(shù)某些章節(jié)內(nèi)容的時候，我們會和學(xué)生一起回憶以前在高等代數(shù)中學(xué)過的類似的定義或定理，這樣學(xué)生在學(xué)習(xí)這些新定義或新定理時較易于接受，印象也會非常深刻.例如，在講授教材的第4章整環(huán)里的因子分解時，其中很多的結(jié)論都可以看作是高等代數(shù)中類似結(jié)論的推廣，如，整除、唯一分解、最大公因子和不可約多項式等.讓學(xué)生認(rèn)識到這一點，他們就會覺得各門課程或?qū)W科之間并不是獨立存在的，而是一個相互聯(lián)系、彼此相通的有機整體.近世代數(shù)其實并不“抽象”，有些問題完全可以用類似于高等代數(shù)中的思想方法去解決，比如，唯一分解環(huán)的判別定理的證明等.另外，本章第2節(jié)唯一分解環(huán)和第4節(jié)歐氏環(huán)教學(xué)中，我們首先會告知學(xué)生，這兩種特殊的整環(huán)，其實是大家熟悉的整數(shù)環(huán)中任一個非零整數(shù)都存在唯一分解和帶余除法定理在一般整環(huán)中的推廣，這樣會讓學(xué)生事先對這兩種環(huán)有了一個大概的認(rèn)識，在實際學(xué)習(xí)過程中也不會感覺困難.

1.3 注重實例和應(yīng)用知識的介紹

在近世代數(shù)的實際教學(xué)過程中，注重讓學(xué)生了解近世代數(shù)這門課程在現(xiàn)實生活中的主要應(yīng)用，有意識地引導(dǎo)學(xué)生在熟悉的知識中去找一些抽象概念的具體例子，以此來更好地理解這些比較抽象的概念，正像恩格斯指出的“自然界對一切想像的數(shù)量都提供了原型”.對于一些抽象概念的學(xué)習(xí)，我們先給出一些學(xué)生熟悉的具體的實例，然后從這些實例中抽象概括出對象的本質(zhì)屬性，再用概念去解決具體問題.這個過程體現(xiàn)了由具體到抽象的認(rèn)識過程，是符合學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中從感知到理解，從表象到概念的認(rèn)識規(guī)律.同時，給學(xué)生介紹近世代數(shù)知識在實際生活中的應(yīng)用，從而讓學(xué)生充分感受到近世代數(shù)這門課程的魅力和實用價值.比如:

(1)在課程的講授全過程，始終抓住一個具體的實例，即全體整數(shù)構(gòu)成的集合對于普通的加法或/和普通的乘法構(gòu)成的代數(shù)系統(tǒng).在教材中，從第一章到第四章，該實例共出現(xiàn)了26次(不包括課后習(xí)題)，該代數(shù)系統(tǒng)是學(xué)生非常熟悉的，對學(xué)生理解一些抽象的概念，如循環(huán)群、整環(huán)、零因子、唯一分解環(huán)和歐氏環(huán)等都有很大幫助.

(2)域是一種特殊的環(huán)，需要在一般環(huán)的定義中加上許多限制條件，在講授域的定義的時候，不妨拋開群和環(huán)的知識.首先和學(xué)生一起回憶全體有理數(shù)集合和全體實數(shù)集合關(guān)于普通加法和普通乘法構(gòu)成的代數(shù)系統(tǒng)所具有的性質(zhì).然后，從這兩個具體實例中找出它們的共性(關(guān)于加法是可交換、可結(jié)合、存在單位元0和每個元素都存在負(fù)元;關(guān)于乘法是可交換、可結(jié)合、存在單位元1和每個非零元都存在逆元;加法和乘法是可分配的)，這些共性恰好是域所滿足的性質(zhì)，從而就得到了域的定義.這種方法可以讓學(xué)生很快就能較好地理解和掌握域的定義及其一些基本性質(zhì)，有很好的教學(xué)效果.

(3)在講授域的時候，向?qū)W生介紹有限域在密碼學(xué)中的應(yīng)用.隨著計算機科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展，信息安全越來越重要，它不僅涉及到軍事、政治和外交領(lǐng)域，而且還與我們的日常生活息息相關(guān)，信息安全的核心就是密碼學(xué)，而有限域在密碼學(xué)中有著非常重要的應(yīng)用.二元域的構(gòu)造及在糾錯碼中的應(yīng)用、線性反饋移位寄存器序列和布爾函數(shù)等都需要用到有限域，這些知識都可以向?qū)W生介紹.

1.4 注重歷史知識的滲透

興趣是最好的老師，它永遠(yuǎn)勝過責(zé)任感.了解數(shù)學(xué)史，可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和探索精神[2－3].在日常的教學(xué)過程中，介紹一些與授課內(nèi)容相關(guān)的數(shù)學(xué)史題材，從教學(xué)效果來看，這些素材的引入，對學(xué)生的學(xué)習(xí)有很大的促進作用，不僅調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且?guī)椭鷮W(xué)生將抽象的概念具體化.

在第2章群論的授課中，學(xué)生簡單介紹了高次方程(五次和五次以上的方程)的根式解問題.1770年Lagrange發(fā)表了一篇論文，探討了一般三次、四次方程能用根式求解的原因，后來，Ruffini明確提出要證明高于四次的一般方程不可能用代數(shù)方法求解.1824年Abel出版了一本小冊子《論代數(shù)方程，證明一般五次方程的不可解性》，解決了五次和五次以上的一般方程不能用根式求解的問題.之后，數(shù)學(xué)家面臨的一個問題是:什么樣的特殊方程能夠用根式求解？這個問題被Galois解決了，在解決此問題的時候，Galois給出了歷史上最早的“群”的定義，具體地說是置換群的定義.又如，在學(xué)習(xí)環(huán)的理想的時候，我們給學(xué)生介紹了物不知其數(shù)問題，也即是《孫子算經(jīng)》中寫過的一個問題:今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？孫子算經(jīng)中給出了它的解法，19世紀(jì)初Gauss給出了它的一般性定理，因此國際上稱《孫子算經(jīng)》中的問題為“中國剩余定理”.近世代數(shù)對此問題有幾種形式的推廣，主要是用環(huán)的理想、直和來表示的.

2 教學(xué)方法與教學(xué)手段

數(shù)學(xué)具有高度的抽象性，關(guān)于這個特點在近世代數(shù)課程中更是體現(xiàn)得淋漓盡致.在近世代數(shù)的實際教學(xué)中，如何將抽象的概念和問題具體化，從而讓學(xué)生較容易地接受和理解這些新概念和新定理，教學(xué)方法和教學(xué)手段的選擇是非常重要的.弗賴登塔爾曾經(jīng)指出:教學(xué)要像助產(chǎn)士一般，時刻觀察著、聯(lián)系著她的工作對象，決不可只借用學(xué)生的耳朵，而不啟動學(xué)生的腦子.

教學(xué)得法，事半功倍.選擇某一堂課的教學(xué)方法，我們首先考慮的是這堂課的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)，如，這是一堂掌握新概念的課？復(fù)習(xí)課？形成技能的課？概括知識并使之系統(tǒng)化的課？等.對于這些不同的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)，我們會選擇諸如教師講授、學(xué)習(xí)討論和學(xué)生自主探究等教學(xué)方法.

在近世代數(shù)的教學(xué)過程中，主要采用啟發(fā)式的教學(xué)模式，經(jīng)常會通過提出某一個學(xué)習(xí)問題，引導(dǎo)學(xué)生解決它，并從中獲取解決問題的經(jīng)驗.如，在講解代數(shù)運算(又稱二元運算)的定義時，教材中直接就給出了這個定義，這樣學(xué)生不容易接受，很難抓住其本質(zhì)，而我們在講課的時候，首先讓學(xué)生回憶數(shù)或矩陣的加法、乘法;矩陣的乘法等這些已知的知識，然后提出“它們的共同點是什么”這一問題，讓學(xué)生歸納:集合 S上的代數(shù)運算是一個對應(yīng)法則，對于 S中的任意兩個元素，按照這個法則都有 S種唯一一個元素與其對應(yīng)，進一步地就可抽象出代數(shù)運算的定義.通過這樣的方法，學(xué)生很容易掌握這個定義.在講解群、環(huán)和域的定義時，都可以使用這種歸納啟發(fā)式.

同時，注意課堂中的提問技巧.近世代數(shù)的課后習(xí)題多為證明題，此類命題的真假一般都是確定的，只需學(xué)生利用定義或公式進行驗證即可.在實際教學(xué)過程中，我們經(jīng)常會向?qū)W生提出如下一些問題:“這個結(jié)論的逆命題成立嗎”“這個命題中，去掉一個條件，該結(jié)論還成立嗎”“此題還有其他的方法或簡單方法證明嗎”等等，通過提出這樣的問題，讓學(xué)生進行思考，可以激發(fā)學(xué)生的發(fā)散思維.課堂講授以黑板演示為主，引導(dǎo)學(xué)生跟上教師的講課思路，特別是推導(dǎo)部分的思路，去理解課程的知識點.少量的多媒體輔助教學(xué):借助電腦和投影儀來演示長篇的概念或定理陳述，避免抄寫、重新的歸納結(jié)果等.

武漢大學(xué)齊民友教授一直教導(dǎo)他的學(xué)生:“數(shù)學(xué)是算懂的，而不是看懂的，當(dāng)然更不是聽懂的.”[4]所以，合理地布置一定數(shù)量的作業(yè)對于近世代數(shù)的學(xué)習(xí)是非常必要的.近世代數(shù)主要以抽象的代數(shù)運算去研究抽象的代數(shù)結(jié)構(gòu)，這樣的研究方法使得不少學(xué)生感到學(xué)習(xí)近世代數(shù)無從下手，而通過做習(xí)題可以掌握和鞏固這些抽象的概念和定理，在做題的過程中也培養(yǎng)了他們分析和解決問題的能力.當(dāng)然習(xí)題的選擇我們盡量照顧大部分學(xué)生的知識水平，有數(shù)量和難度的要求，有一定的廣度和適當(dāng)?shù)纳疃?，盡可能地覆蓋所學(xué)的內(nèi)容.除教材中的習(xí)題外，我們還編寫了含有填空、選擇、計算、證明的練習(xí)題及復(fù)習(xí)思考題，為學(xué)生開闊思路、復(fù)習(xí)總結(jié)提供參考.

3 結(jié)束語

教學(xué)實踐表明，近世代數(shù)的基本概念、理論和方法，是每一個數(shù)學(xué)工作者必備的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)之一.理解和掌握近世代數(shù)的基本內(nèi)容、理論和方法，不僅可以加深學(xué)生理解數(shù)學(xué)的基本思想和方法，而且還可以提高學(xué)生的抽象思維能力和培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)修養(yǎng).對于這門課程的教材選用，我們學(xué)院以教材為主，結(jié)合教學(xué)實踐，認(rèn)為這本教材內(nèi)容比較精簡，例題和課后習(xí)題偏少，與高等代數(shù)課程聯(lián)系較少，一些新出現(xiàn)的與群、環(huán)和域相關(guān)的知識缺乏，也沒有實際應(yīng)用的例子.因而，在今后的教學(xué)過程中，我們會編寫一本順應(yīng)時代發(fā)展和適合我校教學(xué)實際情況的近世代數(shù)教材.

[1]張禾瑞.近世代數(shù)基礎(chǔ)[M].北京:高等教育出版社，1978.

[2]唐光倫.發(fā)揮數(shù)學(xué)史作用，提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量[J].四川文理學(xué)院學(xué)報:教育教學(xué)研究專輯，2008，18:117－118.

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[9]萬哲先.代數(shù)和編碼[M].北京:科學(xué)出版社，1985.

[10]郭華光，徐祥，裴定一.近世代數(shù)課程的教學(xué)內(nèi)容的改革與實踐[J].廣州大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2003，2(6):587－590.

Abstract:Modern algebra is an important specialized course in department of mathematics.How to improve its teaching effect and teaching level.Teaching practice is given from teaching content，teachingmethod and means of instruction in this paper.

Key words:modern algebra;teaching content;group;ring;field

On the Teaching Practice of M odern Algebra

ZHUO Ze-peng，CHONG Jin-feng
(School of Mathematical Science，Huaibei Normal University，235000，Huaibei，Anhui，China)

G 642.0

C

2095－0691(2012)03－0080－04

2012－01－16

卓澤朋(1978－ )，男，安徽靈璧人，碩士，副教授，研究方向:密碼學(xué)及信息安全.