基于行車時(shí)間的道路網(wǎng)絡(luò)時(shí)空自相關(guān)模型研究

(中南大學(xué) 地球科學(xué)與信息物理學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙，410083)

近年來(lái)，為了解決日益嚴(yán)重的城市交通問(wèn)題，提升城市交通管理現(xiàn)代化水平，各大城市紛紛建立了各自的智能交通管理系統(tǒng)，并由此積累了海量的實(shí)時(shí)交通時(shí)空數(shù)據(jù)，如交通流量、行車時(shí)間、行車速度等等。這些數(shù)據(jù)具有復(fù)雜的時(shí)間關(guān)系和空間關(guān)系，具有多源、多維、異構(gòu)、海量、多尺度、多時(shí)相等特點(diǎn)[1?2]。如何充分有效地分析這些交通時(shí)空數(shù)據(jù)，構(gòu)建一個(gè)時(shí)空一體化的交通預(yù)測(cè)模型，對(duì)于研究交通時(shí)空現(xiàn)象，解決城市交通問(wèn)題具有十分重要的科學(xué)意義。而分析交通網(wǎng)絡(luò)的時(shí)空自相關(guān)結(jié)構(gòu)則是建立時(shí)空預(yù)測(cè)模型的關(guān)鍵[3]。空間自相關(guān)分析是空間統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用的一種分析方法，它可以分析研究對(duì)象在空間上的分布特征和空間依賴性，已廣泛應(yīng)用于區(qū)域經(jīng)濟(jì)、生態(tài)、流行病等領(lǐng)域[4?8]。時(shí)空自相關(guān)則是在空間自相關(guān)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步考慮時(shí)間因子，進(jìn)而將空間自相關(guān)分析問(wèn)題拓展到時(shí)空自相關(guān)。目前，現(xiàn)有的相關(guān)研究大多是針對(duì)點(diǎn)狀對(duì)象和面狀對(duì)象進(jìn)行的，對(duì)線狀對(duì)象(如道路、河流、管道等)的相關(guān)問(wèn)題研究的還很少[9]，而且針對(duì)交通領(lǐng)域的相應(yīng)研究大多采用的還是空間相關(guān)性分析方法[10?12]。為此，本文作者提出一種適合于道路網(wǎng)絡(luò)的鄰接矩陣建立方法，并建立一種新的局部時(shí)空自相關(guān)指數(shù)。在此基礎(chǔ)上，以倫敦市道路網(wǎng)絡(luò)為例，對(duì)其時(shí)空自相關(guān)性進(jìn)行分析，并與現(xiàn)有的局部時(shí)空自相關(guān)指數(shù)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

1 空間權(quán)重矩陣

空間權(quán)重矩陣是時(shí)空相關(guān)性度量的基礎(chǔ)，是對(duì)空間對(duì)象鄰近性的定量測(cè)度，表達(dá)了不同空間對(duì)象之間的空間布局，如拓?fù)洹⑧徑雨P(guān)系等[13]。

1.1 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)鄰接關(guān)系表達(dá)

空間對(duì)象之間的鄰接關(guān)系通常用二進(jìn)制0和1表示，因而亦稱為二元鄰接矩陣。判斷空間單元間的鄰接關(guān)系常用到兩種規(guī)則：一種是簡(jiǎn)單的鄰接關(guān)系規(guī)則，可以表達(dá)為：

另一種是基于距離的鄰接關(guān)系規(guī)則，表達(dá)為：

在實(shí)際應(yīng)用中，采用哪種規(guī)則判斷鄰接關(guān)系主要取決于空間對(duì)象的類型。對(duì)于面狀對(duì)象，通常采用簡(jiǎn)單的鄰接關(guān)系規(guī)則；對(duì)于點(diǎn)狀對(duì)象，一般采用基于距離的鄰接關(guān)系規(guī)則。而對(duì)于復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)，鄰接關(guān)系的判斷則較復(fù)雜。在圖論中，1個(gè)網(wǎng)絡(luò)可以抽象用圖G=(N，E)表示(其中，N表示結(jié)點(diǎn)的集合，E表示邊的集合)。于是，網(wǎng)絡(luò)的鄰接關(guān)系也可以從2種方法來(lái)建立：一種從結(jié)點(diǎn)的角度出發(fā)，當(dāng) 2個(gè)結(jié)點(diǎn)i和j之間有公共邊連接時(shí)，認(rèn)為結(jié)點(diǎn)i與結(jié)點(diǎn)j是直接相鄰，也稱為一階鄰接，否則認(rèn)為不相鄰；另一種從邊的角度出發(fā)，當(dāng)2條邊p和q之間有公共結(jié)點(diǎn)時(shí)，邊p和q之間滿足一階鄰接，由此建立的鄰接矩陣稱為一階鄰接矩陣。同理，在網(wǎng)絡(luò)中沿著某一條路徑可以建立點(diǎn)或邊的n階鄰接矩陣。由于本文研究的對(duì)象是基于路段采集的行車時(shí)間，為此，下面采用基于邊的鄰接矩陣建立方法。

在圖論中，1個(gè)道路網(wǎng)絡(luò)可以抽象表達(dá)為1個(gè)圖，并可分為無(wú)向圖和有向圖。無(wú)向圖的鄰接矩陣是1個(gè)對(duì)角線為零的對(duì)稱矩陣，即wij=wji，如圖1所示。圖1(a)所示為1個(gè)具有5條邊6個(gè)結(jié)點(diǎn)的無(wú)向圖；圖1(b)所示為基于邊的一階鄰接矩陣；圖 1(c)所示為基于邊的二階鄰接矩陣。而有向圖由于存在方向性，因而多為非對(duì)稱矩陣，即wij≠wji，如圖2所示。

1.2 道路網(wǎng)絡(luò)的空間權(quán)重矩陣

圖1 無(wú)向圖及其基于邊的鄰接矩陣Fig.1 Undirected graph and its adjacency matrixes based on edge

城市道路網(wǎng)絡(luò)是由路段以及路段之間的交叉路口組成的1個(gè)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，在圖論中既可以抽象為無(wú)向圖，也可以抽象為有向圖。如果只考慮網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)而不考慮交通流方向時(shí)，可視為1個(gè)無(wú)向圖?？紤]交通流向時(shí)則為1個(gè)有向圖。但是，道路網(wǎng)絡(luò)的鄰接矩陣與一般有向網(wǎng)的鄰接矩陣是不同的，這主要是由于道路網(wǎng)絡(luò)中交通流的影響是雙向的。為了便于分析，下面只取道路網(wǎng)中單方向的交通流來(lái)分析其鄰接關(guān)系。圖3所示為1個(gè)三叉路口的交通流傳播情形，其中帶箭頭的實(shí)線表示交通流方向，顏色深的實(shí)線代表流量增大，虛線表示交通流影響方向。在正常情況下，交通流從上游路段1和路段2流向下游路段3，影響方向主要是上游影響下游，如圖 3(a)所示。如果上游路段2交通流量增加，必然引起下游路段3的流量增大，如圖3(b)和(c)所示。然而，隨著路段3流量的增加，將會(huì)反向影響到它的上游路段1，使路段1的流量增大，如圖3(d)所示?？梢?jiàn)：路段1和路段2相互之間的影響并不是直接的，而是通過(guò)路段3間接影響對(duì)方，因此，路段1和路段2之間并不是一階鄰接關(guān)系，但可視為二階鄰接。另外，路段1與路段3之間的相互影響是直接的，它們互為一階鄰接。同理，路段2與路段3也互為一階鄰接。據(jù)此，可以建立道路網(wǎng)絡(luò)的一階鄰接矩陣和二階鄰接矩陣，如圖4所示。對(duì)比圖4和圖2可以發(fā)現(xiàn)：2個(gè)結(jié)構(gòu)相同但含義不同的有向圖，其鄰接矩陣的值是不同的。圖4中道路網(wǎng)絡(luò)圖的一階和二階矩陣都是1個(gè)對(duì)角線為0的對(duì)稱矩陣，這一點(diǎn)與無(wú)向圖的特點(diǎn)相一致。

圖2 有向圖及其基于邊的鄰接矩陣Fig.2 Directed graph and its adjacency matrixes based on edge

2 時(shí)空自相關(guān)模型

時(shí)空自相關(guān)是對(duì)時(shí)間和空間相關(guān)的度量[14]，目前已提出了一些度量時(shí)空相關(guān)性的指標(biāo)，如簡(jiǎn)單時(shí)空自相關(guān)指數(shù)[15]、單變量時(shí)空自相關(guān)指數(shù)[16]以及在局部Moran’s I上擴(kuò)展的時(shí)空相關(guān)指數(shù)[17]等。本文采用Pfeifer等[18?19]提出的時(shí)空自相關(guān)函數(shù)(Spatio-temporal autocorrelation function, ST-ACF)來(lái)分析全局時(shí)空自相關(guān)情況，用Box等[20]提出的相關(guān)函數(shù)(Cross correlation function, CCF)來(lái)驗(yàn)證新的局部時(shí)空自相關(guān)指數(shù)。

2.1 全局度量指數(shù)

Pfeifer等[18?19]定義的時(shí)空自相關(guān)函數(shù)從時(shí)間和空間2個(gè)方面來(lái)度量任意時(shí)間延遲和空間延遲下樣本之間的相關(guān)度，并可表達(dá)為：

式中：ρho(s)為時(shí)空自相關(guān)系數(shù)；s為時(shí)間延遲；h為空間延遲；Wh表示空間延遲為h的空間權(quán)重矩陣；W0是空間延遲為0的空間權(quán)重矩陣，即是1個(gè)單位矩陣；σh(0)表示空間延遲為h、時(shí)間延遲為0的樣本方差。從式(3)可以看出：時(shí)空自相關(guān)函數(shù)度量了當(dāng)前時(shí)間t當(dāng)前區(qū)域的樣本與該樣本在時(shí)間延遲s、空間延遲h所形成的區(qū)域存在多大的相關(guān)度。

2.2 局部度量指數(shù)

Box等[20]提出的相關(guān)函數(shù)可度量2個(gè)區(qū)域樣本在指定的時(shí)間延遲上的相關(guān)性，是1個(gè)局部度量指標(biāo)。有學(xué)者通過(guò)實(shí)驗(yàn)證明了此函數(shù)可用于度量道路網(wǎng)路段之間的時(shí)空自相關(guān)性[3]。假設(shè)x和y為2個(gè)時(shí)間序列，2個(gè)序列在時(shí)間延遲s下的時(shí)空相關(guān)系數(shù)可定義為：

式中：和分別為x和y的均值；σx和σy分別為序列x和y的方差。從式(4)可看出：當(dāng)此函數(shù)用于多因子分析時(shí)，可作為互相關(guān)函數(shù)；當(dāng)用于單因子分析時(shí)，亦可視為自相關(guān)函數(shù)。

2.3 基于鄰接關(guān)系的局部度量指數(shù)

從上面的局部度量指數(shù)定義可以看出：CCF度量的是2個(gè)樣本之間的相關(guān)性，適用于處理一對(duì)一的情況。然而，在現(xiàn)實(shí)世界中，空間區(qū)域之間存在著許多一對(duì)多和多對(duì)多的鄰接情況。為此，下面提出一種基于鄰接關(guān)系的局部時(shí)空自相關(guān)指數(shù)(Local spatio-temporal autocorrelation function based on adjacency，簡(jiǎn)稱LSTACFA)。

式中：為樣本x的均值；σx為樣本方差。此函數(shù)可進(jìn)一步寫(xiě)成：

3 實(shí)例分析

本實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)自于英國(guó)倫敦LCAP項(xiàng)目中所采集的行車時(shí)間數(shù)據(jù)，該數(shù)據(jù)以5 min為時(shí)間間隔。實(shí)驗(yàn)選取了倫敦市中心城區(qū) 22條路段(見(jiàn)圖 5)，時(shí)間從2009?01?06到2009?08?08總共33周星期二的觀測(cè)數(shù)據(jù)，經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)預(yù)處理，總共有 24×22×288=152 064個(gè)觀測(cè)值。由于22條路段的長(zhǎng)度從207.7 m到15.5 km不等，于是，采用單位長(zhǎng)度的行車時(shí)間來(lái)進(jìn)行分析，即用行車時(shí)間除以路段長(zhǎng)度，圖6所示是其中的5條路段24 h的單位行車時(shí)間分布圖。從圖6可以看出：不同的路段在不同的時(shí)間段波動(dòng)有很大的差異，有些路段在全天24 h內(nèi)波動(dòng)振幅都不大，如R2085路段，但有的路段振幅比較大，如R1593路段。這亦體現(xiàn)了交通狀況的動(dòng)態(tài)性和異質(zhì)性。

為了反映每一條鄰接路段對(duì)于研究單元的貢獻(xiàn)，實(shí)驗(yàn)中采用行標(biāo)準(zhǔn)化權(quán)重矩陣，即用鄰接矩陣的行元素除以矩陣每行之和。

圖5 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)示意圖Fig.5 Experiment data

圖6 單位行車時(shí)間分布圖Fig.6 Distribution of unit journey time

為了檢驗(yàn)時(shí)空相關(guān)性在時(shí)間和空間上的變化，本實(shí)驗(yàn)根據(jù)倫敦的作息時(shí)間，將全天數(shù)據(jù)分為早高峰時(shí)段(07:00—10:00)、中間時(shí)段(10:00—16:00)和晚高峰時(shí)段(16:00—19:00)。空間權(quán)重取0階、一階和二階矩陣，鄰接矩陣的建立根據(jù)交通網(wǎng)絡(luò)中交通流的方向是單向但影響是雙向的思想建立。實(shí)驗(yàn)分析分3步：首先，采用ST-ACF分析在不同時(shí)段、不同空間階權(quán)重矩陣的全局相關(guān)性；然后，采用基于鄰接關(guān)系的時(shí)空自相關(guān)函數(shù)分析局部時(shí)空相關(guān)性；最后，采用CCF指數(shù)驗(yàn)證新的局部度量指數(shù)的合理性和準(zhǔn)確性。

3.1 全局時(shí)空自相關(guān)分析

實(shí)驗(yàn)采用 ST-ACF函數(shù)計(jì)算了所有路段在空間0階、一階和二階鄰接矩陣下的時(shí)空自相關(guān)指數(shù)，如圖7所示。從圖7可以發(fā)現(xiàn)：

(1) 時(shí)空相關(guān)指數(shù)呈現(xiàn)周期性變化，周期長(zhǎng)度與分析的時(shí)間段長(zhǎng)度一致，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)以5 min為間隔，1 d內(nèi)共有288個(gè)間隔。

(2) ST-ACF隨著空間階數(shù)的增加而遞減，表示時(shí)空相關(guān)性隨著空間距離的加大逐步減弱。在空間0階和一階時(shí)，ST-ACF大于0并且置信度大于95%，表現(xiàn)出了顯著的正相關(guān)，但是在空間二階時(shí)，時(shí)空相關(guān)性表現(xiàn)不明顯。這說(shuō)明倫敦市的交通狀況存在著顯著的正相關(guān)性，這種時(shí)空相關(guān)性主要體現(xiàn)在直接相鄰路段之間，而非直接相鄰路段之間的時(shí)空相關(guān)性不顯著。

(3) 中間時(shí)段的 ST-ACF指標(biāo)大于早高峰和晚高峰時(shí)間的 ST-ACF，并且早高峰與晚高峰時(shí)段指標(biāo)的變化相比中間時(shí)段更為平緩，其中早高峰的變化接近直線。倫敦市交通在不同的時(shí)間段呈現(xiàn)了不同的交通模式這說(shuō)明了時(shí)空自相關(guān)具有時(shí)間動(dòng)態(tài)性和空間異質(zhì)性。

圖7 ST-ACF分析圖Fig.7 Index values of ST-ACF

3.2 局部時(shí)空自相關(guān)分析

全局分析指標(biāo)描述的某種現(xiàn)象的整體分布情況，僅用1個(gè)單一值反映整體情況難以探測(cè)不同位置區(qū)域的關(guān)聯(lián)模式，往往還會(huì)掩蓋一些局部異質(zhì)性。因此，在分析了全局相關(guān)性之后，有必要進(jìn)一步分析其局部時(shí)空相關(guān)性。實(shí)驗(yàn)計(jì)算了各路段在早高峰、中間時(shí)段和晚高峰時(shí)段的局部指標(biāo)值，選取了其中連續(xù)6條道路在空間一階情況下的指標(biāo)值見(jiàn)圖8。從圖8可以發(fā)現(xiàn)：(1) 不同路段的局部時(shí)空自相關(guān)值表現(xiàn)出了明顯異質(zhì)性。例如：在10:00—16:00時(shí)段，當(dāng)時(shí)間延遲為0、空間距離為1時(shí)，幾條路段的局部時(shí)空相關(guān)性指標(biāo)從?0.3到0.5區(qū)間變化，這意味著一些路段與其直接相鄰路段之間的相關(guān)性存在著明顯的差異。從圖8中顯示出路段R463，R1593和R2324呈現(xiàn)了較強(qiáng)的正相關(guān)，R2007指標(biāo)值接近0表示它與相鄰路段不相關(guān)，路段R2085和R2079則表現(xiàn)出負(fù)相關(guān)性。并且這幾條路段的局部時(shí)空相關(guān)性隨著時(shí)間延遲的增大所呈現(xiàn)的變化趨勢(shì)也是不同的。路段 R463，R1593和 R2324的相關(guān)性隨著時(shí)間延遲的增大逐步降低，路段R2007的相關(guān)性基本無(wú)變化，而路段R2085和R2079的相關(guān)性則隨著時(shí)間延遲的增大逐漸由負(fù)值轉(zhuǎn)變?yōu)檎怠?2) 在不同的時(shí)間段，路段的局部時(shí)空自相關(guān)值發(fā)生變化。如R2079在早高峰時(shí)表現(xiàn)正相關(guān)，但在中間時(shí)段和晚高峰時(shí)段則呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，這說(shuō)明自相關(guān)結(jié)構(gòu)隨著時(shí)間發(fā)生變化。為了體現(xiàn)這種變化，實(shí)驗(yàn)繪制了局部時(shí)空自相關(guān)指標(biāo)值在空間一階、時(shí)間延遲為0時(shí)的分布圖，如圖9所示。圖9(a)，(b)和(c)所示分別為早高峰時(shí)段、中間時(shí)段和晚高峰時(shí)段LSTACFA空間分布圖。從圖9可以發(fā)現(xiàn)：較強(qiáng)正相關(guān)路段主要出現(xiàn)在路網(wǎng)的南部和東北部。西北部路段在早高峰時(shí)相關(guān)性較弱，隨后逐漸增強(qiáng)。

3.3 局部時(shí)空自相關(guān)性指標(biāo)的驗(yàn)證

圖8 空間一階下的LSTACFA分析圖Fig.8 Index values of LSTACFA at spatial order one

圖9 LSTACFA空間分布圖Fig.9 Spatial distribution of LSTACFA

為了驗(yàn)證新的局部自相關(guān)指標(biāo)的準(zhǔn)確性，選擇CCF與其進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)選擇了3條比較有代表性的路段，分別為R1025，R1593和R2324路段。其中R1025路段只有1個(gè)鄰接路段，R1593和R2324有2個(gè)和3個(gè)鄰接路段。計(jì)算這3條路段在一階鄰接矩陣下的LSTACFA和CCF，將指標(biāo)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，如圖10所示。可以發(fā)現(xiàn)2個(gè)指標(biāo)值相似度非常高。對(duì)這2個(gè)指標(biāo)進(jìn)一步進(jìn)行相關(guān)性分析，其決定系數(shù)分別達(dá)到0.984，0.990和0.995。在二階鄰接矩陣下2個(gè)指標(biāo)的決定系數(shù)也在0.980以上，說(shuō)明考慮鄰接關(guān)系的時(shí)空自相關(guān)指標(biāo)是能夠正確地反映道路網(wǎng)上存在的時(shí)空相關(guān)性。

圖10 LSTACFA與CCF對(duì)比圖Fig. 10 Comparison between LSTACFA and CCF

4 結(jié)論

(1) 倫敦市路網(wǎng)存在著顯著的時(shí)空正相關(guān)，這種時(shí)空相關(guān)性主要體現(xiàn)在直接相鄰路段之間，而非直接相鄰路段之間的時(shí)空相關(guān)性不顯著。

(2) 倫敦市交通在不同的時(shí)間段呈現(xiàn)了不同的交通模式，說(shuō)明時(shí)空自相關(guān)具有時(shí)間動(dòng)態(tài)性和空間異質(zhì)性的特點(diǎn)。

(3) 考慮鄰接關(guān)系的局部時(shí)空自相關(guān)指數(shù)在處理空間區(qū)域之間一對(duì)多的情況時(shí)更具有優(yōu)勢(shì)，是準(zhǔn)確可行的。

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