林麗芬，肖 化，吳先球

（華南師范大學，廣東 廣州 510006）

實驗測量的數(shù)據(jù)中有時會發(fā)現(xiàn)個別數(shù)據(jù)與其他數(shù)據(jù)差異很大（過大或過?。@是由于實驗過程中出現(xiàn)某種差錯或者環(huán)境條件突變造成的，文中稱為異常數(shù)據(jù)。對于一組實驗中異常數(shù)據(jù)的取舍，如果將混有異常數(shù)據(jù)的實驗數(shù)據(jù)進行實驗結果計算，會加大實驗誤差，甚至是歪曲實驗結果，因此要將這些異常數(shù)據(jù)剔除，以符合客觀事實。但不能為了得到精度更高的結果，而任意地把一些誤差較大、但符合測量值隨機波動性而含有正常偏差的數(shù)據(jù)剔除[1，2]。

本文以《測直流電源的電動勢和內(nèi)阻》為例，利用Origin軟件進行實驗數(shù)據(jù)線性擬合的功能，分別以肖維勒準則[1]和格拉布斯準則[2]實現(xiàn)異常數(shù)據(jù)的判斷和剔除，并比較兩種準則使用范圍的差異。

1 肖維勒準則和格拉布斯準則

1.1 肖維勒準則

在n次測量中，取不可能發(fā)生的個數(shù)為0.5，那么對正態(tài)分布而言，誤差不可能出現(xiàn)的概率為

利用標準正態(tài)函數(shù)表，根據(jù)等式右端的已知值n可查表求出肖維勒系數(shù)ωn。對于數(shù)據(jù)點xd，若其殘差Vd滿足Vd＞ωnσ則剔除，否則xd應保留。其中σ是樣本標準差。

1.2 格拉布斯準則

設n個測量值按大小順序排列x1≤x2≤…≤xn，假設xn是需要檢驗判別的異常數(shù)據(jù)。S和Sn都是測量值的函數(shù)，對應的概率密度為

通過查表可得λ（n，α）值，根據(jù)異常數(shù)據(jù)xn與平均值的殘否大于λ（n，α）倍樣本標準差σ來判斷異常數(shù)據(jù)是否應當剔除。

2 用Origin實現(xiàn)實驗數(shù)據(jù)的剔除[4]

首先將伏安法測得外電路的電流和電壓的實驗數(shù)據(jù)如表1所示[5]。

表1 實驗數(shù)據(jù)

輸入到Origin的工作表Worksheet中，生成二維坐標數(shù)據(jù)點狀分布圖，調(diào)用Origin內(nèi)置的最小二乘法線性擬合工具，如圖1所示。

圖1 原始數(shù)據(jù)線性擬合結果

由圖1可看出，測量數(shù)據(jù)中第5、11點離擬合直線偏差較大，是異常數(shù)據(jù)。通過Column／Add New Column新增一列，命名為Vd，存放殘差。調(diào)出script window 執(zhí)行命令：Data1＿Vd＝5.51444＋Data1＿I＊（-3.22794）－Data1＿U；得到Vd列的值。

2.1 用肖維勒準則判斷

當n為11時，ω11為2.00。新增一列，命名為Contrast1，該列執(zhí)行命令：

Data1＿Contrast1 ＝ abs（Data1＿Vd） －2.00＊0.06865；

圖2 肖維勒準則和格拉布斯準則與殘差的比較結果對比

2.2 用格拉布斯準則判斷

當n為11時，λ（11，0.05）為2.24。新增一列，命名為Contrast2，該列為行命令：

Data1＿Contrast2＝abs（Data1＿Vd）－2.24＊0.06865；

如圖2所示，Contrast2所有數(shù)值都為負值，即所有的數(shù)值都是符合統(tǒng)計學概率而出現(xiàn)的。

2.3 討論

兩個準則的判別結果如圖2所示，但相互矛盾的結果并不能說明肖維勒準則比格拉布斯準則的保留數(shù)據(jù)較窄，從而認為前者比后者更可靠。雖然兩個準則都與測量次數(shù)掛鉤，但肖維勒準則存在明顯缺點：n不同時，置信水平就不同；而格拉布斯準則可根據(jù)研究對象的特點，選擇合適的置信水平進行討論。肖明耀[1]、吳先球[2]等人都提到格拉布斯準則的剔除原則同時與測量次數(shù)、顯著性水平聯(lián)系起來，并適用于n＜100的情況，對樣本中僅混入一個異常數(shù)據(jù)的情況判別效率最高[3]。

首先，在本例中測量樣本比較小，兩種準則的標準差 因偏離正態(tài)分布而不準確，但σ由Origin軟件中的內(nèi)置程序處理所得，數(shù)值相等，可信度高。忽略標準差 存在的誤差。

其次，兩個準則判斷是否為異常數(shù)據(jù)時，都滿足

k是統(tǒng)計臨界系數(shù)。對應于相同的測量次數(shù)，兩準則的統(tǒng)計臨界系數(shù)各不相同，而判斷結果對統(tǒng)計臨界系數(shù)相當敏感。在同一k值下（k＝3）格布拉斯準則對應的測量次數(shù)n＝25（α＝0.01）、n＝50～60（α＝0.05），而肖維勒準則是185。

第三，格拉布斯準則在相同的k值下，置信水平不同（0.01、0.025、0.05三個置信水平），n值有所不同。n相同時，λ（n，0.01）比λ（n，0.05）大，即α＝0.01比α＝0.05的保留數(shù)據(jù)窄，說明σ在一定時，α值越小，對異常數(shù)據(jù)剔除的要求更嚴格，有效避免錯誤剔除包含正常誤差或保留了含有粗大誤差的數(shù)據(jù)。

最后，針對實際的測量次數(shù)選擇合適準則，確保正確地剔除壞值，保留好值。在統(tǒng)計臨界系數(shù)k＝3時，肖維勒準則的系數(shù)ωn隨n（n＜185）相對格拉布斯準則的系λ（n，α）數(shù)隨n（n＜25）的變化小，即格拉布斯準則的系數(shù)λ（n，α）對測量次數(shù)n（n＜25的變化比較敏感[3]。在本例中測量次數(shù)n＝11，ω11＝2.00比λ（11，0.01）＝2.48小，容易剔除含有較大正常誤差的測量值。

因此，文中《測直流電源的電動勢和內(nèi)阻》的11組原始數(shù)據(jù)中，第5個數(shù)據(jù)是否剔除，應當采用格拉布斯準則（置信水平α為0.01）不剔除這個數(shù)據(jù)，雖然σ會偏大，但結果相對安全且符合統(tǒng)計學規(guī)律。

3 結 論

利用Origin數(shù)據(jù)線性回歸的功能與異常數(shù)據(jù)剔除原則分析實驗數(shù)據(jù)，根據(jù)判斷結果進一步分析與討論，異常數(shù)據(jù)剔除準則應根據(jù)實驗次數(shù)和實驗要求來選擇，可以同時采用多種方法判斷，以確保剔除結果可靠。

[1]肖明耀.誤差理論與應用[M].北京：計量出版社，1985：169－174.

[2]吳先球，熊予瑩.近代物理實驗教程[M].2版.北京：科學出版社，2009：17.

[3]熊艷艷，吳先球.粗大誤差四種判別準則的比較和應用[J].大學物理實驗，2010，23（1）：66－68.

[4]王鑫，吳先球.用Origin剔除線性擬合中實驗數(shù)據(jù)的異常數(shù)據(jù)[J].山西師范大學學報：自然科學版，2003，17（1）：45－47.

[5]黃潮華.用Origin和肖維勒準則剔除異常數(shù)據(jù)和線性擬合實驗數(shù)據(jù)[J].物理教師，2002，23（12）：36－38.