楊世勇，張景輝，譚 翚

（煙臺大學計算機學院，山東煙臺264005）

1 引言

在經典控制理論中，根軌跡法是一種分析和設計線性定常系統(tǒng)的圖解方法，由于它具有方便快捷的特點，已經成為經典控制理論中最基本的方法之一。關于根軌跡法校正，有不少文獻給出了較詳細的介紹［1、2]，還總結出了一些具體實現(xiàn)方法，如幾何法、解析法等，它們的校正補償器都采用固定的結構模式。然而，實踐中控制對象通常是較復雜的，因此在實際的控制系統(tǒng)設計時，校正補償器有時不必拘泥于采用某種固定的模式，而應該以達到預期的性能指標為目的，方法越簡單越好。倒立擺是自動控制領域典型的控制對象，經常用來研究和檢驗控制策略與方法［3] ［4]。本文以直線一級倒立擺為研究對象，采用一種根軌跡校正法，無須繁瑣的幾何作圖和復雜的數學解析，僅需遵循繪制根軌跡的基本原則和一些定性的分析，便完成了控制系統(tǒng)的設計，達到了預期的性能指標，方法簡單、快捷，對于高階控制系統(tǒng)的設計具有一定的參考價值。

2 控制對象的建模及其分析［3] ［4]

若忽略各種阻力和摩擦力，可將直線一級倒立擺抽象成小車和均勻質桿組成的系統(tǒng)，如圖1所示。

圖1 倒立擺示意系統(tǒng)

圖中小車質量 M＝1.096kg，擺桿質量 m＝0.109kg，半桿長l＝0.25m，小車摩擦系數b＝0.1N／m／sec，擺桿轉動慣量 I＝0.0034kgm2，重力加速度g＝9.8m／s2，φ 是擺桿與垂線向上的夾角（rad），x是小車的水平位移（m），u是加在小車上的控制。倒立擺是一個多變量系統(tǒng)，而經典控制理論研究的對象主要是單輸入單輸出的系統(tǒng)，因此本文只探討對擺桿角度的平衡控制問題。運用牛頓力學定律建立系統(tǒng)的運動方程，消掉中間變量，將方程在平衡點（φ＝0，x＝0）附近線性化處理，經過整理后可以得到以控制u為輸入、擺桿角度φ為輸出的倒立擺對象開環(huán)傳遞函數為：

其中 q＝［（M+m）（I+ml2）-（ml）2]

代入實際參數后：

對控制對象的模型分析如下：

（1）開環(huán)零極點

一個零點：z0＝0（原點處）；

三個極點：p1＝-5.2780，p2＝-0.0830，p3＝5.2727（在右半平面）。

（2）校正前開環(huán)傳遞函數的根軌跡如圖2（a）所示，由于存在一個右極點，系統(tǒng)肯定不穩(wěn)定，其脈沖響應如圖2（b）所示。

3 根軌跡法的控制系統(tǒng)設計［5] ［6]

控制系統(tǒng)原理如圖3（a）所示，在圖中輸出被控量y為擺桿與垂直線的夾角，輸入給定r＝0，即擺桿垂直角度的控制目標為零，f是對系統(tǒng)施加的脈沖擾動，u是加在小車上的控制?？紤]到給定r＝0，原理圖變換成圖 3（b）所示。

圖2 校正前系統(tǒng)的根軌跡及脈沖響應

圖3 基于根軌跡法校正的原理圖

系統(tǒng)設計的性能指標要求為：試設計控制器以產生合適的控制u，使得擺桿能夠克服外界脈沖擾動f的影響，以較小的超調量σ%＜1.5%，較短的調節(jié)時間ts＜2s恢復到垂直平衡的位置。根軌跡法控制器設計的基本思想是借助根軌跡曲線進行控制系統(tǒng)的校正設計。由于決定系統(tǒng)性能的主導極點往往不在系統(tǒng)的根軌跡上，而添加開環(huán)零點或極點可使根軌跡曲線發(fā)生改變，因此只要在s平面恰當的位置增添開環(huán)零點或極點，使得閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡出現(xiàn)的方位和形狀朝有利于性能提高的方向變化，就能夠達到期望的性能指標要求。下面將詳細介紹校正設計的全過程。

第1步：在原點處添加一個極點p0＝0，抵消掉原點處的零點z0＝0。這是對圖2（a）的根軌跡圖分析后采取的初步策略。這時根軌跡變?yōu)閳D4，還剩下三個極點：p1＝－5.2780，p2＝－0.0830，p3＝5.2727，它們是對應的三條根軌跡的起點，其中第一條起于p1，在負實軸上向左終止于無限遠處，而后兩條根軌跡在正實軸上會合后分別向上向下分離，并分別沿著與正實軸成±60度的兩條漸近線，向右半平面終止于無限遠處，它們永遠不會到達左半平面，系統(tǒng)不會穩(wěn)定。

圖4 消掉原點處零點后的根軌跡

第2步：基于主導極點的初步校正。為了使系統(tǒng)穩(wěn)定，而且還要滿足期望的性能指標，必須設法使右半平面的兩條根軌跡“調頭”轉向左半平面，而且迫使它們的方位和形狀有利于改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)性能。根據根軌跡“起于開環(huán)極點，終止于開環(huán)零點”和“對稱于實軸”的基本規(guī)律，應在左半平面“恰當地”添加兩個開環(huán)零點z1和z2，問題的關鍵是如何確定z1和z2的具體位置。由于根軌跡的實質是系統(tǒng)閉環(huán)特征根在s平面上變化的軌跡，因此要確定兩個零點，即“終點”的位置，必須首先研究根軌跡“路徑”即特征根所應遵循的規(guī)律。

由于倒立擺是一個高階系統(tǒng)，它應具有一對共軛主導極點，其位置對系統(tǒng)動態(tài)性能起決定性的影響，因此可把系統(tǒng)近似成二階欠阻尼系統(tǒng)來處理，相應地可把對系統(tǒng)性能指標要求轉化為對系統(tǒng)希望的主導極點位置的要求［5]。本文中對系統(tǒng)期望的性能指標為：超調量σ%＜1.5%，調節(jié)時間ts＜2s。圖5展示了二階欠阻尼系統(tǒng)閉環(huán)極點位置、結構參數與動態(tài)性能的關系。根據對性能指標超調量的要求 σ%＜1.5%，對應的阻尼比 ξ＞0.8，圖中β＝arcosξ＝arcos0.8≈37°，則可確定期望的主導極點應位于圖中β＜37°且β＞－37°虛線夾角的扇形區(qū)域內。對調節(jié)時間 ts＜2s，由 ts＝4／ξωn得 ξωn＝4／ts＝4／2＝2，可知希望的主導極點應在圖中垂直虛線（小于－2）之左?，F(xiàn)在要同時滿足超調量和調節(jié)時間的指標，希望的極點應位于圖5中黑線區(qū)域以內。

圖5 確定主導極點范圍的示意圖

通過對閉環(huán)極點的位置與動態(tài)性能關系的進一步研究表明［5] ［6]：要提高系統(tǒng)的平穩(wěn)性以減小響應超調，應使閉環(huán)極點靠近實軸；要提高系統(tǒng)的快速性，則閉環(huán)極點應遠離虛軸；要求動態(tài)過程盡快結束，應該使閉環(huán)極點在容許的區(qū)域內遠離原點。但閉環(huán)極點距離虛軸或原點也不宜過遠，否則控制力會過大，在系統(tǒng)結構參數和硬件上會受到制約。綜合上述的分析并根據實踐經驗，可以將“希望的主導極點范圍”限制在圖5中下列區(qū)域：①必須在黑線區(qū)域以內；②盡量靠近負實軸；③相對比較靠近－2垂直線。

參考上述主導極點的范圍，確定兩個零點的位置就比較有把握了。為使問題簡化，取兩個實數零點，初步將兩個零點確定在負實軸上的z1＝－2和z2＝－3的位置，此時繪制的根軌跡如圖6（a）所示，根軌跡的“形狀”達到了預期的目的：使右半平面的兩條根軌跡“調頭”轉向了左半平面，在負實軸上會合后，終止于這兩個零點。

第3步：檢驗控制系統(tǒng)的性能指標。通過第1步和第2步，共添加了一個開環(huán)極點和兩個開環(huán)零點，為了檢驗校正后控制系統(tǒng)的性能指標，根據圖3的原理圖，在Matlab環(huán)境下編寫程序代碼，構建倒立擺閉環(huán)控制系統(tǒng)，以單位脈沖信號來模擬干擾輸入f，計算并觀察閉環(huán)系統(tǒng)的單位脈沖響應輸出y，程序中充分利用了Matlab提供的函數rlocfind［7]，它能使用戶非常容易得到根軌跡上的極點對應的根軌跡增益K，使得程序設計非常簡便。在圖6（a）的根軌跡上，在其“希望的主導極點范圍”段上選取了一對閉環(huán)極點-2.48+0.09i和-2.48-0.09i，并返回了增益值K＝85.5871來求取相應的閉環(huán)脈沖響應。此時擺桿角度的單位脈沖響應如圖6（b）所示，可以看出系統(tǒng)的穩(wěn)定性和超調量滿足要求，但調節(jié)時間ts＞3s較長，系統(tǒng)性能還有進一步完善的空間。

圖6 初步校正后系統(tǒng)根軌跡及脈沖響應

第4步：進一步完善的校正。根據前面的研究表明，為了縮短調節(jié)時間，應將主導點的位置向左做適當移動，這只需將兩個開環(huán)零點的位置向左適當移動，經過進一步調整，最終將兩個零點的位置確定為 z1＝-3 和 z2＝-4。此時的根軌跡如圖 7（a），按照與前面同樣的原則和方法，最終得到的單位脈沖響應圖7（b）。系統(tǒng)的性能得到了提高，基本達到了預期的設計目標。通過上述探討作出如下總結。

圖7 最終校正后系統(tǒng)根軌跡及脈沖響應

實際的控制對象通常復雜多樣，有時可不拘泥于固定的方式，需要具體問題具體分析，設計方法越簡單快捷越好。因此在著手進行根軌跡校正之前，要對控制對象的零極點分布情況、根軌跡曲線的特點和對象的特性進行認真的研究和分析。

對于高階或復雜系統(tǒng)的校正，通常不能一步到位，往往需要幾個步驟才能完成。本文首先在原點處添加一個極點消掉那里的零點，可使得下一步的校正工作更為簡化。

采用根軌跡校正法要遵循根軌跡的基本法則，靈活運用，不必摳得太死，面面俱到；開環(huán)零極點對根軌跡曲線的影響乃至對閉環(huán)系統(tǒng)性能的影響是根軌跡校正法的基礎和靈魂。

本文的“主導極點法”是將高階系統(tǒng)近似成二階系統(tǒng)的處理方法，是一種很近似的工程設計方法，實際中要具體問題具體分析，靈活應用，不容易一步到位，往往還需根據實際情況進行反復校正。

4 結束語

本文針對倒立擺控制系統(tǒng)的設計問題，采用了一種根軌跡方法，完成了控制系統(tǒng)的設計，滿足了預期的性能指標。它以達到性能指標為目的，以分析和改進根軌跡曲線為主要手段，無須常規(guī)方法的幾何作圖或數學解析，設計過程簡單、直觀、快捷，對于高階控制系統(tǒng)的設計具有一定的參考價值。

［1] 黃忠霖.自動控制原理的MATLAB實現(xiàn)［M] .北京：國防工業(yè)出版社.2007.336－342.

［2] 張若青，羅學科，王 民.控制工程基礎及MATLAB實踐［M] .北京：高等教育出版社.2008.281－283.

［3] 楊世勇，譚 翚，劉殿通.倒立擺控制系統(tǒng)的設計與研究［J] .電氣傳動自動化，2011，33（2）：34－37.

［4] 楊世勇，徐莉蘋，王培進.單級倒立擺的PID控制研究［J] .控制工程，2007，14（增刊）：23－24，53.

［5] 胡壽松.自動控制原理（上）［M] .北京：國防工業(yè)出版社.1984：324－328.

［6] 孫虎章.自動控制原理［M] .北京：中央廣播電視大學出版社［M] .1994：89－112.

［7] 樓順天，于衛(wèi).基于MATLAB的系統(tǒng)分析與設計—控制系統(tǒng)［M] .西安：西安電子科技大學出版社，1998：79－80.