用變量代換法求解一類非齊次熱傳導(dǎo)方程Cauchy問題①

陳敏江， 趙書銀， 賈麗萍， 于 坤

(1.石家莊經(jīng)濟(jì)學(xué)院數(shù)理學(xué)院，河北 石家莊 050031;2.河北建筑工程學(xué)院數(shù)理系，河北 張家口 075024;3.中核第四研究設(shè)計(jì)工程有限公司，河北 石家莊 050021)

0 引言

數(shù)學(xué)物理方程問題不僅形式變化多樣，而且涉及了較深的數(shù)學(xué)內(nèi)容，故其求解比較困難.另外，在本學(xué)科中，處理問題的方法具有很強(qiáng)的針對(duì)性，若方程的形式或條件做稍許修改，求解問題的思路及方法可能相差甚遠(yuǎn).雖然部分定解問題有現(xiàn)成的求解公式，但其中有些項(xiàng)的計(jì)算非常復(fù)雜，不易記憶.

考慮如下熱傳導(dǎo)方程的Cauchy問題

其中f(x，t)∈C2，1(R ×[0，+ ∞))，φ(x)∈C(R)∩ L∞(R).

由傅氏變換，可得Cauchy問題(1)的解

很顯然，公式(2)的形式復(fù)雜，不易記憶，況且?guī)в泻瑓⒘康亩胤e分計(jì)算極易出錯(cuò).

本文將指出，當(dāng)非齊次項(xiàng)具有如下形式

時(shí)，我們通過變量代換法可將問題(1)中方程齊次化，再由泊松公式求出其解.這樣做的最大優(yōu)點(diǎn)避免了公式(2)的繁雜計(jì)算，而且求解過程簡(jiǎn)單明了、易于接受.

1 主要結(jié)果

考慮如下熱傳導(dǎo)方程Cauchy問題

其中函數(shù)g(t)∈C1([0，+∞))，φ(x)∈C(R)∩L∞(R)均已知，k，b為常數(shù).

我們希望找到一個(gè)具有如下形式的函數(shù)v(x，t)=(k1x+b1)g1(t)，通過變量代換，得

再適當(dāng)?shù)剡x擇 k1，b1，g1(t)，將定解問題中的非齊次方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于w(x，t)的齊次方程.

注:在上述表達(dá)式中，g1(t)=∫g(t)d t只需取不帶常數(shù)的g(t)的原函數(shù)[3].

則Cauchy問題(1)中的非齊次方程經(jīng)變量代換轉(zhuǎn)化成齊次方程，即有如下形式

其中

由熱傳導(dǎo)方程的泊松公式可得

結(jié)合(3)，(4)，(6)可求得Cauchy問題(1)的解

2 舉 例

例1 求解下列熱傳導(dǎo)方程Cauchy問題

變量代換，w(x，t)=u(x，t)－ v(x，t).

由(5)得Ψ(x)=φ(x)－(kx+b)g1(0)=x－0=x，

得到關(guān)于w(x，t)的齊次Cauchy問題

由熱傳導(dǎo)方程的泊松公式可得

其中 k=1，b=0，g(t)=et

由公式(4)，可得k1=k=1，b1=b=0，g1(t)=∫etd t=et

即 v(x，t)=(k1x+b1)g1(t)=xet.變量代換，w(x，t)=u(x，t)－ v(x，t).

由(5)得

得到關(guān)于w(x，t)的齊次Cauchy問題

由熱傳導(dǎo)方程的泊松公式可得

故原方程的解為

3 結(jié) 論

1)本文所給出的方法較之傳統(tǒng)的傅氏變換方法，一則計(jì)算量小，二則簡(jiǎn)單明了、易于接受.

2)在Cauchy問題(1)中，當(dāng)非齊次項(xiàng)具有形式f(x，t)=(kt+b)g(x)時(shí)，用變量代換法完全可以求解.

3)本文所提出的思想可應(yīng)用于波動(dòng)方程、Laplace方程的類似問題.

[1]姜禮尚，陳亞浙，劉西恒，等.數(shù)學(xué)物理方程講義[M].北京:高等教育出版社，1996.

[2]王元明.數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)[M].北京:高等教育出版社，2004.

[3]張東.變量代換法在求解微分方程問題中的應(yīng)用[J].遼寧交通高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，2003.

[4]Lawrence C.Evans，Partial Differential Equation[M].American Mathematical Society，1998.