原－對偶內點法和預測－校正內點法在最優(yōu)潮流的應用

楊利水，楊 旭，顧家翠

(1．保定電力職業(yè)技術學院，河北 保定 071051;2．深圳供電局，廣東 深圳 518000;3．廣東電網(wǎng)公司教育培訓評價中心，廣東 廣州 510520)

0 引言

電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流OPF(Optimal Power Flow)是一個復雜的非線性規(guī)劃問題，要求在滿足特定的電力系統(tǒng)運行和安全約束條件下，通過各種控制手段實現(xiàn)預定目標最優(yōu)的系統(tǒng)穩(wěn)定運行狀態(tài)。由于最優(yōu)潮流是同時考慮網(wǎng)絡的安全性和經(jīng)濟性的分析方法，因此在電力系統(tǒng)的安全運行、經(jīng)濟調度、電網(wǎng)規(guī)劃、復雜電力系統(tǒng)的可靠性分析、傳輸阻塞的經(jīng)濟控制等方面得到廣泛的應用[1]。

現(xiàn)今求解最優(yōu)潮流的方法非常繁多，歸納起來有二次規(guī)劃法、非線性規(guī)劃法、線性規(guī)劃法、內點法以及混合規(guī)劃法和人工智能方法等[2]。文獻[3]通過雅可比矩陣進行變換建立無功優(yōu)化的線性規(guī)劃模型，并提出原對偶仿射尺度內點法求解線性規(guī)劃模型。文獻[4]針對無功優(yōu)化模型中含有離散變量的問題，采用非線性原–對偶內點法進行求解。文獻[5]結合電力系統(tǒng)的特性，提出了一種基于稀疏技術的原－對偶內點法求解最優(yōu)潮流問題及一種新的迭代步長和中心方向的修改策略。文獻[6]基于改進遺傳算法和原對偶內點法提出一種求解無功優(yōu)化問題的混合算法，有效提高了混合優(yōu)化算法的整體尋優(yōu)效率。本文分別對原 －對偶內點法 (Primal-Dual Interior Point Method，PDIPM)和預測－校正內點法(Predictor-Corrector Primal-Dual Interior Point Method，PCPDIPM)的原理進行討論，并得出后者優(yōu)于前者，利用Matlab進行仿真驗證。

1 最優(yōu)潮流模型

電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流的數(shù)學模型如式 (1)。

目標函數(shù):

式中:PGi為第 i臺發(fā)電機的有功出力;a0i，a1i，a2i為其耗量特性曲線參數(shù)，表示發(fā)電成本最小。

以上模型中式 (2)為等式約束 (節(jié)點功率平衡方程);式 (3) ～ (6)為不等式約束，依次為電源有功出力上下界約束，無功源無功出力上下界約束，節(jié)點電壓上下界約束，線路潮流約束。式中:SB為系統(tǒng)所有節(jié)點的集合;SG為所有發(fā)電機集合;SR為所有無功源集合;Sl為所有支路集合;PGi，QGi為發(fā)電機 i的有功、無功出力;PDi，QDi為節(jié)點 i的有功、無功負荷;Viθi為節(jié)點 i電壓幅值與相角，θij= θi－ θj;Gij，Bij為節(jié)點導納矩陣第i行第j列元素的實部與虛部;Pl為線路l的有功潮流，設線路 l兩端點節(jié)點為 i，j。該模型采用的是節(jié)點電壓極坐標的表示形式，當然也可以采用節(jié)點電壓直角坐標的表達形式。

2 最優(yōu)潮流問題的內點法

內點法最初的基本思路是希望尋優(yōu)迭代過程始終在可行域內進行，因此初始點應取在可行域內，并在可行域的邊界設置“障礙”使迭代點接近邊界時其目標函數(shù)值迅速增大，從而保證迭代點均為可行域的內點。但是對于大規(guī)模實際問題而言，尋找可行初始點往往十分困難。為此許多學者長期致力于對內點算法初始“內點”條件的改造。目前應用較為廣泛的有原對偶內點法和預測校正內點法。

2.1 原對偶內點法

為了便于討論，把最優(yōu)潮流模型式 (1) ～(6)簡化為以下非線性優(yōu)化模型:

式中:式 (7)為目標函數(shù)，是一個非線性函數(shù);式 (8)h(x)=[h1(x)，…，hm(x)]T為非線性等式約束條件，對應于最優(yōu)潮流模型中式 (2);式(9) 中 g(x) =[g1(x)，…，gr(x)]T為非線性不等約束，其上限為 g(x) =[g1(x)，…，gr(x)]T，下限為在以上模型中共有 n個變量，m個等式約束，r個不等式約束。跟蹤中心軌跡內點法的基本思路如下。

將不等約束式 (9)轉化為等約束式，并將目標函數(shù)改造為障礙函數(shù)，得到優(yōu)化問題B:

式中，l=[l1，…，lr]T和u=[u1，…，ur]T為松弛變量，擾動因子 (或稱障礙常數(shù))μ＞0。當li或ui(i=1，…，r)靠近邊界時，以上函數(shù)趨于無窮大，因此滿足以上障礙目標函數(shù)的極小解不可能在邊界上找到，該問題可用拉格朗日乘子法來解。

優(yōu)化問題B的拉格朗日函數(shù)為

式中:y=[y1，…，ym];z=[z1，…，zr];w=[w1，…，wr]均為拉格朗日乘子。該問題極小值存在的必要條件是拉格朗日函數(shù)對所有變量及乘子的偏導數(shù)為0，由于此方程組都為非線性，則可用牛頓－拉夫遜法進行求解，并根據(jù)極值存在的必要條件可以得到:

由文獻[7]發(fā)現(xiàn)，當目標函數(shù)中參數(shù)μ按式(12)取值時，算法的收斂性較差，建議采用:

式中:對偶間隙Gap=lTz－uTw，σ∈(0，1)稱為中心參數(shù)，一般取0.1，在大多數(shù)場合可獲得較好的收斂效果，這樣可以得到修正方程:

式中，H=－[▽2xf(x)－▽2xh(x)y－▽2xg(x)(z+w)]。

由于修正方程的系數(shù)矩陣是一個(4r+m+n)×(4r+m+n)的方陣，因此求解該方程的計算量十分龐大，可以對其進行變換，以減少計算量。

式中:

現(xiàn)在，我們只需要對一個相對較小的(m+n)·(m+n)對稱矩陣 (即右下塊矩陣)進行LDLT分解，剩余的計算量只是回代。這樣，不僅減少計算量，同時簡化了算法。

對其進行求解得到第k次迭代的修正量，于是最優(yōu)解的一個新的近似為

其中步長 αp和 αd為

2.2 預測校正內點法

預測－校正內點法與原－對偶內點法非常相似，只是線性化過程中保留了Ll和Lu的高階項，正是由于高階項使得預測校正內點法比原對偶內點法更優(yōu)越。

寫成矩陣形式:

記 λ =(z，l，w，u，x，y)T，而 M，Δλ 分 別 為(19) 式中左邊的第 1，第 2項，daf，dce，dco分別為 (19)式等式右邊的第1，第2，第3項，則上式可寫為

預報校正算法完整的求解修正方程式 (19)，在預報階段先由方程:

解出仿射方向Δλaf，按式 (17)計算仿射迭代步長αd，αp，然后計算仿射補償間隙:

并計算仿射擾動因子:

從而可以計算 dce，dco。

在校正階段，由方程:

解出校正方向Δλco。

最后得到總的原、對偶變量的修正量:

然后按式 (16)對原變量和對偶變量進行更新。值得指出的是，在預報階段得到Δλaf，μaf后，可直接代入式 (19)，從而得到Δλ。

3 數(shù)值分析

本文分別使用 IEEE14，IEEE118，IEEE300系統(tǒng)進行了驗證，證明了內點法具有收斂迅速，魯棒性強的特點。表1給出了不同節(jié)點數(shù)目的系統(tǒng)在分別用原－對偶內點法 (PDIPM)和預測－校正內點法 (PCPDIPM)進行潮流優(yōu)化時的迭代次數(shù)、迭代時間以及優(yōu)化前和優(yōu)化后的目標函數(shù)值。可以看出，預測－校正法較之原－對偶法有更好的收斂性和收斂速度，并隨著系統(tǒng)節(jié)點的變大，這種優(yōu)越性更明顯。圖1～6給出 IEEE14，IEEE118，IEEE300系統(tǒng)的仿真曲線。

表1 不同系統(tǒng)迭代次數(shù)、運行時間及目標函數(shù)值Tab．1 Iterations，operational time and the value of target function of different system

觀察1～6仿真圖可發(fā)現(xiàn)，通過 IEEE 14，IEEE 118，IEEE 300測試系統(tǒng)的仿真計算證明了該兩種算法計算結果均趨于收斂，且收斂速度快，魯棒性好，且未出現(xiàn)數(shù)值穩(wěn)定問題，因此內點法可以在潮流優(yōu)化計算中得到很好的應用。

通過圖1與2、圖3與4和圖5和6的對比，可以發(fā)現(xiàn)在預測－校正算法中燃料費用曲線趨于收斂的速度較原－對偶算法更快，因此預測－校正法較之原－對偶法有更好的收斂性和收斂速度，這是由于預測－校正內點法由于在進行泰勒展開時保留了高階項。

圖1 預測－校正法迭代情況(IEEE14)Fig.1 The iterations of PCPDIPM(IEEE14)

圖2 原－對偶法迭代情況(IEEE14)Fig.2 The iterations of PDIPM(IEEE14)

圖3 預測－校正法迭代情況(IEEE118)Fig.3 The iterations of PCPDIPM(IEEE118)

圖4 原－對偶法迭代情況(IEEE118)Fig.4 The iterations of PDIPM(IEEE118)

圖5 預測－校正法迭代情況(IEEE300)Fig.5 The iterations of PCPDIPM(IEEE300)

圖6 原－對偶法迭代情況(IEEE300)Fig.6 The iterations of PDIPM(IEEE300)

4 結論

本文分別采用原－對偶內點法和預測－校正內點法進行潮流優(yōu)化計算，從仿真例子可以看出內點法具有收斂速度快，魯棒性強，對初值的選擇不敏感的特點，并且預測－校正內點法由于在進行泰勒展開時保留了高階項，所以具有比原－對偶內點法更好的收斂性。

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