Timoshenko梁的動力問題探討——基于回轉(zhuǎn)射線矩陣法的動力響應分析

李鳳臣， 鄭喜亮， 張麗娜

(1.東華理工大學建筑工程學院，江西 撫州 344000;2.中冶賽迪工程技術(shù)股份有限公司，重慶 400013)

近年來，大型土工結(jié)構(gòu)的動力學問題研究越來越受到工程界的廣泛關(guān)注，特別是建筑結(jié)構(gòu)物在動力荷載(地震、風、沖擊荷載等)作用下的響應問題更是不容忽視。雖然結(jié)構(gòu)動力響應的計算方法很多，在實際工程中的應用也很廣泛，但結(jié)構(gòu)波動和振動特性的基礎研究進展卻很緩慢(錢七虎，2004;孫占學等，2004)。

求解任意動力荷載作用下結(jié)構(gòu)的動力響應所采用的方法大多是直接積分法，鐘萬勰(1995)、彭建設等(1998)、于開平(2004)對此類方法進行深入的研究和探討。但這種方法只能求出近似解，不能求出精確解，且它的計算精度與時間步長有很大關(guān)系，有比較突出的精確性、收斂性和穩(wěn)定性的問題(喻曉今，2004;楊恒山，2008)。

求解結(jié)構(gòu)動力響應的精確解法主要有模態(tài)疊加法(MSM)、傳遞矩陣法(MTM)和回轉(zhuǎn)射線矩陣法(MRRM)。模態(tài)疊加法是比較早的計算結(jié)構(gòu)動力響應的方法，最初主要是用在計算多自由度離散體系動力學方面，在克拉夫(2006)的著作中有詳細的論述，對于分布體系，用模態(tài)疊加法求解動力響應較為困難。林繼德(1992)對結(jié)構(gòu)動力計算中振型疊加法作了進一步研究，修正了模態(tài)疊加法中計算無質(zhì)量處的位移算法。傳遞矩陣法最早由Thomson(1950)提出，用于求解非均勻梁振動問題的矩陣方法，此外還應用在分析聲波在多層介質(zhì)中的傳播問題(Adler，1990;Lowe，1995)。芮筱亭等(1995)將傳遞矩陣法應用到多體系統(tǒng)的振動問題中，提出了計算多體系統(tǒng)振動響應的新方法;朱勇濤等(2002)提出了變截面梁彎剪振動的傳遞矩陣法求解方法。模態(tài)疊加法是將自振頻率的模態(tài)按照傅立葉積分定理組合而成，但由于自振頻率不完整，使得結(jié)果誤差較大，而傳遞矩陣法的矩陣中含有超越函數(shù)，又有累積誤差。

針對模態(tài)疊加法和傳遞矩陣法求解結(jié)構(gòu)動力響應精度方面的不足，Howard等(1998)和Pao等(1999，2003)提出了一種全新的計算方法，即回傳射線矩陣法，應用該方法計算桁架中應力波的傳播，并通過試驗證明了計算的準確性;之后又將該方法應用在框架動力響應中和平面桁架動力響應計算中，均得到了很好的結(jié)果。鄭喜亮(2007)研究表明，回傳射線矩陣法在計算結(jié)構(gòu)自振頻率及動力響應時，不僅可以得到比傳遞矩陣法更好的結(jié)果，而且還能計算結(jié)構(gòu)的瞬態(tài)響應，這是傳遞矩陣法很難做到的。

1 回傳射線矩陣法的基本原理

1.1 散射矩陣S

首先引入雙坐標系統(tǒng):局部坐標系統(tǒng)和整體坐標系統(tǒng)，如圖1所示。對桿IJ，一個局部坐標系統(tǒng)為x－IJ，以I點為原點，x軸的正方向為正方向;另外一個局部坐標系統(tǒng)為x－JI，以J點為原點，x軸的負方向為正方向。

圖1 雙坐標系統(tǒng)Fig.1 Double coordinates system

能夠得到桿系統(tǒng)的散射關(guān)系方程如下

其中

矢量d是整體離開波的向量，代表從各個節(jié)點離開的波;矢量a則是整體到達波的向量，代表到達各個節(jié)點的波。2N×2N的矩陣S是整體散射矩陣。

1.2 相位矩陣P和回傳矩陣R

一段桿內(nèi)的同一個波，既是左端點的離開波，同時也是右端點的到達波。兩者的振幅相同，但相位不同，所以有如下相位關(guān)系

在J點處再引入一個新的局部矢量?dJ和一個新的整體離開波矢量?d，整體矢量?d和d的關(guān)系為

其中

故可將矢量a和?d關(guān)系寫成

其中叫做整體相位變換矩陣。

聯(lián)立方程(1)、(3)、(4)，得

此處R(ω)=SPU，稱為回傳矩陣。

2 應用傳遞矩陣法計算Timoshenko梁的動力響應

下面就只以單跨梁為例，介紹傳遞矩陣法求解結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)響應的過程。首先引入狀態(tài)矢量的概念，對于Timoshenko梁上任意點i，其狀態(tài)矢量可以表示為

傳遞矩陣法就是建立節(jié)點與節(jié)點之間狀態(tài)矢量的場傳遞矩陣和節(jié)點上左右兩端之間狀態(tài)矢量的點傳遞矩陣，然后將場矩陣和點矩陣組合起來，形成整體傳遞矩陣，最后根據(jù)邊界條件，求解出梁的自振頻率及相應的動力響應。

如圖2所示的兩端鉸支的單跨Timoshenko梁，跨中施加集中簡諧荷載

圖2 簡諧集中荷載作用的單跨梁Fig.2 Single-span beam under harmonic concentrated load

梁的振動頻率與外界荷載相同，為Ω。所以在IJ段梁上，左端I節(jié)點的狀態(tài)矢量為zI(0，Ω)，右端J節(jié)點的狀態(tài)矢量為zJ(l/2，Ω)。兩節(jié)點的狀態(tài)矢量可以寫成:zRI=zI(0，Ω)=MIR，zLJ=zJ(l/2，Ω)=MJR。

其中

3 應用回傳射線矩陣法計算Timoshenko梁的穩(wěn)態(tài)響應

3.1 單跨Timoshenko梁的穩(wěn)態(tài)響應

Timoshenko梁在頻域的位移解為

Timoshenko梁在各點的轉(zhuǎn)角、剪力、彎矩等響應的頻域解為

如圖3所示的單跨兩端固支的Timoshenko梁，跨中受集中簡諧荷載P(x，t)作用，其表達式與式(7)相同。

圖3 兩端固支單跨梁模型Fig.3 Single-span beam model with both ends fixed

整體的散射方程為:

求得參數(shù)a和d的值，在帶入到式(8)中求得梁上各點位移響應的頻域解，將參數(shù)a和d的值帶入式(9)中，則可求出梁上各點的轉(zhuǎn)角、剪力、彎矩等響應的頻域解，將頻域解進行傅立葉變換，則可得到梁響應的時域解。

3.2 兩跨Timoshenko梁的穩(wěn)態(tài)響應

如圖4所示的兩跨連續(xù)梁，兩端為固定支撐，跨中為剛性支撐，其中一跨跨中作用簡諧荷載。

圖4 兩端固支雙跨梁模型Fig.4 Two-span beam model with both ends fixed

系統(tǒng)的整體坐標為X-Y，將梁分成三個單元，四個節(jié)點:1-4，局部坐標如圖4中所示。同樣先推導系統(tǒng)的散射矩陣，求解響應的方法與單跨梁穩(wěn)態(tài)響應的求解方法相同。

4 算例分析

4.1 單跨Timoshenko梁的穩(wěn)態(tài)響應算例

如圖3所示的兩端固定的單跨低碳鋼梁，其截面尺寸為:梁高 h=0.5 m，梁寬 b=0.04 m，梁長度L=2 m，密度 ρ=7 850 kg/m3，截面積 A=0.002 m2，彈性模量 E=206 GPa，剪切模量 G=79 GPa，剪切因子κ=0.833 3。這是一個比較典型的Timoshenko梁，表1給出了三種邊界條件下，單跨梁上跨中施加簡諧荷載，分別采用傳遞矩陣法(MTM)和回轉(zhuǎn)射線矩陣法(MRRM)計算，各點穩(wěn)態(tài)響應幅值的對比。其中，跨中施加荷載的大小為P0=1 000 N，荷載頻率為Ω =100 rad/s，以梁長為長度基本單位進行無量剛計算，得到的各點的響應幅值均為無量綱結(jié)果。

表1 MTM與MRRM計算單跨梁穩(wěn)態(tài)響應各點響應幅值對比Tab.1 Comparison of the amplitude of steady-state response in each point of single-span beam computed with MTM and MRRM

4.2 兩跨Timoshenko梁的穩(wěn)態(tài)響應算例

表2給出了兩跨連續(xù)梁在其中一跨跨中施加簡諧荷載，分別采用傳遞矩陣法(MTM)和回轉(zhuǎn)射線矩陣法(MRRM)計算，梁上各點穩(wěn)態(tài)響應幅值的結(jié)果對比。其中，計算簡圖同圖4，梁的截面尺寸同算。例4.1，兩跨梁長均為1 m，左跨跨中施加荷載的大小為P=1 000 N，荷載頻率為Ω=100 rad/s，以梁長為長度基本單位進行無量剛計算，得到的各點的響應幅值均為無量綱結(jié)果。

表2 MTM與MRRM計算兩跨連續(xù)梁穩(wěn)態(tài)響應各點響應幅值對比Tab.2 Comparison of the amplitude of steady-state response in each point of two-span continuous beam computed with MTMand MRRM

5 結(jié)論

傳遞矩陣法適用于計算單跨梁、多跨連續(xù)梁的自振頻率、穩(wěn)態(tài)響應，在計算自振頻率時，前幾階的計算精度很高，但隨后就會出現(xiàn)嚴重的數(shù)值穩(wěn)定問題，而無法繼續(xù)計算更高階的頻率?；貍魃渚€矩陣法適用于計算單跨梁、多跨連續(xù)梁的自振頻率、穩(wěn)態(tài)響應和瞬態(tài)響應。通過以上的對比，可以看出，回傳射線矩陣法，有適用范圍廣、計算精確、算法簡潔明了以及便于編程等特點。

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