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      弧底梯形明渠正常水深的簡化計算法

      2012-10-16 08:53:18滕凱周輝
      關(guān)鍵詞:明渠切點水深

      滕凱,周輝

      (1.齊齊哈爾市水務(wù)局,齊齊哈爾161006;2.嫩江尼爾基水利水電有限責(zé)任公司)

      由于弧底梯形明渠水流條件好,適宜機械化連續(xù)施工作業(yè)[1-3],且因弧底所形成的反拱式結(jié)構(gòu),與其它斷面形式比較更具有較好的抗凍性能[4-6]。因此,該種斷面形式也越來越廣泛地被應(yīng)用于我國北方地區(qū)的水利水電供排水工程[7-8]。由于弧底梯形明渠斷面正常水深計算涉及高次方程求解問題,常規(guī)的試算法、圖表解法[9-11]、迭代法[12]或是計算過程繁復(fù),或是求解成果精度不高,不便應(yīng)用;而由計算機編程求解[13-16]又不便基層工程技術(shù)人員實際工作,因此,尋求一種更加簡單實用的簡化計算方法具有一定的實際意義,但到目前為止,尚沒有比較理想的有關(guān)弧底梯形斷面正常水深計算方法的研究成果。文獻[17,18]通過優(yōu)化擬合的方法分別給出了0<m≤1.0、0.4≤x≤3.0和0<m≤0.36、1.0≤x≤2.0(m為渠道坡比系數(shù),x為無量綱水深)情況下的近似計算公式,公式適用范圍小而且形式相對復(fù)雜;文獻[19]通過采用級數(shù)展開形式獲得了0<m≤50、1.0≤x≤2.0情況下的簡化公式,雖然公式的適用范圍較大,但需計算的中間變量參數(shù)較多,計算過程繁復(fù);文獻[20]通過采用迭代法并經(jīng)適當(dāng)簡化后獲得了該種斷面1.0≤m≤4.0、0.4≤x≤4.0情況下正常水深的簡化近似計算式,公式的適用范圍及形式稍好于其他近似公式,但因該公式涉及的中間變量參數(shù)仍顯較多,適用范圍仍顯不夠(m較小時不適用)。為了進一步改進該種斷面臨界水深的求解計算方法,采用優(yōu)化擬合的方法,獲得了計算過程簡捷、求解精度高、使用范圍廣的簡化近似計算式,可在實際工程設(shè)計中推廣應(yīng)用。

      1 正常水深的基本計算方程

      根據(jù)水力學(xué)原理[21],正常水深的基本計算方程為:

      式中:Q為渠道通過流量(m3/s);X為濕周(m);A為過水?dāng)嗝婷娣e(m2);n為渠道糙率;i為渠道設(shè)計坡降。

      對于弧底梯形明渠(見圖1所示),其正常水深計算可分兩種情況:即弧底圓形斷面正常水深計算(圓弧內(nèi))和弧底梯形斷面正常水深計算(圓弧外)。

      圖1 弧底梯形明渠斷面Fig.1 Trapezoidal cross-section with an arc bottom

      1.1 正常水深計算公式判別

      由斷面過流條件可知,當(dāng)正常水面線位于弧底曲線與梯形邊坡線的切點以下時,正常水深發(fā)生在圓弧內(nèi),反之,正常水深發(fā)生在圓弧外。用數(shù)學(xué)方法可求得通過切點處的水深為:

      因此可得:

      當(dāng)

      當(dāng)

      其中

      式中:h為正常水深(m);r為弧底圓形半徑(m)。

      由式(2)可見,當(dāng)m→∞時,h→0,切點逐步接近弧底頂點,渠道斷面漸進與一條直線;而當(dāng)m→0時,h→r,切點逐步接近(r,r)點,渠道斷面逐步接近與標(biāo)準(zhǔn)U形明渠。

      1.2 正常水深發(fā)生在弧底圓弧內(nèi)時

      正常水深發(fā)生在圓弧內(nèi)時,實際為圓形斷面正常水深計算問題,其計算公式由文獻[22]可得:

      式中:α為計算參數(shù);x為無量綱水深;θ為均勻流時的圓心角(rad)。

      1.3 正常水深發(fā)生在弧底圓弧外時

      正常水深發(fā)生在圓弧外時,其過水?dāng)嗝娣e及水面寬可按下式計算:

      將式(6)至(8)代入式(1),并設(shè):

      經(jīng)整理即可獲得求解弧底梯形斷面明渠正常水深的基本計算公式為

      其中,k為中間變量。

      2 正常水深的近似計算公式

      2.1 擬合公式的建立

      式(5)及(9)為含x的高次隱函數(shù)方程,無法直接獲解。為避免求解高次方程問題,在工程實用范圍內(nèi)[9-20](即0.3≤m≤4.0、0.1≤x≤4.0),現(xiàn)假定:當(dāng)正常水深發(fā)生在圓弧內(nèi)及弧底圓弧外時,函數(shù)x=f(α)及可x=f(k)以分別替代式(5)及式(9);并分別展繪x~α及x~m~k關(guān)系曲線,依據(jù)曲線關(guān)系經(jīng)數(shù)值相關(guān)分析,以標(biāo)準(zhǔn)剩余差最小為目標(biāo)函數(shù)[23],即

      式中:N為擬合計算的數(shù)組數(shù)。

      經(jīng)逐次逼近擬合[24]即可獲得如下替代函數(shù),即

      式中:A、B為中間變量;Q0為水面線通過弧底曲線與梯形邊坡線切點情況下的渠道過流量(分界流量)(m3/s)。

      Q0可由式(2)與式(10)聯(lián)立求得,即為:

      2.2 擬合公式的精度分析

      為比較式(10)與式(5)、式(11)與式(9)的擬合精度,在給定的實用參數(shù)范圍內(nèi),取不同的xi、mi值即可分別由式(5)及式(9)計算出與之相對應(yīng)的 αi或ki,再將 αi代入式(10)、ki代入式(11)求得與之相對應(yīng)的,并由下式完成擬合相對誤差計算,計算結(jié)果見表1所示。

      表1 式(10)、(11)擬合精度比較Table1 Type(10),(11)fitting precision comparison

      式中:zi為擬合相對誤差;i為擬合計算的點數(shù)。

      由表1可見,當(dāng)0.3≤m<1.0、0.1≤x≤4.0時,式中(10)、(11)的最大計算相對誤差僅為1.54%。而通過對文獻[20]方法計算可見,在0.3≤m<0.5、0.1≤x≤0.329區(qū)間內(nèi),該文公式無實數(shù)解(根號下為負值);當(dāng)0.5≤m<1.0、0.329<x≤4.0時,公式的最大計算相對誤差達到57.67%,是式中的37.45倍。當(dāng)1.0≤m≤4.0、0.1≤x≤4.0時,式中(10)、(11)的最大計算相對誤差為2.01%,而文獻[20]的最大計算相對誤差為4.65%,是式中的2.31倍。可見,式中公式具有較好的計算精度。

      3 應(yīng)用舉例

      選文獻[20]算例:已知某輸水渠通過流量Q=40.0m3/s,弧底半徑r=2.5m,邊坡比系數(shù)m=1.0,渠底坡降,糙率系數(shù)n=0.022 5,試計算渠道的正常水深h值。

      解:根據(jù)已知參數(shù)可求得:

      (正常水深在圓弧外)

      將A、B代入式(11)即可解得x為

      則有:h=x·r=4.892m

      精確解為h=4.918 m,本文公式計算相對誤差為0.5%。

      4 結(jié)語

      針對目前弧底梯形斷面正常水深計算方法存在的問題,通過采用多參數(shù)優(yōu)化擬合的方法,經(jīng)逐次逼近計算,獲得了表達形式相對簡單且具有較高擬合精度的近似計算公式。實際工作僅借助計算器即可較簡捷地完成,適于廣大基層工程技術(shù)人員應(yīng)用。誤差分析表明,在工程實用范圍內(nèi),計算相對誤差不超過2.1%。通過應(yīng)用舉例計算分析說明,公式計算方法簡捷,成果精度可靠,可在實際工程的設(shè)計中推廣應(yīng)用。

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