史 丹 歐陽聯(lián)華 谷 鳴

(中國科學院上海應用物理研究所 上海 201800)

質(zhì)子束治療癌癥優(yōu)于常規(guī)射線治療(電子、X射線、γ射線)。治療控制要求加速器提供均勻、穩(wěn)定且快速開關(guān)的束流，其占空比須可調(diào)。因此，采用同步環(huán)慢引出的方式。醫(yī)用質(zhì)子加速器慢引出設計中，將質(zhì)子從環(huán)內(nèi)引出有兩類方法。

第一類方法是將相空間穩(wěn)定區(qū)三角形面積壓縮，使穩(wěn)定區(qū)外圍粒子進入共振。相空間三角形面積與規(guī)一化六極磁鐵強度的平方成反比，與粒子的tune值與三階共振頻率的距離平方成正比。減小相空間三角形面積可增大六極磁鐵強度；或調(diào)節(jié)四極磁鐵強度使粒子的tune值逼近三階共振線，此方法需改變環(huán)束流的光學參數(shù)[1]。

第二類方法是先調(diào)節(jié)束流參數(shù)(發(fā)射度，tune值等)至臨界值，維持不變，通過激勵使粒子進入共振。一是縱向激勵，如使用betatron core和縱向隨機電場(stochastic noise)加速(或減速)，提高粒子進入共振的速度，使不同動量的粒子同時進入共振。我們采用橫向 RF-knockout(RFKO)電場激勵，使粒子發(fā)射度增長，被“打”出穩(wěn)定區(qū)(knockout)，進入共振。首先是穩(wěn)定區(qū)外圍振幅大的粒子溢出穩(wěn)定區(qū)，然后是穩(wěn)定區(qū)中心區(qū)域的振幅較小的粒子也被激勵，溢出穩(wěn)定區(qū)，直至所有粒子均被引出。

RFKO的優(yōu)點是：(1) 引出時環(huán)的Lattice參數(shù)保持不變；(2) 粒子引出時進入septum的橫向位置(spiral step)保持不變；(3) 若與RF cavity縱向電場配合，粒子的關(guān)斷時間可達100 μs，宜于開展高精度的呼吸門控和點掃描治療。RFKO方法要求環(huán)色品很小(最好為 0)，則不同能散的粒子具有相同的tune值，不會通過同步振蕩進入共振。但是零色品的環(huán)易引起束流頭尾不穩(wěn)定性[2]。

1 RFKO理論基礎

1.1 三階共振Hamiltonian函數(shù)

不考慮偏能粒子和閉軌畸變，粒子運動歸一化相空間的Hamiltonian方程[3]為

其中，ε= 6πδQ，δQ為粒子tune值離三階共振的距離，S為六極鐵強度，X、X'為坐標。由式(1)可得三階共振的穩(wěn)定區(qū)和非穩(wěn)定區(qū)及其邊界(separatrices)和穩(wěn)定點以及穩(wěn)定區(qū)面積，分析粒子在穩(wěn)定區(qū)內(nèi)、邊界上和穩(wěn)定點附近的運動行為。

定義粒子的歸一化振幅和發(fā)射度分別為A=(X02+X0'2)1/2，E=πA2。引出時，調(diào)整四極磁鐵的強度以改變 tune值的距離δQ，同時調(diào)整六極磁鐵的強度S，相空間橢圓變成三角形。若粒子振幅小于穩(wěn)定三角形面積Estable，該粒子是穩(wěn)定的。

對于某一個特定振幅，δQ小于以下值時粒子將失去穩(wěn)定：

同樣，對某一個特定的δQ，粒子振幅大于以下值時，將失去穩(wěn)定：

1.2 RFKO理論基礎

當環(huán)上存在RF kicker(這里簡化為橫向RF正弦振蕩)時，Hill方程[4]變?yōu)椋?/p>

式中，K(s)為環(huán)聚焦強度，θa為橫向RF kicker強度，ωm為其頻率，t=s/(βc)，δ函數(shù)表示粒子每循環(huán)一圈被激勵一次。

對式(5)進行 Floquet變換，求解變換后方程的特解和通解, 并給定初始條件x=x'=0；當RF kicker頻率與粒子回旋頻率之比vm等于或接近 tune值v時，式(5)的解為：

其中，R為環(huán)周長，β0為RF kicker所在處的β函數(shù)。

上海質(zhì)子治療加速器環(huán)周長28.4 m，v=5/3，圖1為受RF knockout激勵粒子橫向位置隨時間變化結(jié)果，可見振幅為0的粒子，經(jīng)RF kicker激勵，振幅呈振蕩性線性增長。

圖1 受RF knockout激勵，粒子橫向位置隨時間呈振蕩性線性增長Fig.1 The horizontal position of particles vs the time.The position oscillation grows linearly with the time,due to RF knockout motivating.

2 幅度調(diào)制(AM)

RFKO可增大引出粒子的振幅，擴大其發(fā)射度，使粒子溢出穩(wěn)定區(qū)而被引出，但引出束流的幅度與RFKO的踢角并不呈線性關(guān)系。根據(jù)HIMAC資料[5]，對于隨機RFKO電場信號，1σ偏差可達±70%，調(diào)制后1σ偏差<±20%。因此，AM調(diào)制以達到預想的引出束流幅度結(jié)構(gòu)及引出效率，是非常關(guān)鍵的。可使用簡化的一維模型獲得AM函數(shù)[6]，得到平滑束流。徑向分布函數(shù)在規(guī)范化的相空間可寫成瑞利分布，即

其中，σ2=2εrms，σ為瑞利分布的標準差，εrms為均方根發(fā)射度。

假設徑向幅度大于0r的會被引出，引出粒子數(shù)為extN，引出束流的時間結(jié)構(gòu)為

N0為引出前環(huán)內(nèi)的粒子數(shù)。假定σ2與粒子轉(zhuǎn)的圈數(shù)成正比，kick角幅度θ依賴于時間，使用常數(shù)k指代與RFKO帶寬相關(guān)的系數(shù)，則σ值的增長為：

為獲得平滑的溢出且引出所有粒子，dNext/dn引出時保持不變，則平滑引出的AM函數(shù)為

式中，σ0為σ(n)的初始值，τext為引出持續(xù)時間。估算k=312，r0=9.09×10?3，σ0=3.16×10?3，kick 角分別為0.5、1.0、2.0 μrad，引出時間結(jié)構(gòu)的解析曲線如圖2。若每圈引出1000個粒子, 則θ和n的關(guān)系如圖3。

圖2 恒定kick角下的引出時間結(jié)構(gòu), Kick角分別為 0.5、1.0、2.0 μradFig.2 The extracted spill structure at kick angles of 0.5, 1.0 and 2.0 μrad.

圖3 θ和n的關(guān)系曲線(每圈引出1000個粒子)Fig.3 The θ-n curve, with an extracted beam of 1000 protons.

3 數(shù)值模擬

3.1 引出粒子分布情況模擬

運用軟件 WinAGILE[7]研究粒子引出情況，設置動量偏差(dp/p)后，高斯粒子束散布在三角區(qū)內(nèi)，引出初期，一部分不穩(wěn)定粒子進入非穩(wěn)定區(qū)，進而被引出，且引出粒子數(shù)服從指數(shù)分布；由于動量偏差，粒子束開始向靜電切割板即不穩(wěn)定區(qū)域移動。加速若干圈后，粒子被引出，引出數(shù)目和圈數(shù)服從高斯分布(圖4a)。同樣設置動量偏差，1000個均勻分布粒子引出亦服從均勻分布(圖4b)。與高斯分布不同的是，分界線內(nèi)的粒子在全部引出前，不穩(wěn)定粒子未被引出。

3.2 Tune值與引出粒子關(guān)系

調(diào)整四極磁鐵強度即改變ΔQ，保持Δp/p=0，且S= –4.2259不變，得到臨界值 ΔQ=|Qp–Qr|=0.004202，Qr即tune值5/3，此時四極磁鐵強度QF為–2.109732。表1顯示，|ΔQ|<0.004202，有粒子被引出；相反，則無粒子被引出。ΔQ接近0時，粒子幾乎完全引出，|ΔQ|逐漸增大，粒子引出數(shù)相應減少。

圖4 5000個高斯粒子(a)和1000個均勻分布粒子(b)的引出圖Fig.4 Extraction of 5000 Gaussian particles(a) and 1000 uniform distribution particles(b).

3.3 共振驅(qū)動六極磁鐵強度與引出關(guān)系

保持能散不變(Δp/p=0)，ΔQ =–0.003609 不變，模擬發(fā)現(xiàn)六極磁鐵強度S的臨界值為–3.5(表2)。對S值和剩余粒子數(shù)擬合，得到擬合函數(shù)式Nremain=373.6e0.01638S+1123e0.1549S(圖5)。|S| = –3.5, 粒子幾乎無引出，在六極磁鐵強度不斷減小，即|S|逐漸增加時，粒子慢慢被引出，模擬仿真驗證了相關(guān)理論。

表1 四極磁鐵強度變化引起的各參數(shù)變化(S不變，總共1000個粒子)Table 1 Parameters under different strengths of the quadrupoles (fixed S, extracted beam of 1000 protons).

表2 六極磁鐵強度變化引起的各參數(shù)變化(ΔQ不變，總共1000個粒子)Table 2 Parameters under different strengths of the sextupoles (fixed ΔQ, extracted beam of 1000 protons).

圖5 引出粒子的原始曲線與擬合曲線Fig.5 The original curve and fitting curve of extracted particles.

4 結(jié)語

應用Hamiltonian理論，分析了醫(yī)用質(zhì)子加速器慢引出RFKO方法的基本原理，解析了RFKO方法的振幅增長機制；分析了為使束流幅度達到一定均勻性的幅度調(diào)制(AM)函數(shù)模型，由此導出不同RFKO踢角和引出束流的關(guān)系以及為達到束流均勻引出時踢角隨時間變化的關(guān)系。

運用軟件WinAGILE模擬了初始粒子動量分布與引出束流分布的關(guān)系；tune值偏差及共振驅(qū)動六極磁鐵與引出束流的關(guān)系。模擬結(jié)果較好驗證了理論分析，對醫(yī)用質(zhì)子加速器慢引出RFKO調(diào)束具有一定指導意義。

1 Sato S, Furukawa T, Noda K. Dynamic intensity control system with RF-knockout slow-extraction in the HIMAC synchrotron[J]. Nucl Instr Meth, A, 2007, 574: 226–231

2 Noda K, Furukawa T, Shibuya S,et al. Source of spill ripple in the RF-KO slow-extraction method with FM and AM[J]. Nucl Instr Meth, A, 2002, 492: 241–252

3 Accelerator complex study group. Proton-Ion Medical Machine Study (PIMMS) Part I [R]. Geneva, 1999

4 劉乃泉. 加速器理論[M]. 第2版. 北京: 清華大學出版社, 2004: 49–58 LIU Naiquan. Accelerator theory[M]. Second ed. Beijing:Tsinghua University Press, 2004: 49–58

5 Noda K, Kanazawa M, Itano A,et al. Slow beam extraction by a transverse RF field with AM and FM[J].Nucl Instr Meth, A,1996, 374: 269–277

6 Furukawa T, Noda K, Muramatsu M,et al. Global spill control in RF-knockout slow extraction[J]. Nucl Instr Meth, A, 2004, 552: 196–204

7 Bryant P J. AGILE program for synchrotron lattice design[OL]. http: //nicewww.cern.ch/～bryant