高全芹

(長沙學院機電工程系，長沙 410003)

Cymbal型壓電換能器［1－3］電壓－位移特性［4］是其重要性能之一。目前對其研究手段有試驗法［5］、有限元法［6－7］等，但這兩種方法都無法給出能夠描述電壓－位移本質(zhì)特性的函數(shù)模型。吳石林等［8］通過建立壓電陶瓷圓片的壓電方程，采用理論建模法分析了球帽Cymbal型換能器的位移特性。但吳石林將壓電陶瓷片邊界條件簡化為自由邊界狀態(tài)，認為零應力約束。事實上壓電陶瓷片端面受到Cymbal金屬帽變形阻力約束，并非零應力約束。錯誤的邊界條件導出的結(jié)論值得商榷。本文通過客觀分析Cymbal換能器的壓電陶瓷片所處于的受力約束狀態(tài)，給出了壓電方程的邊界受力約束條件，建立Cymbal型壓電換能器電壓－位移函數(shù)關(guān)系模型。利用該模型可定量分析Cymbal型壓電換能器結(jié)構(gòu)敏感參數(shù)對其電壓－位移特性影響規(guī)律。這些規(guī)律用于Cymbal型壓電換能器批量生產(chǎn)中的性能一直性控制。

1 Cymbal壓電換能器典型結(jié)構(gòu)

典型的Cymbal換能器結(jié)構(gòu)，如圖1所示。上下Cymbal型金屬端帽為對稱結(jié)構(gòu)，與壓電陶瓷圓片嚴格膠合。與結(jié)構(gòu)尺寸相關(guān)的變量有:端帽材料厚度t；端帽半徑Rp；內(nèi)腔椎底半徑R1；內(nèi)腔椎頂半徑R2；壓電陶瓷厚度為tp。

圖1 Cymbal換能器結(jié)構(gòu)

2 Cymbal換能器的壓電方程

Cymbal型換能器軸向位移與壓電陶瓷片的徑向伸縮量和軸向伸縮量存在著一定的函數(shù)關(guān)系。計算壓電陶瓷片的壓電方程狀態(tài)解是獲得這一函數(shù)關(guān)系的有效途徑。柱坐標下，Z軸極化的逆壓電效應壓電方程可表示為［3］:

接下來必須對Cymbal換能器壓電陶瓷圓片的受力狀態(tài)進行分析，以確定其應力分量Tr、Tθ、Tz及Tzθ、Trz、Trθ值。

3 Cymbal換能器壓電陶瓷片受力分析

當外加激勵電場時，Cymbal換能器僅有軸向伸縮和徑向伸縮運動，并無切向應變和切向應力，故可確定:

Cymbal換能器為旋轉(zhuǎn)對稱性結(jié)構(gòu)，故可知沿徑向方向的應力分量和應變分量相等，即:

將式(2)、式(3)、式(4)代入式(1)，得:

Cymbal換能器為旋轉(zhuǎn)對稱性結(jié)構(gòu)，假設Cymbal型金屬端帽與壓電圓片沿圓周方向嚴格固聯(lián)，當沿軸向?qū)弘娞沾蓤A片施加正向電場時，逆壓電效應會驅(qū)使壓電圓片沿徑向方向產(chǎn)生收縮位移，將使Cymbal型金屬端帽會發(fā)生彈性形變，產(chǎn)生軸向伸長位移，并同時產(chǎn)生阻止變形的彈性阻力。

圖2 Cymbal換能器分解受力示意圖

如圖2(a)所示，以Cymbal型金屬端帽為分析對象，假設其由于形變產(chǎn)生的彈性阻力為F，壓電圓對由于徑向收縮位移對其產(chǎn)生的擠壓作用力沿其底端沿圓周均勻分布，線應力大小為p，方向沿Cymbal型金屬端帽母線方向。不考慮動態(tài)因素，則Cymbal型金屬端帽受力平衡，有:

其中，θ=arctan(h/(R1－R2))。假設 Cymbal型金屬端帽軸向伸長形變量為δz，由于δz為微小量，壓電陶片徑向變形在彈性范圍內(nèi)，因此，可將Cymbal型金屬端帽視為碟形膜片彈簧，由 Almen-Laszlo［9］公式，可得:

其中，A=6((R1－R2)/R1)/(πl(wèi)n(R1/R2))。如圖 2(b)所示，設上下Cymbal型金屬端帽完全相同，以壓電陶瓷圓片為分析對象，則其受到上下金屬端帽的反作用力p，根據(jù)材料力學知識，可得到壓電陶瓷圓片應力Tr、Tz與線應力p之間的關(guān)系［10］:

·情感定位策略。情感定位是將人類情感中的關(guān)懷、牽掛、溫暖、懷舊、愛戀等情感內(nèi)涵融入到品牌中，使讀者在參與活動的過程中獲得這些情感體驗，從而喚起讀者內(nèi)心的認同和共鳴。如對老年人群體體現(xiàn)陪伴與懷舊的情感，對兒童體現(xiàn)關(guān)愛的情感，對青少年或青年體現(xiàn)認同、激勵的情感等。

假設壓電陶瓷圓片沿徑向方向上位移為Δr，軸向位移為 Δz，則有以下關(guān)系成立［11］:

設Cymbal換能器軸向方向總位移為Δh，則有:

4 電壓－位移特性函數(shù)描述方程

方程(5)～方程(10)聯(lián)立，解得:

對于方程(10)，電場強度Ez為唯一的自變量。當所加電場Ez確定條件下，可通過解三次方程實根方法精確計算出 δz，從而計算出 Δh，故Ez－Δh(電壓－位移)特性曲線可惟一確定。

另外，小變形條件下，δz≤1，忽略二次以上高次項，則Ez－Δh近似線性公式:

5 電壓－位移特性函數(shù)模型驗證

Cymbal換能器的等效壓電常數(shù)de33是描述其電壓－位移特性的重要參數(shù)之一。de33定義為:

Cymbal換能器的等效壓電常數(shù)de33通?？捎稍囼灧椒ㄖ苯訙y得。取樣機參數(shù)為:

由式(10)，代入上述參數(shù)，計算得 Δh=1.44×10－5m，再由式(12)計算出de33為14.4 nm/V。對樣機采用干涉法測量其de33值［12］，結(jié)果為 14.4±0.3 nm/V，二者一致。因此，式(11)可以客觀描述Cymbal換能器的電壓－位移特性本質(zhì)。

6 Cymbal換能器電壓－位移特性函數(shù)分析

Cymbal換能器批量加工時性能一致性控制一直是比較棘手的問題。通過分析Cymbal換能器參數(shù)對其電壓－位移特性函數(shù)影響規(guī)律，從而確定關(guān)鍵參數(shù)誤差對其電壓－位移特性性能的影響范圍區(qū)間。這些結(jié)論對Cymbal換能器的參數(shù)優(yōu)化設計、大批量生產(chǎn)工藝優(yōu)化、性能指標一致性控制等方面具有指導意義。

6.1 等效壓電常數(shù)的穩(wěn)定性分析

其他條件不變，無負載情況下，Cymbal換能器兩端電壓從－10 kV到10 kV變化，由精確式(10)和近似式(11)間接計算出來的等效壓電常數(shù)變化曲線如圖3所示。

圖3 電壓－等效壓電常數(shù)變化曲線

由圖3可得結(jié)論1:嚴格意義上講等效壓電常數(shù)并非一固定常數(shù)，與所加電壓有一定關(guān)系。電壓幅值5 kV范圍內(nèi)波動率在0.5%以內(nèi)，此時近似公式計算結(jié)果可信。

6.2 金屬帽材料厚度和內(nèi)腔高度對等效壓電常數(shù)的影響

其他條件不變，不同Cymbal換能器金屬端帽材料厚度時，內(nèi)腔高度從0～2 mm變化，得到的等效壓電常數(shù)曲線簇見圖4。

圖4 不同材料厚度時內(nèi)腔高度－等效壓電常數(shù)曲線

由圖4可得結(jié)論2:當金屬帽材料厚度t確定時，理論上存在一個h，能夠使等效壓電常數(shù)de33的值達到極大值；其他條件不變，厚度t增加時，等效壓電常數(shù)de33值減小，t值越大，減小趨勢越小。

6.3 金屬彈性模量對等效壓電常數(shù)的影響

其他條件不變，金屬彈性模量E逐漸變大時得到的等效壓電常數(shù)變化曲線如圖5所示。

由圖5可得結(jié)論3:當Cymbal換能器結(jié)構(gòu)參數(shù)確定條件下，金屬彈性模量E增加將會使等效壓電常數(shù)de33減小，但減小幅值不大。當E增加10倍時，de33僅減小35%。(E=100 GPa 時，de33=1.7×10－8m/V，E=1 000 GPa，de33=1.1×10－8m/V，de33減小 35%)。因此，同一條件下，更改金屬材料對等效壓電常數(shù)的影響有限。

圖5 金屬彈性模量－等效壓電常數(shù)變化曲線

6.4 Cymbal金屬帽內(nèi)腔椎頂半徑對等效壓電常數(shù)的影響

其他條件不變，金屬帽內(nèi)腔椎頂半徑R2逐漸變大時得到的等效壓電常數(shù)變化曲線如圖6所示。由圖6可得結(jié)論4:其他條件不變時，Cymbal金屬帽內(nèi)腔椎頂半徑R2對等效壓電常數(shù)de33影響較大，隨著R2的增加，de33值成線形急劇下降。

圖6 內(nèi)腔椎頂半徑－等效壓電常數(shù)變化曲線

7 小結(jié)

本文通過建立Cymbal型壓電換能器電壓－位移函數(shù)關(guān)系模型，并得出了Cymbal換能器幾個關(guān)鍵參數(shù)對等效壓電常數(shù)影響規(guī)律。這些規(guī)律對Cymbal換能器的優(yōu)化設計、大批量生產(chǎn)工藝優(yōu)化、性能指標一致性控制等方面具有指導意義。

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